人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修三講義)第19講8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性(8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系+8.1.2樣本相關(guān)系數(shù))(學(xué)生版+解析)

第01講8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性（8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系+8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念。②能利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，會(huì)作簡(jiǎn)單的散點(diǎn)圖。③會(huì)根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)畫(huà)散點(diǎn)圖，能根據(jù)散點(diǎn)圖判斷成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)情況，能利用相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度知識(shí)點(diǎn)1：變量的相關(guān)關(guān)系變量與變量之間的關(guān)系常見(jiàn)的有兩類：一類是變量之間的關(guān)系具有確定性，當(dāng)一個(gè)變量確定后，另一個(gè)變量就確定了；另一類是變量之間確實(shí)有一定的關(guān)系，但沒(méi)有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機(jī)性.（1）相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.（2）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的異同點(diǎn)函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)兩者均是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同點(diǎn)是一種確定性關(guān)系是一種非確定性的關(guān)系是兩個(gè)變量之間的關(guān)系①一個(gè)為變量，另一個(gè)為隨機(jī)變量；②兩個(gè)都是隨機(jī)變量是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系是一種理想的相關(guān)關(guān)系模型是一種更為一般的情況知識(shí)點(diǎn)2：散點(diǎn)圖的概念（1）一般地，如果收集到了變量和變量的對(duì)數(shù)據(jù)（簡(jiǎn)稱為成對(duì)樣本數(shù)據(jù)），如下表所示序號(hào)1234變量變量則在直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn),就可以得到這對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（2）正相關(guān)與負(fù)相關(guān)如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).【即學(xué)即練1】（2022上·新疆和田·高二校考期末）對(duì)于變量，有以下四個(gè)散點(diǎn)圖，由這四個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷變量與成負(fù)相關(guān)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】A：各點(diǎn)分布沒(méi)有明顯相關(guān)性，不符；B：各點(diǎn)分布在一條直線附近，且有負(fù)相關(guān)性，符合；C：各點(diǎn)分布在一條拋物線附近，變量之間先呈正相關(guān)，后呈負(fù)相關(guān)，不符；D：各點(diǎn)分布在一條直線附近，且有正相關(guān)性，不符.故選：B（3）線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)理解.知識(shí)點(diǎn)3：相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（1）樣本相關(guān)系數(shù)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)，由于度量對(duì)象和單位的不同等，數(shù)值會(huì)有大有小，為了去除這些因素的影響，統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用來(lái)衡量與的線性相關(guān)性強(qiáng)弱，我們稱為變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù).【即學(xué)即練2】（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動(dòng)于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國(guó)各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對(duì)的題數(shù)如下表：天數(shù)x1234567一次最多答對(duì)題數(shù)y12151618212427參考數(shù)據(jù)：，，，，，相關(guān)系數(shù)由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】正0.99【詳解】由表中數(shù)據(jù)得隨的增大而增大，所以該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是正相關(guān)，.故答案為：正；.（2）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)①當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系.②樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍為當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);當(dāng)越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.【即學(xué)即練3】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）為了比較甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)弱，某同學(xué)分別計(jì)算了甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)，求得數(shù)值依次為，，0.36，0.93，則這四組數(shù)據(jù)中線性相關(guān)性最強(qiáng)的是組數(shù)據(jù)．【答案】甲【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)，由甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，0.36，0.93，所以甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)．故答案為：甲．題型01相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的概念及辨析【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．中的x，y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量B．正四面體的體積與棱長(zhǎng)具有相關(guān)關(guān)系C．電腦的銷(xiāo)售量與電腦的價(jià)格之間是一種確定性的關(guān)系D．傳染病醫(yī)院感染傳染病的醫(yī)務(wù)人員數(shù)與醫(yī)院收治的傳染病人數(shù)是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是（

）．A．正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系B．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系C．出租車(chē)車(chē)費(fèi)與行駛的里程之間的關(guān)系D．降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是．①角度和它的余弦值；②正方形的邊長(zhǎng)和面積③正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和；④人的年齡和身高【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列兩個(gè)量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與位移的關(guān)系 B．學(xué)生的成績(jī)和身高C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質(zhì)量【變式2】（多選）（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．角度和它的余弦值B．眼睛的近視程度與看手機(jī)的時(shí)間C．正邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和的度數(shù)D．人的年齡和身高【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出成對(duì)值的數(shù)據(jù)如下：124835917則根據(jù)數(shù)據(jù)可以判斷和的關(guān)系是．（填“確定關(guān)系”“相關(guān)關(guān)系”或“沒(méi)有關(guān)系”）題型02判斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系【典例1】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）下列兩個(gè)變量中能夠具有相關(guān)關(guān)系的是（

