第10講 直線與圓的位置關(guān)系（7種題型）（原卷版）

第10講直線與圓的位置關(guān)系（7種題型）1.理解并掌握直線與圓的各種位置關(guān)系；

2.理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實際問題；一．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒有公共點．②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點．③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．二．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．三．切線的判定（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時注意：①切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．四．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”．五．弦切角定理（1）弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．如右圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．六．切線長定理（1）圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．（4）切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對；③弧相等關(guān)系兩對，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．七．切割線定理（1）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）（2）推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．幾何語言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．（2）任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．一．直線與圓的位置關(guān)系1．（2023?淮陰區(qū)一模）已知⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有2個公共點，則點O到直線l的距離可能是（）A．3 B．5 C．7 D．92．（2022秋?宜興市期末）已知⊙O的半徑為6cm，點O到直線l的距離為7cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定3．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，圓心O到直線l的距離d＝4，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．平行4．（2022秋?江都區(qū)期末）在直角坐標系中，點P的坐標是，⊙P的半徑為2，下列說法正確的是（）A．⊙P與x軸、y軸都有兩個公共點 B．⊙P與x軸、y軸都沒有公共點 C．⊙P與x軸有一個公共點，與y軸有兩個公共點 D．⊙P與x軸有兩個公共點，與y軸有一個公共點5．（2023?南關(guān)區(qū)校級三模）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB＝45°，點P在數(shù)軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設(shè)OP＝x，則x的取值范圍是．6．（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖，半徑為10的⊙M經(jīng)過x軸上一點C，與y軸交于A、B點，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．（1）判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求AB的長．二．切線的性質(zhì)7．（2023?建鄴區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標是（4，5），⊙P與x軸相切，點A，B在⊙P上，它們的橫坐標分別是0，9．若⊙P沿著x軸向右作無滑動的滾動，當點B第一次落在x軸上時，此時點A的坐標是（）?A．（7+2π，9） B．（7+2.5π，9） C．（7+2π，8） D．（7+2.5π，8）8．（2023?高郵市模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D分別在兩個半圓上，若過點C的切線與AB的延長線交于點E，則∠D與∠E的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠D+∠E＝90° B．∠D+2∠E＝180° C．2∠D﹣∠E＝90° D．2∠D+∠E＝180°9．（2023?阜寧縣二模）如圖?，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝115°，過點C的圓的切線交BO于點P，則∠P的度數(shù)為．10．（2023?寶應(yīng)縣一模）如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，點C在劣弧AB上，∠P＝38°，則∠ACB＝°．11．（2023?玄武區(qū)一模）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，過點A作AC∥PB交⊙O于點C，連接BC，若∠P＝α，則∠PBC的度數(shù)為（）A．90°+α B．90 C．180°﹣α D．18012．（2023?邗江區(qū)校級模擬）如圖，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半徑為2的⊙O在射線AC上運動，當⊙O與△ABC的一邊相切時，線段CO的長度為．13．（2023?南通二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，DE是⊙O的切線，交AC于點E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AC交⊙O于點F，AF＝8，AB＝10，求BD的長．三．切線的判定14．（2022秋?東?？h校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以點A為圓心，以3cm為半徑作⊙A，當AB＝cm時，BC與⊙A相切．15．（2022秋?江陰市期末）下列說法正確的是（）A．等弧所對的圓心角相等 B．相等的弦所對的弧相等 C．過三點一定可以確定一個圓 D．垂直于半徑的直線是圓的切線16．（2022秋?棲霞區(qū)校級月考）下列說法中，正確的是（）A．長度相等的弧是等弧 B．三點確定一個圓 C．垂直于半徑的直線是圓的切線 D．同弧所對的圓周角相等17．（2023?沛縣模擬）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．18．（2023?鼓樓區(qū)一模）如圖，O為△ABC的外心，四邊形OCDE為正方形．以下結(jié)論：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直線DE與△ABC的外接圓相切．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③四．切線的判定與性質(zhì)19．（2023?邗江區(qū)二模）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O過B、C兩點，且AB是⊙O的切線，連接AO交劣弧BC于點P．（1）證明：AC是⊙O的切線；（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半徑．20．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點是點D，過點A的直線與DC交于點C，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠AOD＝2∠ADC B．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC C．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切線 D．如果AD＝2CD，那么AD＝AO五．弦切角定理21．（2022?江陰市校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°六．切線長定理22．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．623．（2022秋?濱?？h期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝8，CD＝12，則四邊形ABCD的周長為．24．（2021?濱海縣一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點E，△PCD的周長為12，∠APB＝60°．求：（1）PA的長；（2）∠COD的度數(shù)．25．（2021秋?泰州月考）如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度數(shù)；（2）BE+CG的長；（3）⊙O的半徑．七．切割線定理26．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分別與邊AB，AC相切，切點分別為E，C，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．