專題08排列與組合（重難點(diǎn)突破）-2022年春季高二數(shù)學(xué)下學(xué)期講義（人教A版2019）

專題08排列與組合一、考情分析二、考點(diǎn)梳理【排列】1．排列的概念：從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的一個(gè)排列說明：（1）排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個(gè)排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同2．排列數(shù)的定義：從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從SKIPIF1<0個(gè)元素中取出SKIPIF1<0元素的排列數(shù)，用符號(hào)SKIPIF1<0表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中，任取SKIPIF1<0個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)所以符號(hào)SKIPIF1<0只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列3．排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由SKIPIF1<0的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從SKIPIF1<0個(gè)元素SKIPIF1<0中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過來，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)SKIPIF1<0．由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有SKIPIF1<0種填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3個(gè)空位來考慮，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0個(gè)空位來考慮SKIPIF1<0，排列數(shù)公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）說明：（1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是SKIPIF1<0，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0個(gè)因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)即SKIPIF1<0個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列全排列數(shù)：SKIPIF1<0（叫做n的階乘） 另外，我們規(guī)定0!=1.1組合的概念：一般地，從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0SKIPIF1<0個(gè)元素并成一組，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的一個(gè)組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同【組合】1．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個(gè)不同元素SKIPIF1<0中取出3個(gè)元素的組合數(shù)SKIPIF1<0是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)SKIPIF1<0可以求得，故我們可以考察一下SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系，如下：組合排列SKIPIF1<0由此可知,每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以分如下兩步：①考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有SKIPIF1<0個(gè)；②對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有SKIPIF1<0種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．2.推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以分如下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)SKIPIF1<0；②求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.組合數(shù)的公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0規(guī)定:SKIPIF1<0.

三、題型突破重難點(diǎn)題型突破1簡單的排列問題例1．（2022·全國·高二）某會(huì)議結(jié)束后，21個(gè)會(huì)議人員合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，A站在前排正中間位置，B，C兩人也站在前排并與A相鄰，如果對(duì)其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】【分析】先安排A，再排B，C兩人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.【詳解】先安排A，只有1種選擇；再排B，C兩人，有種選擇；最后排其他人，有種選擇．故由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的排法共有種選擇．故選：D.【變式訓(xùn)練11】、（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙人站到共有級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】對(duì)每個(gè)臺(tái)階上所站的人數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站人時(shí)有種，當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)，有種，綜上所述，共有種不同的站法.故答案為：.重難點(diǎn)題型突破2簡單的組合問題例2．（2021·上海師大附中高二期中）從8名女生和4名男生中選出6名學(xué)生組成課外活動(dòng)小組，則按性別分層抽樣組成課外活動(dòng)小組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣求出抽取的男女生人數(shù)，然后由分步計(jì)數(shù)原理得出抽取的方法數(shù)，再求出總抽取方法數(shù)后計(jì)算概率．【詳解】總體中男女生人數(shù)比為，因此抽取的6人中男生數(shù)為，女生數(shù)為2，所以所求概率為．故選：A．【變式訓(xùn)練21】、8．（2021·廣東·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙?丙三人計(jì)劃參加學(xué)校趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中的千人迎面接力?五人踏板?足球射門?籃球投籃四個(gè)比賽項(xiàng)目，由于時(shí)間關(guān)系，每個(gè)人只能隨機(jī)選擇參加一個(gè)項(xiàng)目，則甲?乙?丙三人中恰好兩人參加同一個(gè)比賽項(xiàng)目的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先分析三人參加項(xiàng)目總的情況數(shù)，然后分析甲?乙?丙三人中恰好兩人參加同一個(gè)比賽項(xiàng)目的的情況數(shù)，根據(jù)兩者的比值求解出對(duì)應(yīng)概率.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，三人參加項(xiàng)目總的情況數(shù)為，甲?乙?丙三人中恰好兩人參加同一個(gè)比賽項(xiàng)目的情況數(shù)為，故所求概率為.故選：A.重難點(diǎn)題型突破3注意缺少“至多”或“最少”例3．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍(lán)色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（

）A．484 B．472C．252 D．232【答案】B【解析】【分析】用間接法分析.先求出“從16張卡片中任取3張的所有取法數(shù)”，再分析“取出的3張為同一種顏色”和“取出的3張有2張綠色卡片”的取法數(shù)，從而可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，不考慮限制，從16張卡片中任取3張，共有種取法，如果取出的3張為同一種顏色，則有種情況，如果取出的3張有2張綠色卡片，則有種情況，故所求的取法共有種.故選：B.【變式訓(xùn)練31】、（2022·重慶·模擬預(yù)測）將5名實(shí)習(xí)老師安排到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1人、至多2人，則不同的安排方法有（

