專(zhuān)題05函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸小題（十大題型）

專(zhuān)題05函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸小題不等式恒成立問(wèn)題1．（河北省石家莊市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得，令，，利用導(dǎo)函數(shù)求最小值、最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，令，令，則是上的增函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，此時(shí)遞減，時(shí)，此時(shí)遞增.故的最小值為，令，則，故是增函數(shù)，的最大值為，故，綜上所述，，故選：D2．（河北省張家口市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)題目所給不等式，構(gòu)造函數(shù)，由在區(qū)間上恒成立分離常數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，則，即，令，則，∴在單調(diào)遞增，對(duì)恒成立，而恒成立，令，，則在單調(diào)遞減，∴，∴，的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，可以利用分離常數(shù)法，然后通過(guò)求函數(shù)的最值來(lái)求得參數(shù)的取值范圍.不等式能成立問(wèn)題3．（福建省泉州市安溪一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)、養(yǎng)正中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則函數(shù)的最小值為；實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定的單調(diào)性，得最小值，然后比較，，的大小結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)論．【詳解】函數(shù)，∴，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且.顯然，.當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則，即，.故答案為；.4．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高三洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)上學(xué)期期中）已知函數(shù)，若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】若存在，使得有解，由函數(shù)，即，即在有解，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也為最大值，即，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C.雙變量問(wèn)題5．（2022秋·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期中）若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將不等式變式為，設(shè)后轉(zhuǎn)化為恒成立，只需求函數(shù)的最大值即可.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，則，，令恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；.故所以，得到.故選:A.6．（湖北省十一校2023屆高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，，若，，則的最大值為．【答案】【分析】對(duì)已知等式進(jìn)行同構(gòu)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)遞增，由此可得，從而將所求式子化為；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求最大值.【詳解】由得：；由得：，；，令，，，在上單調(diào)遞增，；令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解多變量的式子最值的問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)τ谝阎仁竭M(jìn)行同構(gòu)變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一單調(diào)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值相等的問(wèn)題，從而確定兩個(gè)變量之間的關(guān)系，將所求式子化為單變量的式子來(lái)進(jìn)行求解.導(dǎo)數(shù)與體積7．（安徽省合肥市肥東縣綜合高中2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，已知正四棱柱和半徑為的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四點(diǎn)均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為．【答案】4【分析】設(shè)該正四棱柱的高為h，底面邊長(zhǎng)為a，計(jì)算出底面外接圓的半徑，利用勾股定理，得出，利用柱體體積公式得出柱體體積V關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出V的最大值．【詳解】設(shè)正四棱柱的高為h，底面棱長(zhǎng)為a，則正四棱柱的底面外接圓直徑為，所以，．由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的體積為，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，則．因此，該正四棱柱的體積的最大值為4．【點(diǎn)睛】本題考查球體內(nèi)接幾何體的相關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于找出相應(yīng)幾何量所滿足的關(guān)系式，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8．（山東省聊城市第二中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，若球O的表面積為48π，則正三棱柱的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合正三棱柱和外接球關(guān)系先求出外接球半徑，令正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，由函數(shù)關(guān)系表示出體積與函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)可求最值.【詳解】如圖，設(shè)正三棱柱上?下底面的中心分別為H，，連接.根據(jù)對(duì)稱性可知，線段的中點(diǎn)O即為正三棱柱外接球的球心，線段OA即為該外接球的半徑.由已知得，所以.設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，則.在中，，所以，所以正三棱柱的體積.令，則，，故，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.故選：C.指對(duì)數(shù)冪的比較大小9．（山東省滕州市第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性質(zhì)可得出、的大小關(guān)系，由此可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，則，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，證明，令，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，因此.故選：D.10．（江蘇省淮安市漣水縣第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由基本不等式可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，可比較的大小，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所以令，則，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.11．（江蘇省蘇州市昆山中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用，判斷函數(shù)值的大小，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，，，設(shè)，且，，得，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，且，所以，?故選：D距離問(wèn)題12．（2022秋·遼寧鐵嶺·高三昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)上學(xué)期期中）已知點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在直線上，則A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值是．【答案】【分析】分析函數(shù)單調(diào)性得圖象，確定A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值的情況，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，從而求得最小距離.【詳解】由題意可得，令得所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的圖象如下圖：