）A．人所站的高度與視野 B．人眼的近視程度與身高C．正方體的體積與棱長(zhǎng) D．某同學(xué)的學(xué)籍號(hào)與考試成績(jī)【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）下面是隨機(jī)抽取的9名15歲男生的身高、體重列表：編號(hào)123456789身高/cm165157155175168157178160163體重/kg524445555447625053判斷所給的兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系．【變式1】（2023下·四川樂(lè)山·高二期末）下列變量間的關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥之間的關(guān)系B．正方形的面積與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系C．商品銷(xiāo)售收入與其廣告費(fèi)支出之間的關(guān)系D．人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系【變式2】（2023下·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在下列各量之間，存在相關(guān)關(guān)系的是①正方體的體積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系；

②一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；

④家庭的支出與收入之間的關(guān)系；⑤某戶家庭用電量與電價(jià)之間的關(guān)系．A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④題型03判斷正負(fù)相關(guān)【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)變量、由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖，對(duì)變量、由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（

）A．變量與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)B．變量與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)C．變量與正相關(guān)，與正相關(guān)D．變量與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某商場(chǎng)五天內(nèi)某種恤衫的銷(xiāo)售情況如下表：第天銷(xiāo)售量y（件）則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)C．與不相關(guān) D．與成正比例關(guān)系【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于y與x的回歸直線方程中，變量成正相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在下列各散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．題型04樣本相關(guān)系數(shù)大小對(duì)變量相關(guān)性的影響【典例1】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則與的大小關(guān)系是.【變式1】（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，正確的有（

）A． B． C． D．【變式2】（2024上·全國(guó)·高三期末）以下4幅散點(diǎn)圖所對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為.題型05相關(guān)系數(shù)的計(jì)算【典例1】（2024上·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）大學(xué)生劉銘去某工廠實(shí)習(xí)，實(shí)習(xí)結(jié)束時(shí)從自己制作的某種零件中隨機(jī)選取了10個(gè)樣品，測(cè)量每個(gè)零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)12345678910總和零件的橫截面積0.030.050.040.070.070.040.050.060.060.050.52耗材量0.240.400.230.550.500.340.350.450.430.413.9并計(jì)算得．(1)估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個(gè)零件的橫截面積以及平均一個(gè)零件的耗材量；(2)求劉銘同學(xué)制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)劉銘同學(xué)測(cè)量了自己實(shí)習(xí)期制作的所有這種零件的橫截面積，并得到所有這種零件的橫截面積的和為，若這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，請(qǐng)幫劉銘計(jì)算一下他制作的零件的總耗材量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某專營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了最近天到該店購(gòu)物的人數(shù)和時(shí)間第天之間的數(shù)據(jù)，列表如下：(1)由表中給出的數(shù)據(jù)，判斷是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系？（若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度高，可用線性回歸模型擬合；否則，不可用線性回歸模型擬合.計(jì)算時(shí)精確到）(2)該專營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷(xiāo)方案：方案一，購(gòu)物金額每滿元可減元；方案二，購(gòu)物金額超過(guò)元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打折，中獎(jiǎng)兩次打折，中獎(jiǎng)三次打折.某顧客計(jì)劃在此專營(yíng)店購(gòu)買(mǎi)一件價(jià)值元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選哪種方案更優(yōu)惠？參考數(shù)據(jù)：.附：相關(guān)系數(shù).【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某食品加工廠新研制出一種袋裝食品（規(guī)格：/袋），下面是近六個(gè)月每袋出廠價(jià)格（單位：元）與銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)袋）的對(duì)應(yīng)關(guān)系表：月份序號(hào)每袋出廠價(jià)格月銷(xiāo)售量并計(jì)算得，，.(1)計(jì)算該食品加工廠這六個(gè)月內(nèi)這種袋裝食品的平均每袋出廠價(jià)格、平均月銷(xiāo)售量和平均月銷(xiāo)售收入；(2)求每袋出廠價(jià)格與月銷(xiāo)售量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；(3)若樣本相關(guān)系數(shù)，則認(rèn)為相關(guān)性很強(qiáng)；否則沒(méi)有較強(qiáng)的相關(guān)性.你認(rèn)為該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價(jià)格與月銷(xiāo)售量是否有較強(qiáng)的相關(guān)性.附：樣本相關(guān)系數(shù)，.【變式1】（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動(dòng)于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國(guó)各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對(duì)的題數(shù)如下表：天數(shù)x1234567一次最多答對(duì)題數(shù)y12151618212427參考數(shù)據(jù)：，，，，，相關(guān)系數(shù)由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）人口結(jié)構(gòu)的變化，能明顯影響住房需求.當(dāng)一個(gè)地區(qū)青壯年人口占比高，住房需求就會(huì)增加，而當(dāng)一個(gè)地區(qū)老齡化嚴(yán)重，住房需求就會(huì)下降.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了某個(gè)地區(qū)的10個(gè)城市，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)城市的老齡化率和空置率，得到如下表格.城市12345678910總和老齡化率0.170.20.180.050.210.090.190.30.170.241.8空置率0.060.130.090.050.090.080.110.150.160.281.2并計(jì)算得.(1)若老齡化率不低于，則該城市為超級(jí)老齡化城市，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)城市為超級(jí)老齡化城市的頻率；(2)估計(jì)該地區(qū)城市的老齡化率和空置率的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）.參考公式：相關(guān)系數(shù).【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖是我國(guó)2014年至2020年年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖.注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2014～2020.由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明.參考數(shù)據(jù)：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（