27．（2021秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，P是⊙O的直徑BC延長線上一點，PA切⊙O于點A，若PC＝2，BC＝6，則PA的長為（）A．無限長 B． C．4 D．八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心28．（2022秋?泗陽縣期末）已知，如圖，AB為⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AC，點P是△ABC的內(nèi)心，延長CP交⊙O于點D，連接BP．（1）求證：BD＝PD；（2）已知⊙O的半徑是3，CD＝8，求BC的長．29．（2023?泗陽縣一模）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為八步，股（長直角邊）長為十五步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”此問題中，該內(nèi)切圓的直徑長是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步30．（2022秋?常州期末）下列有關(guān)圓中的結(jié)論，錯誤的是（）A．同圓或等圓的半徑相等 B．一個圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后，都能與原來的圖形重合 C．任意三點都能確定一個圓 D．任意三角形都有內(nèi)切圓31．（2022秋?秦淮區(qū)期末）以下列三邊長度作出的三角形中，其內(nèi)切圓半徑最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，1032．（2022秋?惠山區(qū)期末）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點G，則下列結(jié)論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝150°；③若點G為BC的中點，則∠BGD＝90°；④AE＝DE＝DB．其中，一定正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④33．（2023?靖江市模擬）等腰三角形的底邊長為12，腰長為10，該等腰三角形內(nèi)心和外心的距離為．一．選擇題1．（2023?常州模擬）如果⊙O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為d，且d＝7cm，那么⊙O和直線l的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定2．（2022秋?太倉市期末）如圖，AB是⊙O的切線，切點為B，連接AO與⊙O交于點C，點D為上一點，連接BD，CD．若∠A＝36°，則∠BDC的度數(shù)為（）?A．32° B．18° C．27° D．36°3．（2022秋?徐州期末）如圖，已知⊙C的半徑為，正三角形ABC的邊長為6，P為AB邊上的動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為（）A．5 B． C． D．64．（2023?蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D．若∠D＝54°，則A的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．23° D．27°5．（2022秋?邗江區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠CDB＝25°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，則∠E等于（）A．40° B．50° C．60° D．30°6．（2023?海陵區(qū)一模）點P的坐標為（0，2），點A（2，﹣2）是垂直于y軸的直線l上的一點，⊙M經(jīng)過點P，且與直線l相切于點A，則點M的縱坐標為（）A． B．1 C．2 D．47．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，OP與⊙O相交于點C，若∠P＝40°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°8．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，AC是⊙O的直徑，PA，PB是⊙O的切線，切點分別是A，B，若∠CBP＝140°，則∠P的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．75° D．70°9．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點B，C，過點C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點D．若CD＝PB＝2，則BE長為（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2022秋?丹徒區(qū)期末）我們知道：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等．[問題解決]如圖，現(xiàn)有一塊邊長為20m的正方形空地ABCD，在AB邊取一點M，以MB長為直徑，在這個正方形的空地內(nèi)建一個半圓形兒童游樂場，過點C劃出一條與這個半圓相切的分割線，正方形ABCD位于分割線右下方的部分作為娛樂區(qū)，娛樂區(qū)的最大面積等于（）A．180m2 B．110m2 C．250m2 D．200m2二．填空題11．（2023?鼓樓區(qū)一模）如圖，點I是△ABC的內(nèi)心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，則∠ICA的度數(shù)是°．12．（2023?贛榆區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是．13．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是邊E上的高，⊙E，⊙F分別是△ACD，△BCD的內(nèi)切圓，則⊙E與⊙F的面積比為．14．（2022秋?江陰市期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，則∠DGF的度數(shù)是°．15．（2023?沭陽縣一模）如圖⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D，E，F(xiàn)，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN與⊙O相切與G點，與AC，BC相交于M，N點，則△CMN的周長等于．16．（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠D＝36°，則∠A的度數(shù)為．三．解答題17．（2023?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AM是⊙O的切線，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長，交AM于點P．（1）求證：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半徑5，AC＝8，求線段BD的長．18．（2023?崇川區(qū)校級三模）如圖，P為⊙O外一點，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，點C在⊙O上，連接OA，OC，AC．（1）求證：∠AOC＝2∠PAC；（2）連接OB，若AC∥OB，⊙O的半徑為5，AC＝6，求AP的長．19．（2023?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的一個動點，以CD為直徑的⊙O交AD于點E，過點C作CF∥AB，交⊙O于點F．連接CE、EF，若AC是⊙O的切線．（1）求證：∠BAC＝∠CEF；（2）若AB＝10，AC＝6，CE＝EF，求直徑CD的長．一．選擇題1．已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為25°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，則∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°2．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°3．如圖，若⊙O的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l44．如圖，以點O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）A．以O(shè)A為半徑的圓 B．以O(shè)B為半徑的圓 C．以O(shè)C為半徑的圓 D．以O(shè)D為半徑的圓5．等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2二．填空題6．在平面直角坐標系中，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為2，點A的坐標為（0，4），直線AB為⊙O的切線，B為切點，則B點的坐標為．7．已知正三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r：R＝．8．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC與⊙O交于點D，若BC＝3，AD=16