高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案第十二章

高等數(shù)學(xué)-課后習(xí)題答

案第十二章

習(xí)題十二

1.寫出下列級數(shù)的一般項：

111

1+-+-+—+???

(I)357

7

XXyfx廣

正+-----1--------

2-42-4-62-4-6-8

〃3Q，+49T

⑶7一《+亍一互十

U=-------

解：⑴"2,7-1

u“=

(W!

(2)

2"+1

6=（-1嚴(yán)三

2.求下列級數(shù)的和：

X?-----1----

⑴〃=1(x+〃-i)G+〃)(工+〃+1)

〃+2-2J〃+1+五)

⑵"=i

(3)55253

1

〃〃="

(X+〃-l)(x+〃)(x+〃+1)

111

解(1)21(x+〃-1)(工+加(x+〃)(x+〃+l).

S”='（ZI）（川）I（》2）（川）1（》2）（工+2）1（?3）

1

+?■?+-----------------------------------------

(x+n-l)(x+?)(x+〃)(x+〃+1),

11_______________]

2(x(x+l)(R+〃)(X+〃+1)

從而

..I1

limSo”=-------------------

因此i2x(尤+1),故級數(shù)的和為2x(x+l)

(2)因為=(A/AH-2—V/i+l)—(A/AT+T—\/~n)

s”=(G-0H&-VT)+(〃-GH6_、5)

+(6-OYs-6)+?+(J〃+2-j〃+i)-(>/〃+1-〃)

=J.+2-J.+1+1-&

1+1-V2

從而而花+

lim\=l-V2

,即級數(shù)的和為1一及

所以w—><x>

111

S,?-

555〃

2

5

1——

5

=11

4

(3)因為4

「cl1

Iim5n=——

從而“T84,即級數(shù)的和為4

3.判定下列級數(shù)的斂散性：

￡(內(nèi)_冊)

⑴I;

1111

-----+--------H------------+H--------------------------------P

⑵166111116(5/?-4)(5/?+1)

n

2_2;+2^2

-?+?

(3)333

1111

?)5V575近；

s”=(a-&)+(石一夜)+?一+(7^石一如

解:⑴=V/?+i-i

limS,=+oc

從而“T8,故級數(shù)發(fā)散.

111111

—+---------+------------+H------------------------

661111165n-45//+1

1

5(

⑵5/?+1

「。11

hmS,=--

從而“T85,故原級數(shù)收斂，其和為5.

2

q=—

(3)此級數(shù)為3的等比級數(shù)，且⑷<i,故級數(shù)收斂.

|U向+UN++。什』

_cos(〃+l)工cos(〃+2)x,COS(/：4-p)x

---------------------r-------------------r…H-------------------------

2"“

1

<---

2n

\r

log?一

于是，Vfc>0(0<6<l),37V=L￡」，當(dāng)心N時，對任意的自然數(shù)P都有

1"向+"〃+2+'+"H+P|<￡成立由柯西審斂原理知,該級數(shù)收斂.

(3)取尸=〃,則

|，出+S+2+…+〃京

]11]111

3(〃+1)+3;1

3(〃+1)+13(〃+1)+23-2/?+1’32?+23?2〃+3

N-7----r---+…-I----------

3(n+l)+l32+1

>——-——

-6(〃+1)

1

>一

12

_j_

從而取。12,則對任意的〃￡N,都存在。=〃所得1"〃+|+"〃+2+…1>/，由柯西律斂原

理知，原級數(shù)發(fā)散.

5.用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性.

11

⑴Hr7(〃+3)(〃+5)

,1+21+3\+n

1+-------+-------+

⑵1+2~1+31W

⑶?=1J;

81

y~——(Q>0)

(5)n=,+"

I1

6=<—

解：⑴(〃+3)(〃+5)n-

0018

而自/收斂，由比較審斂法知自“收斂

1+〃、1+〃I

un=------->--------=—

⑵??1+/?~〃+〃~n

z1

而"=|〃發(fā)散，由比較審效法知，原級數(shù)發(fā)散.

.71.71

sin—sin—

_31

lim=limn.......-=71

1〃一兀

⑶「J)

一兀一.兀

sin

而"T3收斂，故2n=l^~3也收斂.

U.=/

(4)V

而收斂，故日收斂.