）A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)身高和體重散點(diǎn)圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．身高越高，體重越重 B．身高越高，體重越輕 C．身高與體重成正相關(guān) D．身高與體重成負(fù)相關(guān)3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)系中，是相關(guān)關(guān)系的為（

）①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績(jī)；②身高與體重；③鐵塊的大小與質(zhì)量；④出租車(chē)的車(chē)費(fèi)與行駛路程．A．①② B．①③ C．②③ D．②④4．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）下圖中的兩個(gè)變量，具有相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．5．（2024上·江西吉安·高一江西省新干中學(xué)期末）對(duì)于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．可以用來(lái)判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性B．可以是正的，也可以是負(fù)的C．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越高D．取值范圍是6．（2024上·全國(guó)·高三期末）如圖（1）（2）分別表示樣本容量均為7的A，B兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，已知A組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為，B組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為，則與的大小關(guān)系為（

）

A． B．C． D．無(wú)法判斷7．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）為考察兩個(gè)變量x，y的相關(guān)性，搜集數(shù)據(jù)如表，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度（）x510152025y103105110111114A．很強(qiáng) B．很弱C．無(wú)相關(guān) D．不確定8．（2023下·高二單元測(cè)試）一唱片公司欲知唱片費(fèi)用x(十萬(wàn)元)與唱片銷(xiāo)售量y(千張)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機(jī)抽選了10張，得如下的資料：，，，，，則y與x的相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值為（

）A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3二、多選題9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列變量間可能用直線擬合的是（

）A．光照時(shí)間與大棚內(nèi)蔬菜的產(chǎn)量 B．某正方形的邊長(zhǎng)與此正方形的面積C．舉重運(yùn)動(dòng)員所能舉起的最大重量與他的體重 D．某人的身高與視力10．（2023下·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于相關(guān)系數(shù)r的敘述中，正確的是（

