專題15綜合測試

綜合測試（新教材人教A版2019）考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2020·寧夏高三其他模擬）已知實數(shù)成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為（）A． B．2 C．或2 D．或【答案】A【解析】∵1，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，∴m2=1×9，則m=±3．當(dāng)m=3時，圓錐曲線+y2=1是橢圓，它的離心率是=；當(dāng)m=﹣3時，圓錐曲線+y2=1是雙曲線，故舍去，則離心率為．故選A．2．（2020·甘肅高三其他模擬）已知等比數(shù)列的前項和為，則a=（）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】因為，所以，，，，求得.故選：C．3．（2020·安徽高三其他模擬）古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中曾出現(xiàn)過高息借貸的題目：“今有舉取他絹，重作券；要過限一日，息絹一尺；二日息二尺；如是息絹，日多一尺.今過限一百日，問息絹幾何？”題目的意思是：債主拿欠債方的絹做抵押品，債務(wù)過期第一天要納利息尺絹，過期第二天利息是尺，這樣，每天利息比前一天增多尺，若過期天，欠債方共納利息為（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】每天的利息構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以共納利息為（尺）.故選D.4．（2020·全國高三其他模擬）已知直線l：y＝k(x＋)和圓C：，若直線l與圓C相切，則k＝（）A．0 B． C．或0 D．或0【答案】D【解析】因為直線l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d＝＝1，解得k＝0或k＝.故選：D.5.（2020·貴州遵義·高三其他模擬）若函數(shù)無極值點則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,，由函數(shù)無極值點知，至多1個實數(shù)根，，解得，實數(shù)a的取值范圍是，故選：B6．（2020·陜西省丹鳳中學(xué)高三一模）點P在曲線上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，則，又，所以，故選：D.7．（2020·四川巴中·高三零模）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，當(dāng)，，當(dāng)或時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，令，可得或，則的圖像如圖所示，因為函數(shù)在區(qū)間上有最小值，故，解得：，故選：C.8．（2020·山西高三期中）設(shè)函數(shù)，其中，若有且僅有兩個不同的整數(shù)n，使得，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，即，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，恒過定點，在同一坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示：因為有且僅有兩個不同的整數(shù)n，使得，所以有且僅有兩個不同的整數(shù)n，使得的圖象在的圖象的下方，所以，即，解得，所以m的取值范圍是，故選：A二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.9．（2020·呂叔湘中學(xué)高三月考）已知等比數(shù)列的公比為，前4項的和為，且，，成等差數(shù)列，則的值可能為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】AC【解析】因為，，成等差數(shù)列，所以，因此，，故．又是公比為的等比數(shù)列，所以由，得，即，解得或．故選：AC．10．（2020·海南高三其他模擬）已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則（）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前項和D．的前項和【答案】BD【解析】由得，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A錯誤；因為，所以，顯然遞增，故B正確；因為，，所以，故，故C錯誤；因為，所以的前項和，故D正確.故選：BD11．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線過點且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為 B．的離心率為C．曲線經(jīng)過的一個焦點 D．直線與有兩個公共點【答案】AC【解析】對于A：由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，把點代入，得，即．雙曲線的方程為，故正確；對于B：由，，得，雙曲線的離心率為，故錯誤；對于C：取，得，，曲線過定點，故正確；對于D：雙曲線的漸近線，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與有1個公共點，故不正確．故選：．12．（2020·福建高三其他模擬）設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．定義域是 B．時，圖象位于軸下方C．存在單調(diào)遞增區(qū)間 D．有且僅有一個極值點【答案】BCD【解析】由題意，函數(shù)滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域為，所以A不正確；由，當(dāng)時，，∴，所以在上的圖象都在軸的下方，所以B正確；∵，所以在定義域上有解，所以函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以C是正確的；由，則，所以，函數(shù)單調(diào)增，則函數(shù)只有一個根，使得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個極小值，所以D正確；故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是______．【答案】【解析】由題意知，，，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，即．故答案為：.14．（2020·廣東高三月考）已知直線是曲線的切線，則_________.【答案】2【解析】設(shè)切點為，則，由得，所以，解得，所以,故答案為：.15．（2020·云南曲靖一中高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前項和________.【答案】【解析】因為，所以，兩式相減得，當(dāng)時也滿足，故，，故.故答案為：16．（2020·江蘇無錫市·高三期中）已知函數(shù)，令，當(dāng)時，有，則_______；若函數(shù)恰好有4個零點，則實數(shù)k的值為_______.【答案】【解析】由，可得當(dāng)時，恒成立，所以；當(dāng)時，，可化簡得，則或；由為函數(shù)的一個零點，當(dāng)時，令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值為，要使得函數(shù)恰好有4個零點，等價于函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得函數(shù)恰好有4個零點，則.故答案為：

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2020·吉林市第二中學(xué)高三期中）已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（）；（2）（）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，所以，，（）；（2）由（1）得，，所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，（）.18．（2020·河南鄭州·高三其他模擬）在遞增的等差數(shù)列中，，是和的等比中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)公差為，因為，是和的等比中項,所以解得所以，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，所以，所以．19．（2020·云南昆明·高三其他模擬）已知橢圓的離心率為，其左?右焦點分別為，，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且，(O為坐標(biāo)原點).（1）求橢圓C的方程；（2）過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】(1)，，又，，即，則可得，又，，故所求橢圓方程為；(2)設(shè)直線，代入，有.設(shè)，則，若軸上存在定點滿足題設(shè)，則，，，由題意知，對任意實數(shù)都有恒成立，即對成立.，解得，在軸上存在定點,使以為直徑的圓恒過這個定點.20．（2020·河南鄭州·高三其他模擬（理））已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)的定義域是，則．當(dāng)時，，此時在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)且時，即時，對任意恒成立，即對任意恒成立，且不恒為0．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)且時，即時，方程的兩根依次為，，此時在區(qū)間，上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，方程的兩根依次為，，此時在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：當(dāng)時，，則．當(dāng)時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增．因為，，所以存在使得，即，即．故當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時．即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，，所以．故．21．（2020·全國高三其他模擬）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）因為所以令，得，.所以當(dāng)時，時，，時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時在上恒成立，于是在上單調(diào)遞增：當(dāng)時，時，，時，時，，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）解法一①當(dāng)，即時，由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，依題意有，解得，所以.②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，依題意有，解得，即，又，故此時不存在滿足題意；③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，而，不成立，故此時的不滿足題意；④當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，依題意有，且，無解，此時不存在滿足題意；⑤當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，依題意有，且，又，故此時不存在滿足題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是解法二由得，即，易知，所以設(shè)，，則，易知，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.所以，所以，故實數(shù)的取值范圍為.22．（2020·全國高三其他模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)只有1個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間；（2）.【解析】（1）的定義域是，當(dāng)時，，，易知單調(diào)遞