(5)當(dāng)4>1時，"[+〃"而n=,a收斂，故11+0也收斂.

limU”=lim—=一￥0

當(dāng)〃=1時，"d—022,級數(shù)發(fā)散.

limU〃=lim—!-=1^0

當(dāng)0<〃<1時.〃+0"T81+4”，級數(shù)發(fā)散.

綜上所述，當(dāng)。>1時，原級數(shù)收斂，當(dāng)0V/W1時，原級數(shù)發(fā)散.

2〃-1

lim——=ln2<l

2V-1I1

lim=In2I

⑹由Ex知n而"T"發(fā)散由比較審斂法知發(fā)散.

6.用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：

QOn\

z3〃+1.

⑴"T;(2)“T

332333"

---+----T-----++------F

⑶1?2223"〃?2”

⑴“=i〃

2IJ3"1

u=!Llim3—=-<

解：(1)J,一rr3

由比值審斂法知，級數(shù)收斂.

3"+1

lim

U.…3叫1n\

3”+1

=lim(/7+l)-

"TOO3向+

⑵=+00

所以原級數(shù)發(fā)散.

3向小2"

lim=lim

U”3"

3/7

=lim

2(〃+1)

=1>1

⑶

所以原級數(shù)發(fā)散.

2向?+1)!n

lim=lim

(〃+l嚴(yán)r-n\

n

—lim2

“TH\n+l

1=2<i

=2lim

“TOOe

(4)nJ

故原級數(shù)收斂.

7.用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：

0

85〃1

z[ln(n+l)r

z13,+1〃二1

⑴〃=】⑵

2n-\

n

⑶3n-\

b丫

y-

ua

〃=iIn7

(4),其中?！?a(n—*oo),anb,。均為正數(shù).

=lim=—>1

解：⑴―0,,->x3n+13

故原級數(shù)發(fā)散.

lim叵-lim——!——-0<l

⑵…v…In(〃+1)

故原級數(shù)收斂.

n

lim=lim=

"T8nTOOk3/7—1;r,

(3)

故原級數(shù)收斂.

b..bb

limp=lim—=

〃一>8a3a?a

(4)vJ

222

當(dāng)從a時，原級數(shù)收斂；當(dāng)於〃時，原級數(shù)發(fā)散，當(dāng)加”時，〃=1,無法判定其斂散

性.

8.判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂,是絕對收斂還是條件收斂？

,111K-ir'rT2—

⑴一雙十耳K….

⑵n=lIn(〃+1).

1111(1111

,,7+,74

(3)53~5353~5V

8個廣00

力(7尸前Z(-ir

(4)〃=1〃■;⑸"TZ(…)

vf.11n(T)”

>1+—+-+???+--------

⑹〃=1123n)n

I“I11

=(-1)/，_|—j=-=>-==lim-^==O

解：⑴7〃,級數(shù)e是交錯級數(shù)，且滿足“〃5+1,…,由萊布

881

Zl^l

尼茨判別法級數(shù)收斂，又是PV1的P級數(shù)，所以發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂.

1sl1I

￡/?=(-i),,-,------------yc-ir1----------------------->-------------

⑵ln(〃+i),n_|ln(〃+1)為交錯級數(shù)，且ln(〃+l)ln(〃+2),

lim-----!-----=0U〃|=-----------2—!—

…ln(〃+l),由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂，但由于ln(〃+l)〃+1

00

El^l

所以，”=|發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂.

[881I00|81

U.=(7)1—=Z誕

⑶5.3民，顯然I"=CP"曰，,而〃=2是收斂的等比級數(shù).故

收斂，所以原級數(shù)絕對收斂.

5+22"'

lim=lim------=+oo

〃一KO5—n+1

(4)因為

故可得得則“〃卜°,

limU￥0

一,原級數(shù)發(fā)散.

⑸當(dāng)a>\時，由級數(shù)"=]〃"收斂得原級數(shù)絕對收斂.