）A．B．當(dāng)y與x正相關(guān)時(shí)，C．時(shí)，兩個(gè)變量之間的回歸直線方程沒(méi)有價(jià)值D．當(dāng)成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在回歸直線上時(shí)，則三、填空題11．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）給出下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)身高的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹(shù)木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；⑤學(xué)生與他(她)的學(xué)號(hào)之間的關(guān)系．其中有相關(guān)關(guān)系的是．12．（2023下·上海奉賢·高二上海市奉賢中學(xué)?？计谥校┮阎兞?，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則變量，之間的相關(guān)系數(shù).(計(jì)算結(jié)果精確到0.01)6810126532B能力提升13．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）某網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了某網(wǎng)紅螺螄粉在2020年7月至11月的總銷(xiāo)售量y（單位：萬(wàn)），得到以下數(shù)據(jù)：月份x7891011銷(xiāo)售量y1012111220根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？（參考公式：相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：）14．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）某商店經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為每件4元的商品，在市場(chǎng)調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元）與日銷(xiāo)售量y（單位：件）之間有如下關(guān)系：x5678y10873試計(jì)算x，y之間的相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，15．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于兩個(gè)變量和的組數(shù)據(jù)如下表所示：求變量與的相關(guān)系數(shù)，并判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．第01講8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性（8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系+8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念。②能利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，會(huì)作簡(jiǎn)單的散點(diǎn)圖。③會(huì)根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)畫(huà)散點(diǎn)圖，能根據(jù)散點(diǎn)圖判斷成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)情況，能利用相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度知識(shí)點(diǎn)1：變量的相關(guān)關(guān)系變量與變量之間的關(guān)系常見(jiàn)的有兩類：一類是變量之間的關(guān)系具有確定性，當(dāng)一個(gè)變量確定后，另一個(gè)變量就確定了；另一類是變量之間確實(shí)有一定的關(guān)系，但沒(méi)有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機(jī)性.（1）相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.（2）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的異同點(diǎn)函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)兩者均是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同點(diǎn)是一種確定性關(guān)系是一種非確定性的關(guān)系是兩個(gè)變量之間的關(guān)系①一個(gè)為變量，另一個(gè)為隨機(jī)變量；②兩個(gè)都是隨機(jī)變量是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系是一種理想的相關(guān)關(guān)系模型是一種更為一般的情況知識(shí)點(diǎn)2：散點(diǎn)圖的概念（1）一般地，如果收集到了變量和變量的對(duì)數(shù)據(jù)（簡(jiǎn)稱為成對(duì)樣本數(shù)據(jù)），如下表所示序號(hào)1234變量變量則在直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn),就可以得到這對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（2）正相關(guān)與負(fù)相關(guān)如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).【即學(xué)即練1】（2022上·新疆和田·高二?？计谀?duì)于變量，有以下四個(gè)散點(diǎn)圖，由這四個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷變量與成負(fù)相關(guān)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】A：各點(diǎn)分布沒(méi)有明顯相關(guān)性，不符；B：各點(diǎn)分布在一條直線附近，且有負(fù)相關(guān)性，符合；C：各點(diǎn)分布在一條拋物線附近，變量之間先呈正相關(guān)，后呈負(fù)相關(guān)，不符；D：各點(diǎn)分布在一條直線附近，且有正相關(guān)性，不符.故選：B（3）線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)理解.知識(shí)點(diǎn)3：相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（1）樣本相關(guān)系數(shù)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)，由于度量對(duì)象和單位的不同等，數(shù)值會(huì)有大有小，為了去除這些因素的影響，統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用來(lái)衡量與的線性相關(guān)性強(qiáng)弱，我們稱為變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù).【即學(xué)即練2】（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動(dòng)于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國(guó)各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對(duì)的題數(shù)如下表：天數(shù)x1234567一次最多答對(duì)題數(shù)y12151618212427參考數(shù)據(jù)：，，，，，相關(guān)系數(shù)由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】正0.99【詳解】由表中數(shù)據(jù)得隨的增大而增大，所以該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是正相關(guān)，.故答案為：正；.（2）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)①當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系.②樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍為當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);當(dāng)越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.【即學(xué)即練3】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）為了比較甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)弱，某同學(xué)分別計(jì)算了甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)，求得數(shù)值依次為，，0.36，0.93，則這四組數(shù)據(jù)中線性相關(guān)性最強(qiáng)的是組數(shù)據(jù)．【答案】甲【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)，由甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，0.36，0.93，所以甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)．故答案為：甲．題型01相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的概念及辨析【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．中的x，y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量B．正四面體的體積與棱長(zhǎng)具有相關(guān)關(guān)系C．電腦的銷(xiāo)售量與電腦的價(jià)格之間是一種確定性的關(guān)系D．傳染病醫(yī)院感染傳染病的醫(yī)務(wù)人員數(shù)與醫(yī)院收治的傳染病人數(shù)是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量【答案】D【詳解】A，B均為函數(shù)關(guān)系，故A、B錯(cuò)誤；C，D為相關(guān)關(guān)系，故C錯(cuò)，D對(duì).故選：D【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是（

