福建省莆田市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷含答案

福建省莆田市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知直線與垂直，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．0或3 B．3 C．0或 D．-32．已知，，，四點(diǎn)在平面內(nèi)，且任意三點(diǎn)都不共線，點(diǎn)在外，且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．33．已知圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．4．已知平面，其中點(diǎn)，法向量，則下列各點(diǎn)中不在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．5．已知三條直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系不可能成立的是（

）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．7．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．8．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為；過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為.利用上面的材料，解決下面的問(wèn)題：已知平面的方程為，直線l是平面與的交線，則直線l與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．9．已知直線：，：，則（

）A．恒過(guò)定點(diǎn)B．若，則C．若與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則D．若，則與間的距離的最大值為二、多選題（本大題共2小題）10．下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．任意向量，若，則或或B．已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為C．已知向量，若，則為鈍角D．若，，是不共面的向量，則，，的線性組合可以表示空間中的所有向量11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B．存在Q點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線的斜率為，在軸上的截距為，則直線的方程為．13．已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．半徑的最大值為．14．如圖，在四棱臺(tái)中，，，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線：，：，其中為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求直線，之間的距離；(2)當(dāng)時(shí)，求過(guò)直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程.16．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1）求外接圓的方程；（2）動(dòng)點(diǎn)D在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)坐標(biāo)，求中點(diǎn)的軌跡17．如圖，在三棱柱中，，D為中點(diǎn)，四邊形為正方形．(1)求證：平面；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且(1)求角；(2)若，是的中線，，求的面積.19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，設(shè)點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．(1)求證：CD⊥平面PAD；(2)若．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．(3)設(shè)CG與平面AEF所成角為，求的范圍.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得，實(shí)數(shù)的值是.故選：D.2．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的共面定理可求的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在外，由空間向量的共面定理可知且；由題意，所以；所以，解得.故選B.3．【答案】A【詳解】由題意知,圓的圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，且兩圓半徑相等，因?yàn)閳A，即，所以圓心，半徑為，設(shè)圓關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以圓的方程為，即.故選：A.4．【答案】B【詳解】對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A在平面內(nèi)；對(duì)于B，，，故選項(xiàng)B不在平面內(nèi)；對(duì)于C，，，故選項(xiàng)C在平面內(nèi)；對(duì)于D，，，故選項(xiàng)D在平面內(nèi).故選：B.5．【答案】D【詳解】解：由題意，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系有：當(dāng)或時(shí)，或，故選項(xiàng)B可能成立；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A可能成立；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C可能成立；所以選項(xiàng)D不可能成立.故選：D.6．【答案】A【詳解】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分線上，所以設(shè)外心，因?yàn)?，所以，解得，即：，則，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.7．【答案】D【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出和的公垂線的方向向量，求出，再由可求出.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.8．【答案】A【詳解】對(duì)于，可以整理為，由題意可得：平面過(guò)點(diǎn)，且法向量，聯(lián)立方程，整理可得，由題意可得：直線l過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，∵，∴故直線l與平面所成角的正弦值為.故選：A.9．【答案】AD【詳解】對(duì)于A：直線：，令，解得，所以直線：恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：若，則，即，但是得不到，如時(shí)：，：也滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：依題意，對(duì)于，令，解得，令，解得，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線：，令，解得，則直線恒過(guò)點(diǎn)，令、，則，又，當(dāng)直線、與垂直，則，，解得、，此時(shí)兩平行直線與間的距離的最大，最大值為，故D正確；故選：AD10．【答案】ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式分析即可；對(duì)B，根據(jù)空間中點(diǎn)到線的距離向量公式求解即可；對(duì)C，討論特殊情況反向時(shí)判斷即可；對(duì)D，根據(jù)空間向量共面滿足的條件判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，則或或，即或或，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以．設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則，故B正確；對(duì)于C，，若，則，當(dāng)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以當(dāng)，且時(shí)，為鈍角，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，若、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量，否則若、、共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，顯然無(wú)解，所以、、也不共面，由空間向量基本定理，可能用它們表示出空間任意向量，D正確.故選：ABD11．【答案】ACD【詳解】取、中點(diǎn)，連接、、PF，由PF∥∥且PF＝知是平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∥平面，同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，∴平面∥平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，A選項(xiàng)正確；如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即得取，則.若平面，則∥，即存在，使得，則，解得，故不存在點(diǎn)使得平面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；的面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯xd最大時(shí)，三棱錐的體積最大.，，，則當(dāng)時(shí)，d有最大值1；②，，則當(dāng)時(shí)，d有最大值；綜上，當(dāng)，即和重合時(shí)，三棱錐的體積最大，C選項(xiàng)正確；平面，，，，Q點(diǎn)的軌跡是半徑為，圓心角為的圓弧，軌跡長(zhǎng)度為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12．【答案】【詳解】因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式方程得直線的方程為，即.故答案為：.13．【答案】【詳解】由題意知：，所以，所以的取值范圍為；由因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故答案為：；.14．【答案】【詳解】如圖，設(shè)，則平面，故，的最小值即為四棱臺(tái)的高.如下圖，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，過(guò)作平面，垂足為，連接，則，，因?yàn)?，，故，故，而，故，所以，因?yàn)槠矫?，故，而，故平面，因平面，故，故，故即的最小值為，故答案為?15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，解得，此時(shí)直線：，：，不重合，則直線，之間的距離為；（2）當(dāng)時(shí)，：，聯(lián)立，解得，又直線斜率為，故過(guò)直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為，即.16．【答案】(1)；(2)以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，AB的中點(diǎn)為，則AB的垂直平分線的方程為；，BC的中點(diǎn)為，則BC的垂直平分線的方程為，即；聯(lián)立，解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以外接圓的方程為：；（2）設(shè)，由中點(diǎn)公式得，則，代入得中點(diǎn)的軌跡方程為，即，所以中點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，在三棱柱中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又由且平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：若選條件①：因?yàn)?，，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，以為原點(diǎn)，以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫危傻?，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．若選條件②：解：因?yàn)樗倪呅螢檎叫吻遥傻?，又因?yàn)椋?，由，所以，以為原點(diǎn)，以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫?，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，所以，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，所?（2）解法1：因?yàn)?，是的中線，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，所以，在中，可得，所以，故的面積．解法2：因?yàn)?，是的中線，所以，可得，即，整理得，所以，在中，可得，所以，故的面積．1