乙(-1)-~7>：777lim—=0

當(dāng)0<aWI時，交錯級數(shù)n滿足條件：n+"；"H：“，由萊布尼茨判別

法知級數(shù)收斂，但這時發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂.

limU“wO

當(dāng)aWO時，，is,所以原級數(shù)發(fā)散.

r11\}11

(6)由于I23nJ〃n

z1

而發(fā)散，由此較審斂法知級數(shù)

11

—+-+4W

23

nn發(fā)散

n1

u〃=i+LL...-i—?—

23n

記K,則

1]I

u“小H+lJ(〃+l)2

I23nJn(n+\)(〃+l)~

Ml01711、

―I-+-+???+---------+'"I

\23n)n(n+\)(〃(〃+1)J

>0

即>""+i

..1f,111

HmU”hm—1+―+一++—

〃->8,18nI23n

111

——dr

0

又x

lim-f—dr=lim—=0

由…/JoX]

V(,11

limU=0/J1—F4W

知"T*”一,由萊布尼茨判別法，原級數(shù)〃=N23n收斂，而且是條件收

效.

9.判別下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性.

oc

z(〃-1)!,x￡[-3,3]；

(Dn=l⑵A-GJOJ]；

sinnx

z3"

⑶W=1,x€(-oo,+oo；;(4),kl<5；

Wcosnx

H=1\ln5+XXE(-00,4-co)

(5)

W上

解：⑴(〃-1)!

,xG[-3,3],

003"

(〃一收斂，所以原級數(shù)在上一致收斂.

而由比值審斂法可知”=|1)!［-3,3］

X<1

2-2

77n

⑵;.xG(0,l],

'力1

而?=>n收斂，所以原級數(shù)在上一致收斂.

sin

nx<一

~F~,—+8),

而是收斂的等比級數(shù)，所以原級數(shù)在(-8,+8)上一致收斂.

n

(4)因為',xG(-5.5),

由比值審斂法可知ln=,〃.收斂，故原級數(shù)在(-5.5)上一致收斂.

COS，5<±

-5

〃3,XW(-8,+8),

(5)v

工1

rr=l-i

而,r是收斂的。級數(shù)，所以原級數(shù)在(-8,+8)上一致收斂.

Z匕(外

10.若在區(qū)間I上，對任何自然數(shù)〃.都有|URr)|wy仆),則當(dāng)M=,在I上一致收斂時，級數(shù)

w=,在這區(qū)間I上也一致收斂.

證：由"=1在I上一致收斂知，Vf>0,3Ms)>0,使得當(dāng)〃>N時，VA-GI有

M+I(X)+匕.2(X)+…+匕叩(幻|<￡,

于是，V^；>0,3M^)>0,使得當(dāng)心N時，I有

1

|tArH(X)+U”+2(X)+…+U“+p(X)|WV；f+1(X)+V/I+2(X)+-+V^p(.X)W|VirH(X)+l*2(X)+…+V^p(x)|<￡,

Z^(A-)￡U〃(X)

因此，級數(shù)在區(qū)間I上處處收斂.由X的任意性和與X的無關(guān)性，可知"川在I上一

致收斂.

11.求下列鼻級數(shù)的收斂半徑及收斂域：

00

X

(1)X+2X-2+3X3+",+/7AJ,+-;(2)”=1n

8丫2〃-100

X2—(1)"

⑶”=[2〃-1；2?2〃.

(4)”=ln

n+\

p=limlim=1/?=—=1

w-xo〃一?30n

解：⑴因為,所以收斂半徑P收斂區(qū)間為(T,l),而當(dāng)m土1

8

時，級數(shù)變?yōu)?=1,由XT"知級數(shù)g發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為(T.l).

...........，、”「..?-l-l

].1

p=lim==iim=hm1+一

n—>oo5(〃+1)”〃！n+\“TS

(2)因為n

R———c

所以收斂半徑P,L攵斂區(qū)間為Le.e).

1

(e”〃(l+x)x—ee

2^nH項

當(dāng)X=C時，級數(shù)變?yōu)?Tn；應(yīng)用洛必達(dá)法則求得x2,故有

%-1<1

lim

n->oo

I%乙由拉阿伯判別法知，級數(shù)發(fā)散；易卻尸-e時，級數(shù)也發(fā)散，故收斂域為(-

e,e).

⑶級數(shù)缺少偶次鬲項.根據(jù)比值審斂法求收斂半徑.

【二/e2/7-1

lim=lim

“TOOU”"TOO2〃+1/T

2n-\

=lim

“TOO

=x2

所以當(dāng)代1即m<l時，級數(shù)收斂，41即Li|>l時，級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑R=l.