）．A．正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系B．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系C．出租車(chē)車(chē)費(fèi)與行駛的里程之間的關(guān)系D．降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系【答案】BD【詳解】A中，正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；B中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；C中，出租車(chē)車(chē)費(fèi)與行駛的里程之間的關(guān)系為確定的函數(shù)關(guān)系；D中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．故選：BD．【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是．①角度和它的余弦值；②正方形的邊長(zhǎng)和面積③正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和；④人的年齡和身高【答案】①②③【詳解】①②③中的兩個(gè)變量之間是一種確定性的關(guān)系，都是函數(shù)關(guān)系，它們的函數(shù)關(guān)系式分別為f(θ)=cosθ，g(a)=a2，h(n)=(n-2)×180°，④中人的年齡和身高這兩個(gè)變量不是確定性的關(guān)系，它們不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于年齡相同的人來(lái)說(shuō)，有很多不同的身高值.故答案為：①②③【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列兩個(gè)量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與位移的關(guān)系 B．學(xué)生的成績(jī)和身高C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質(zhì)量【答案】C【詳解】A、D是函數(shù)關(guān)系；B是不相關(guān)關(guān)系；C是相關(guān)關(guān)系，故選：C【變式2】（多選）（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．角度和它的余弦值B．眼睛的近視程度與看手機(jī)的時(shí)間C．正邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和的度數(shù)D．人的年齡和身高【答案】BD【詳解】對(duì)于A，角度和它的余弦值滿足函數(shù)關(guān)系，A是函數(shù)關(guān)系；對(duì)于B，眼睛的近視程度與看手機(jī)的事件是客觀存在的相互依存的不確定性關(guān)系，B不是函數(shù)關(guān)系；對(duì)于C，正邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和的度數(shù)滿足函數(shù)關(guān)系，C是函數(shù)關(guān)系；對(duì)于D，人的年齡和身高是客觀存在的相互依存的不確定性關(guān)系，D不是函數(shù)關(guān)系.故選：BD.【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出成對(duì)值的數(shù)據(jù)如下：124835917則根據(jù)數(shù)據(jù)可以判斷和的關(guān)系是．（填“確定關(guān)系”“相關(guān)關(guān)系”或“沒(méi)有關(guān)系”）【答案】確定關(guān)系【詳解】由題表中數(shù)據(jù)可以得到x，y之間是一種函數(shù)關(guān)系，函數(shù)解析式為，所以x，y之間是一種確定的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系．故答案為：確定關(guān)系．題型02判斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系【典例1】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）下列兩個(gè)變量中能夠具有相關(guān)關(guān)系的是（

）A．人所站的高度與視野 B．人眼的近視程度與身高C．正方體的體積與棱長(zhǎng) D．某同學(xué)的學(xué)籍號(hào)與考試成績(jī)【答案】A【詳解】A.人所站的高度越高則視野越開(kāi)闊，具有正相關(guān)關(guān)系，故正確；B.人眼的近視程度與身高不具有相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；C.正方體的體積與棱長(zhǎng)是一種確定關(guān)系，故錯(cuò)誤；D.某同學(xué)的學(xué)籍號(hào)與考試成績(jī)不具有相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；故選：A【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）下面是隨機(jī)抽取的9名15歲男生的身高、體重列表：編號(hào)123456789身高/cm165157155175168157178160163體重/kg524445555447625053判斷所給的兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系．【答案】存在相關(guān)關(guān)系【詳解】方法一：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，人的身高和體重之間存在相關(guān)關(guān)系．觀察表格中的數(shù)據(jù)可知，人的體重隨著身高的增高而增長(zhǎng)，因此人的身高和體重之間存在相關(guān)關(guān)系．方法二：以x軸表示身高，以y軸表示體重，得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．【變式1】（2023下·四川樂(lè)山·高二期末）下列變量間的關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥之間的關(guān)系B．正方形的面積與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系C．商品銷(xiāo)售收入與其廣告費(fèi)支出之間的關(guān)系D．人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系【答案】B【詳解】A選項(xiàng)，水稻產(chǎn)量與施肥之間沒(méi)有明確的等量關(guān)系，是相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，正方形的面積與邊長(zhǎng)之間有著明確的等量關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系，故B正確；C選項(xiàng)，商品銷(xiāo)售收入與其廣告費(fèi)支出之間沒(méi)有明確的等量關(guān)系，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間沒(méi)有明確的等量關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：B【變式2】（2023下·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在下列各量之間，存在相關(guān)關(guān)系的是①正方體的體積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系；