）A．90種 B．120種 C．150種 D．180種【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)知分組方式為人數(shù)分別為{1,2,2}，應(yīng)用排列組合數(shù)、部分平均分組求不同的安排方法數(shù).【詳解】由題設(shè)，將老師按各組人數(shù){1,2,2}分組，∴不同的安排方法有種.故選：A.重難點(diǎn)題型突破4特殊元素優(yōu)先處理例4．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期末）共五人站成一排，如果必須站在的右邊，那么不同的排法有___________種.【答案】【解析】【分析】首先將C、D、E排序，再將作為整體插入隊(duì)列中的一個(gè)空或分別插入隊(duì)列中的兩個(gè)空，即可得不同的排法數(shù).【詳解】1、將C、D、E排成一列，有種，2、把作為整體插入4個(gè)空中，有種，或分別插入4個(gè)空中的2個(gè)空中，有種，所以共有種.故答案為：60.【變式訓(xùn)練41】、（2022·江蘇省天一中學(xué)高二期末）某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課，要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是___________．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)題意，可分三步進(jìn)行分析：（1）要求語文與化學(xué)相鄰，將語文與化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其順序；（2）將這個(gè)整體與英語全排列，排好后，有3個(gè)空位；（3）數(shù)學(xué)課不排第一行，有2個(gè)空位可選，在剩下的2個(gè)空位中任選1個(gè)，得數(shù)學(xué)、物理的安排方法，最后利用分步計(jì)數(shù)原理，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，可分三步進(jìn)行分析：（1）要求語文與化學(xué)相鄰，將語文與化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其順序，有種情況；（2）將這個(gè)整體與英語全排列，有中順序，排好后，有3個(gè)空位；（3）數(shù)學(xué)課不排第一行，有2個(gè)空位可選，在剩下的2個(gè)空位中任選1個(gè)，安排物理，有2種情況，則數(shù)學(xué)、物理的安排方法有種，所以不同的排課方法的種數(shù)是種，故答案為：16．【變式訓(xùn)練42】、（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于201345的正整數(shù)有（

）個(gè).A．478 B．479 C．480 D．481【答案】B【解析】【分析】201345是以2開頭的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中最小的一個(gè)，所以先算所有沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)的個(gè)數(shù)，再用減法即可.【詳解】由以1開頭的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于201345是以2開頭的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中最小的一個(gè)，所有的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為故沒有重復(fù)數(shù)字且大于201345的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)正面解答情況比較多時(shí)，不妨思考其反面.重難點(diǎn)題型突破5相鄰問題用捆綁與不相鄰問題用插空例5．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）某學(xué)校為高一年級(jí)排周一上午的課表，共5節(jié)課，需排語文?數(shù)學(xué)?英語?生物?地理各一節(jié)，要求語文?英語之間恰排1門其它學(xué)科，則不同的排法數(shù)是（

）A．18 B．26 C．36 D．48【答案】C【解析】【分析】先從剩余的3門學(xué)科選1科放到語文?英語之間，再將它們看成一個(gè)整體與剩余的2門學(xué)科進(jìn)行排列，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】分兩步如下：（1）將語文?英語之間恰排1門其它學(xué)科，并將它們看成一個(gè)整體有種；（2）將上面整體和剩余的2門學(xué)科進(jìn)行排列有種；再利用分步計(jì)數(shù)原理可知共有種排法，故選：C【變式訓(xùn)練51】、（2021·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））甲、乙、丙三人站成一排，則甲、乙不相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件總數(shù)，甲、乙二人不相鄰可知有2種方法，進(jìn)而求得概率.【詳解】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件總數(shù)，甲、乙二人不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)，甲、乙二人不相鄰的概率.故選：B.【變式訓(xùn)練52】、（2021·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（理）），，，，五個(gè)人站成一排，則和分別站在的兩邊（可以相鄰也可以不相鄰）的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出五人站成一排的基本事件總數(shù)，再利用分類相加計(jì)數(shù)原理求出A和C分別站在的兩邊的基本事件數(shù)，即可求出概率.【詳解】A和C分別站在B的兩邊，則B只能在中間3個(gè)位置，分類說明：（1）若B站在左2位置，從A，C選一個(gè)排在B左側(cè)，剩余的3個(gè)人排在B右側(cè)，故有種排法；（2）若B站在3位置，從A，C選一個(gè)，從D，E選一個(gè)排在B左側(cè)，并排列，剩余的2個(gè)人排在B右側(cè)，故有種排法；（3）若B站在右2位置，排法與（1）相同，即有12種排法；所以A和C分別站在B的兩邊的排法總共有種排法；A，B，C，D，E五個(gè)人站成一排有種排法，故A和C分別站在B的兩邊的概率故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查利用排列求概率，常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).重難點(diǎn)題型突破6排列與組合中平均分問題例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））將4本不同的書本全部分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)都分到書的分法有（

）A．12種 B．24種 C．32種 D．36種【答案】D【解析】【分析】將4本不同的書按分成3份，再分給3人即可得解.【詳解】依題意，將4本不同的書任取2本為1份，余下兩本各1份，分成3份有種分法，再將分得的3份送給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人1份有種送法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得：，所以每位同學(xué)都分到書的分法有36種.故選：D【變式訓(xùn)練61】、（2021·浙江·高三開學(xué)考試）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某志愿者協(xié)會(huì)開展“黨史下鄉(xiāng)”宣講活動(dòng)，準(zhǔn)備派遣10名志愿者去三個(gè)鄉(xiāng)村開展宣講，每名志愿者只去一個(gè)鄉(xiāng)村，每個(gè)鄉(xiāng)村至少安排3個(gè)志愿者，則不同的安排方法共有________種．（用數(shù)字作答）【答案】12600【解析】【分析】先將10名志愿者分成（3,3,4）一組，再分配到三個(gè)鄉(xiāng)村即可求出結(jié)果.【詳解】依題意，先將10名志愿者分成（3,3,4）一組，再分配到三個(gè)鄉(xiāng)村，則有種安排方法.故答案為：12600.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解排列組合的綜合應(yīng)用問題，一般按先選再排，先分組再分配的處理原則．對(duì)于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏．重難點(diǎn)題型突破8涂色問題例7．（2019·浙江·）用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【答案】B【解析】【分析】對(duì)于排列組合的染色問題通常采用分步計(jì)數(shù)原理，分別為各個(gè)區(qū)域染色，即可求解.【詳解】設(shè)四種顏料為，①先涂區(qū)域B，有4中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色1；②再涂區(qū)域C，有3中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；③再涂區(qū)域