800lim2^1=1>0

1〃T822

2,7-1,當(dāng)尸7時，級數(shù)變?yōu)閆2〃一」由

當(dāng)尸1時，級數(shù)變?yōu)椤盩〃=|n知,

008

1

E發(fā)散,E2/7-1也發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為(T,l).

n=\2"-1從而g

笛fit

n2?2〃

Y———p=]\m=lim.=1

1廣0>1ft—>00

(4)令尸尸1,則級數(shù)變?yōu)椤?1"”〃，因為e(〃+1)[2(〃+1)

所以收斂半徑為R=1.收斂區(qū)間為即0<r<2.

8[8]

0ZJ)心

當(dāng)尸1時，級數(shù)收斂，當(dāng)Z=T時，級數(shù)"I乙〃為交錯級數(shù),由萊布尼茨判別法知其收

斂.

所以，原級數(shù)收斂域為0WXW2,即[0,2]

12.利用哥級數(shù)的性質(zhì)，求下列級數(shù)的和函數(shù)：

8002n+2

^nxz人

⑴〃=i⑵〃=°2/z+1.

00

(〃+1)/+3

lim

“.”TOO=kl

解:⑴由知,當(dāng)比l=vl時,原級數(shù)收斂,而當(dāng)H=1時,〃=l的通項不趨于

0,從而發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為(7.1)

5(外=￡次+2=這心，1Si(x)=5>/i

記/i=1n=\易知I的收斂域為(T,l),記g

八金

貝jIn=l1A

x1S(x)=/下(W<1)

”x)二

-(2

于是kl-V,所以(1一幻

尤2"+42〃+l

lim=尸

2〃+3'f”+2

⑵由知,原級數(shù)當(dāng)klvl時收斂,而當(dāng)僅1=1時,原級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂

2n+i8v2〃+l

S(x)=￡=xi人t2—

域為(7,1),記/l=02/2+1n=02/2+1,易知級數(shù)”=02〃+1收斂域為(?］」)，記

02n+l

vs：(x)=￡/1

2

封則”=01-x

J：S：(_r)dx=；ln盧51G)-S1(O)=1ln^s()=o

故21一1即21-x,5⑼u,所以

S(x)=xS](/)=31n1^(W<i)

2\-x

13.將下列函數(shù)展開成x的鬲級數(shù).并求展開式成立的區(qū)間：

(1)Ax)=ln(2+x)；⑵")=8$米；

/⑺二品;

(3次x)=(1+x)ln(l+x)；

/(-v)=T(er-e-x)

MF；(6)2

(7)/(v)=ercos.v；

/(x)=ln(24-x)=ln2^1+|J=ln2+ln^+jX

解：(1)2

ln(l+x)=￡(-1)”x

由于〃+1,(-10W1)

—

In

向

故(〃+1)2.(-2)

—

ln(2+x)=ln2+￡(—i)〃

因此”二°(〃+1)2"?.(-2WXW2)

1+coslx

/(X)=COS2A-=

⑵

8一

cosx=

由〃=o(2〃)!，(-00<A<+00)

所以

f(x)=cos2x=—+—cos2x

22

(-oo<r<+oo)

(3次.r)=(l+.r)ln(l+x)

oo丫”+1

，，

ln(l+x)=￡(-D7-；

由，r=o\n+})(一1WxWl)

所以

8?n+1

/(x)=(n-x)s(-ir—

”=0n+\

_oo_Yn+l產(chǎn)一

=Z(T)—ZJ)〃￡2

w=0〃十1/r=0〃+1

=x+

x十寸-m產(chǎn)(〃+D.短

n=l〃(〃+l)

1)，

一八十7人

”1〃(/2+1)(TWxWl)

//、21

/(/)=h、=x'~ix=齊

(4)y/l+x\/1+廠

1_1芳(⑵-I)".

由于7TT72()J"(wT

(7言入Wl)

/(外=/1+力(“誓，”

故k〃=1(2〃)!！

=工2+之(_])〃色匕1經(jīng)0”川

〃=i(2〃)!！

(T這x這I)

“*T

ji+—

3

一￡(—H

得"=。"！,xG(-oo,+co)

/(x)=^(ev-e-')

n

IY

=立［1-(-1)"13

乙n=0〃?

00丫2〃+1

=V---------xe(-00,+co)

所以

⑺因為e,cos%為1(cosx+/sinx)=加的實部.

…工s1［(l+i)x『

n=0",

而

n

nlt

oo2O-2cos——

excosx=￡-------j—?xn

取上式的實部.得”=°加(-8"<+8)

(8)由于

/(1)1?