②一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；

④家庭的支出與收入之間的關(guān)系；⑤某戶家庭用電量與電價(jià)之間的關(guān)系．A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④【答案】D【詳解】試題分析：相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，而①和⑤均是兩個(gè)有確定關(guān)系的量．我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著身高的增高，體重基本上呈增長(zhǎng)的趨勢(shì)．所以體重與身高之間存在相關(guān)關(guān)系，并且是正相關(guān)．題型03判斷正負(fù)相關(guān)【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)變量、由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖，對(duì)變量、由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（

）A．變量與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)B．變量與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)C．變量與正相關(guān)，與正相關(guān)D．變量與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)【答案】B【詳解】由散點(diǎn)圖可知，變量與負(fù)相關(guān)，變量與正相關(guān)，所以，與負(fù)相關(guān).故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某商場(chǎng)五天內(nèi)某種恤衫的銷(xiāo)售情況如下表：第天銷(xiāo)售量y（件）則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)C．與不相關(guān) D．與成正比例關(guān)系【答案】B【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖，可知所有點(diǎn)都在一條直線附近波動(dòng)，是線性相關(guān)的，且值隨著值的增大而增大，即與正相關(guān)，故選：B．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于y與x的回歸直線方程中，變量成正相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A中，由方程，可得，所以變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對(duì)于B中，由方程，可得，所以變量成正相關(guān)關(guān)系；對(duì)于C中，由方程，可得，所以變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對(duì)于D中，由方程，可得，所以變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系；故選：B.【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在下列各散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A，散點(diǎn)的變化具有波動(dòng)性，非正相關(guān)關(guān)系，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)變大時(shí)，的變化趨勢(shì)也是逐漸增大，可知兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系，B正確；對(duì)于C，當(dāng)變大時(shí)，的變化趨勢(shì)是逐漸減小，可知兩個(gè)變量具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)變量的變化無(wú)規(guī)律，二者沒(méi)有相關(guān)性，D錯(cuò)誤.故選：B.題型04樣本相關(guān)系數(shù)大小對(duì)變量相關(guān)性的影響【典例1】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【詳解】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，左側(cè)兩圖是正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，則，，右側(cè)兩圖是負(fù)相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，則，，下方兩圖的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以相關(guān)性較強(qiáng)，所以接近于1，接近于－1，上方兩圖的點(diǎn)相對(duì)分散一些，所以相關(guān)性較弱，所以和比較接近0，由此可得．故選：B．【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則與的大小關(guān)系是.【答案】【詳解】由數(shù)據(jù)可知與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)，所以，則.故答案為：【變式1】（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】由圖形特征可知都是負(fù)相關(guān)，都是負(fù)數(shù)，比的相關(guān)系數(shù)更強(qiáng)，所以，，都是正相關(guān)，比的相關(guān)系數(shù)更強(qiáng)，所以，所以AC正確.故選：AC【變式2】（2024上·全國(guó)·高三期末）以下4幅散點(diǎn)圖所對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為.【答案】【詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知，圖①③成正相關(guān)，圖②④成負(fù)相關(guān)，所以，又圖①②的散點(diǎn)圖近似在一條直線上，所以圖①②兩變量的線性相關(guān)程度比較高，圖③④的散點(diǎn)圖比較分散，故圖③④兩變量的線性相關(guān)程度比較低，即與比較大，與比較小，所以.故答案為：題型05相關(guān)系數(shù)的計(jì)算【典例1】（2024上·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）大學(xué)生劉銘去某工廠實(shí)習(xí)，實(shí)習(xí)結(jié)束時(shí)從自己制作的某種零件中隨機(jī)選取了10個(gè)樣品，測(cè)量每個(gè)零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)12345678910總和零件的橫截面積0.030.050.040.070.070.040.050.060.060.050.52耗材量0.240.400.230.550.500.340.350.450.430.413.9并計(jì)算得．(1)估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個(gè)零件的橫截面積以及平均一個(gè)零件的耗材量；(2)求劉銘同學(xué)制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)劉銘同學(xué)測(cè)量了自己實(shí)習(xí)期制作的所有這種零件的橫截面積，并得到所有這種零件的橫截面積的和為，若這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，請(qǐng)幫劉銘計(jì)算一下他制作的零件的總耗材量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】(1)平均每個(gè)零件的橫截面積為，一個(gè)零件的耗材量(2)(3)【詳解】（1）樣本中10個(gè)這種零件的橫截面積的平均值，樣本中10個(gè)這種零件的耗材量的平均值，由此可估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個(gè)零件的橫截面積為，平均一個(gè)零件的耗材量為．