而所以

00

1元.1v'l

”+l

4n=0〃=0/(M<2)

14.將X+3X+2展開成(戶4)的潺級數(shù).

I_I_____l_

解：x2+3x+2x+lx+2

而

X+1-3+(X+4)

11

~3~

年+4丫

3

8(x+4)”

(-7<x<l)

3向

又

1_1

x+2-2+(1+4)

11

~2lx+4

~2~

x+4x+4

<1

2；2

((x+4)"/、

--2J-(-6<x<-2)

n=0乙

“6"771^

=_y(x+4)+y(x+4)”

乙^0/1+12〃4i

n=0°n=()

11

(x+4)”(-6<x<-2)

2皿貨"

所以

15.將函數(shù)/（X）=J7展開成（尸1）的累級數(shù).

解：因為

(1+xf卜-------------;-----------x+(-1<X<1)

1!2!n\

所以

/（1）=正

=[l+(x-l)p

331.13豈2

212八2（2

=1+色-1)+2、2(x-l)2+-+

2;n\

(-Kv-KI)

即

331s(I)+…3?1)43)尸+5)(1)、

LL?Z!23-3!2,n\

3i(-1)(5-2〃)

(1)”(0<x<2)

2"?〃！

16.利用函數(shù)的寤級數(shù)展開式，求下列各數(shù)的近似值：

(l)ln3(誤差不超過0.0001)；(2)cos2°(誤差不超過00001)

\+x2n-l\

In+------+…

解：(1)T2〃T7,.vG(-l,l)

1

亙=3x=-e

令l-x可得2

,+|Fl111

In3=In-----=2—i-----rH-------+…H----------------；--

,123"52⑵-1)*

11-

故2

又

IKI7---------------------1-----------------------F

|m|=(2〃+1)"”"(2〃+3>2一

2]?(2〃+1>22"-⑵7+1)"：

⑵+1)2*1(2〃+3)"田(2〃+5>22用

2(_￡

<(2n+l)22w+，l+F+F+

______2_______1

二⑵+山.口

4

1

=3⑵+1)22”“

同<—!~?0.00：

故53x11x2?

|r|<——!一0.00003

1613x13x2,°

因而取〃=6則

M3=2仕+-+—5—U1.0986

(23-235-2511-211J

/\2

71

"oj會6X]07

2!

兀

902

cos2°x-0.0006?0.9994

故2!

17.利用被積函數(shù)的鬲級數(shù)展開式，求定積分

(?05arctanx,

-----心

°X(誤差不超過0.001)的近似值.

X3X5

arctanx=x----+-----???+(_])”-------+

解：由于35277+1(-1WxWI)

，4

rosarctanx,,廠X/、X

-----dr1-—+-Z--+(-1)+...dr

JoxJJ2〃+1

xX5X7

x----+

92549

1111111

-―|―

292325254927

故

--?0.0139——^0.0013之0.0002

而9232525492’

rosarctanx.----L?0.487

--------drx

Jox29232525

因此

18.判別下列級數(shù)的斂散性：

〃十一

8

n〃Inx

8川COS—

〃=|1)El3)

/?+—

(1)nJ⑵乙

8In(〃+2)

fl=\

3+二

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1

〃+一

n〃n"、

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、力11+772>

〃+一

解：⑴：nJn

l+n2

lim上=1工()

〃一>8<1+H2，1+/?~

而

00n2

Z11+U發(fā)散，由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散.

故級數(shù)”=1

“cos—

()<I3J

<—

⑵；2〃一T

(nx

88川cos—

____11

由比值審斂法知級數(shù)"=12"收斂.由比較審斂法知，原級數(shù)”=12,收斂.

0<ln(〃+2)<ln(〃+2)

3"

3+-

⑶???n

ln(〃+3)3”

n>RJJn->?o

n3向In(〃+2)

3fom(〃+2)

二六

由

00In(〃+2)

00z

ln(n+2)〃二1

z3+—

知級數(shù)M=,3”收斂,由比較審斂法知，原級數(shù)n收斂.

8

2工力

V\mnUtl

19.若”->8存在，證明：級數(shù)向收斂.

\mivUn

證：:“T0°存在，3.W>0,使|〃2心底”,

M

即即，|WM,

00

而匕

收斂.故”T絕對收斂.

9

2

±un

20.證明,若一收斂，則〃=|〃絕對收斂.

1uJ+!