（2），這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)為.（3）設(shè)這種零件的總耗材量的估計(jì)值為，又已知這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，，解得，故這種零件的總耗材量的估計(jì)值為．【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某專營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了最近天到該店購(gòu)物的人數(shù)和時(shí)間第天之間的數(shù)據(jù)，列表如下：(1)由表中給出的數(shù)據(jù)，判斷是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系？（若，則認(rèn)為線性相關(guān)程度高，可用線性回歸模型擬合；否則，不可用線性回歸模型擬合.計(jì)算時(shí)精確到）(2)該專營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷(xiāo)方案：方案一，購(gòu)物金額每滿元可減元；方案二，購(gòu)物金額超過(guò)元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打折，中獎(jiǎng)兩次打折，中獎(jiǎng)三次打折.某顧客計(jì)劃在此專營(yíng)店購(gòu)買(mǎi)一件價(jià)值元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選哪種方案更優(yōu)惠？參考數(shù)據(jù)：.附：相關(guān)系數(shù).【答案】(1)可以，理由見(jiàn)解析(2)方案二更優(yōu)惠，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：，，所以，，，，所以，，所以，與的線性相關(guān)性很強(qiáng)，故可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系.（2）解：設(shè)方案一的實(shí)際付款金額為元，方案二的實(shí)際付款金額為元，由題意可知，（元），的可能取值有、、、，，，，，所以，，所以，方案二更優(yōu)惠.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某食品加工廠新研制出一種袋裝食品（規(guī)格：/袋），下面是近六個(gè)月每袋出廠價(jià)格（單位：元）與銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)袋）的對(duì)應(yīng)關(guān)系表：月份序號(hào)每袋出廠價(jià)格月銷(xiāo)售量并計(jì)算得，，.(1)計(jì)算該食品加工廠這六個(gè)月內(nèi)這種袋裝食品的平均每袋出廠價(jià)格、平均月銷(xiāo)售量和平均月銷(xiāo)售收入；(2)求每袋出廠價(jià)格與月銷(xiāo)售量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；(3)若樣本相關(guān)系數(shù)，則認(rèn)為相關(guān)性很強(qiáng)；否則沒(méi)有較強(qiáng)的相關(guān)性.你認(rèn)為該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價(jià)格與月銷(xiāo)售量是否有較強(qiáng)的相關(guān)性.附：樣本相關(guān)系數(shù)，.【答案】(1)平均每袋出廠價(jià)格為（元），平均月銷(xiāo)售量為（萬(wàn)袋），平均月銷(xiāo)售收入為（萬(wàn)元）(2)(3)該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價(jià)格與月銷(xiāo)售量有較強(qiáng)的相關(guān)性【詳解】（1）該食品加工廠這六個(gè)月內(nèi)這種袋裝食品的平均每袋出廠價(jià)格為：（元），平均月銷(xiāo)售量為（萬(wàn)袋），平均月銷(xiāo)售收入為（萬(wàn)元）.（2）由已知，每袋出廠價(jià)格與月銷(xiāo)售量的樣本相關(guān)系數(shù)為：.（3）由于每袋出廠價(jià)格與月銷(xiāo)售量的樣本相關(guān)系數(shù)，所以該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價(jià)格與月銷(xiāo)售量有較強(qiáng)的相關(guān)性.【變式1】（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動(dòng)于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國(guó)各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對(duì)的題數(shù)如下表：天數(shù)x1234567一次最多答對(duì)題數(shù)y12151618212427參考數(shù)據(jù)：，，，，，相關(guān)系數(shù)由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】正0.99【詳解】由表中數(shù)據(jù)得隨的增大而增大，所以該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是正相關(guān)，.故答案為：正；.【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）人口結(jié)構(gòu)的變化，能明顯影響住房需求.當(dāng)一個(gè)地區(qū)青壯年人口占比高，住房需求就會(huì)增加，而當(dāng)一個(gè)地區(qū)老齡化嚴(yán)重，住房需求就會(huì)下降.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了某個(gè)地區(qū)的10個(gè)城市，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)城市的老齡化率和空置率，得到如下表格.城市12345678910總和老齡化率0.170.20.180.050.210.090.190.30.170.241.8空置率0.060.130.090.050.090.080.110.150.160.281.2并計(jì)算得.(1)若老齡化率不低于，則該城市為超級(jí)老齡化城市，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)城市為超級(jí)老齡化城市的頻率；(2)估計(jì)該地區(qū)城市的老齡化率和空置率的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）.參考公式：相關(guān)系數(shù).【答案】(1)估計(jì)該地區(qū)城市為超級(jí)老齡化城市的頻率為(2)該地區(qū)城市的老齡化率和空置率的相關(guān)系數(shù)約為0.63【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，調(diào)查的10個(gè)城市中，老齡化率不低于的有4個(gè)，故估計(jì)該地區(qū)城市為超級(jí)老齡化城市的頻率為.（2），則.故該地區(qū)城市的老齡化率和空置率的相關(guān)系數(shù)約為0.63.【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖是我國(guó)2014年至2020年年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖.注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2014～2020.由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明.參考數(shù)據(jù)：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得＝4，，，，.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（

）A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)【答案】A【詳解】因?yàn)樽兞亢蜐M足關(guān)系，一次項(xiàng)系數(shù)為，所以與負(fù)相關(guān)；變量與正相關(guān)，設(shè)，所以，得到，一次項(xiàng)系數(shù)小于零，所以與負(fù)相關(guān).故選：A.2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)身高和體重散點(diǎn)圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．身高越高，體重越重 B．身高越高，體重越輕 C．身高與體重成正相關(guān) D．身高與體重成負(fù)相關(guān)【答案】C【詳解】由于身高比較高的人，其體重可能大，也可能小，則選項(xiàng)AB不正確；由散點(diǎn)圖知，身高和體重有明顯的相關(guān)性，且身高增加時(shí)，體重也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，所以身高與體重呈正相關(guān)，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)系中，是相關(guān)關(guān)系的為（

）①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績(jī)；②身高與體重；③鐵塊的大小與質(zhì)量；④出租車(chē)的車(chē)費(fèi)與行駛路程．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【詳解】學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績(jī)是相關(guān)關(guān)系；身高與體重是相關(guān)關(guān)系；鐵塊的大小與質(zhì)量是函數(shù)關(guān)系；出租車(chē)的車(chē)費(fèi)與行駛路程是函數(shù)關(guān)系.故選：A4．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）下圖中的兩個(gè)變量，具有相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.對(duì)于A、C：兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系，是一種確定性關(guān)系，故A、C錯(cuò)誤；對(duì)于D：圖中的散點(diǎn)分布沒(méi)有什么規(guī)律，故兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，故D錯(cuò)誤；對(duì)于B：圖中的散點(diǎn)分布在從左下角區(qū)域到右上角區(qū)域，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系，故B正確；故選：B.5．（2024上·江西吉安·高一江西省新干中學(xué)期末）對(duì)于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．可以用來(lái)判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性B．可以是正的，也可以是負(fù)的C．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越高D．取值范圍是【答案】C【詳解】對(duì)于相關(guān)系數(shù)的定義：當(dāng)相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)就越接近于；當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越小，相關(guān)性越弱；當(dāng)系數(shù)為正數(shù)時(shí)，為正相關(guān)，系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，為負(fù)相關(guān).故選：C．6．（2024上·全國(guó)·高三期末）如圖（1）（2）分別表示樣本容量均為7的A，B兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，已知A組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為，B組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為，則與的大小關(guān)系為（

）

A． B．C． D．無(wú)法判斷【答案】C【詳解】由題圖（1）可知，散點(diǎn)幾乎分