要使得A，B兩點(diǎn)之間距離最小，即直線與平行時(shí)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，與的距離即為A，B兩點(diǎn)之間最小的距離，令，解得．由，所以直線的方程為，即則與的距離的距離，則A，B兩點(diǎn)之間的最短距離是．故答案為：．13．（江蘇省徐州市第七中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）若動(dòng)點(diǎn)在曲線上，則動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意知，則在點(diǎn)處的切線斜率為，當(dāng)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，由，得，則，所以點(diǎn)到直線的距離.所以動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：A導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題14．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第十七中學(xué)上學(xué)期期中）（多選）已知函數(shù)在R上滿足，且當(dāng)時(shí)，成立，若，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù)C．在R上單調(diào)遞減 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)奇偶性定義判斷AB；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性推理判斷CD作答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上滿足，則函數(shù)是R上的偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；令，則，則函數(shù)是R上的奇函數(shù)，B正確；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由選項(xiàng)B知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在R上單調(diào)遞減，C正確；顯然，由選項(xiàng)C知，，因此，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及給定含有導(dǎo)函數(shù)的不等式，根據(jù)不等式的特點(diǎn)結(jié)合求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探求給定問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.15．（2022秋·江蘇連云港·高三江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)上學(xué)期期中）（多選）定義在函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立；則下列正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】AD【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，∴在遞減，對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：AD.16．（江蘇省鹽城市四校2023屆高三上學(xué)期期中）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可比較函數(shù)值的大小.【詳解】令，，則，∵當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞減，∴，∴，即，∴.故選：D.同構(gòu)問(wèn)題17．（江蘇省揚(yáng)州市高郵市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知，則．【答案】3【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行同構(gòu)，研究同構(gòu)函數(shù)單調(diào)性得到再轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以．故答案為：318．（江蘇省南京市金陵中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分離同構(gòu)，得到，設(shè),則上式表明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合由已知條件得到的和的取值范圍，得到,進(jìn)而，然后將表示為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.【詳解】∵，∴，∴，即，設(shè),則上式表明,求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減，由于，∴，∴，∴,∴，∴,令,,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴,故選：D.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵難點(diǎn)在于將已知條件整理得到兩邊同構(gòu)的形式，構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值與自變量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系得到.19．（湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在上遞增，利用同構(gòu)法求解即可．【詳解】解：構(gòu)造，則在上顯然遞增，由得，即，，，令，則，由得，遞增，由得，遞減，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是看到“指對(duì)跨階”要想到同構(gòu)，同構(gòu)后有利于減少運(yùn)算，化煩為簡(jiǎn)．已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)20．（2022秋·黑龍江牡丹江·牡丹江一中上學(xué)期期中）已知在處有極大值，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)n的取值范圍為.【答案】或【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)給定條件求出，再探討函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象求出直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)的n的范圍作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，依題意，，解得，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，則在處取得極大值，即，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值，顯然當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，則函數(shù)在上的取值集合為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的取值集合為，因此函數(shù)在上的取值集合為，函數(shù)的圖象如圖，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，觀察圖象得或，所以實(shí)數(shù)n的取值范圍為或.故答案為：或21．（山東省大教育聯(lián)盟學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）若關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖像，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由已知可知關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，令，解得當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間和上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)或時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出的大致圖象如圖，要使的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，需，即，即的取值范圍是．故答案為：

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查判斷利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題，常用的方法：（1）方程法：令，如果能求出解，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)．（3）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．存在零點(diǎn)求參數(shù)十、未命名題型22．（海南省文昌中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)存在零點(diǎn)，函數(shù)存在零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先由題給條件求得，再根據(jù)題意得到方程在有解，求得函數(shù)的值域即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)為R上單調(diào)遞增函數(shù)，又函數(shù)存在零點(diǎn)，則，由，可得存在零點(diǎn)，即方程在有解令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增則在時(shí)取得最小值又，，則的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：一、單選題1．（海南省瓊海市嘉積第三中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作一條直線與曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求的最小值就是求的最小值，首先求出上的且斜率為的切線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】如下圖所示，，當(dāng)斜率為的直線與的圖像相切時(shí)，為切點(diǎn)，此時(shí)的值最小.設(shè)，，則有，解得，代入函數(shù)，求得，即，則的最小值即點(diǎn)到直線的距離，則.故選：C2．（廣東省深圳市南山區(qū)北京師范大學(xué)南山附屬學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】令，又為定義在上的偶函數(shù)，則，故為定義在上的奇函數(shù)；又，由題可知，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，結(jié)合是上的奇函數(shù)可知，為上的單調(diào)增函數(shù)；又，又，，，故.故選：B.3．（廣東省梅州市大埔縣虎山中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】令，得，，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值可得.【詳解】不妨設(shè)，則，，則．令，則，記，則所以在上單調(diào)遞增，由，可得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．故選：A4．（湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)、、分別在棱、、上，且平面平面，為內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐的體積為，設(shè)，對(duì)于函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．存在，使得（其中為四面體的體積）【答案】A【分析】求出的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判斷ABD選項(xiàng)的正誤，利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，連接、，如下圖所示：則為等邊的中心，故，平面，平面，，，，，因?yàn)槠矫嫫矫?，則，，且點(diǎn)到平面的距離為，所以，點(diǎn)到平面的距離為，，其中，對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，故對(duì)任意的，，D錯(cuò).故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間幾何體體積的方法如下：（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．5．（湖北省荊荊宜三校20222023學(xué)年高三上學(xué)期;期中）已知：，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的公式求出，然后借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，即可得到，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，整理后即可得到.【詳解】，，∵，∴，則，即，設(shè)函數(shù)，則，∵，，且函數(shù)單調(diào)遞增，∴只存在一個(gè)使，且，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，∴，即，即，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較數(shù)值大小方法．（1）估值法：找出式子的取值區(qū)間，以此判斷各個(gè)式子的大小關(guān)系；（2）構(gòu)造函數(shù)法：當(dāng)無(wú)法進(jìn)行估值判斷式子大小時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而判斷式子大?。?．（江蘇省常州市橫林高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知，不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先不等式同構(gòu)變形為，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得，分離參數(shù)變形為，再引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得其最小值，從而得的范圍，得最小值．【詳解】不等式可化為，即，，，則，，設(shè)，則，時(shí)，，是增函數(shù)，所以由得，，，所以時(shí)，恒成立．設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以，．所以的最小值是．故選：B．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，難點(diǎn)在于不等式的同構(gòu)變形，然后引入新函數(shù)，由新函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，從而再由變量分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．7．（江蘇省常州市金壇區(qū)金沙高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題目不等式構(gòu)造，得到，構(gòu)造，，證明出在上恒成立，得到在上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意，．令，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故在上恒成立，其中在單調(diào)遞增，故．所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】同構(gòu)思想，在利用導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題上，經(jīng)常考察，通常題目特征為題干條件中同時(shí)出現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，則可以考察同構(gòu)的方法.二、填空題8．（遼寧省名校聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為．【答案】【分析】令，進(jìn)而結(jié)合題意得函數(shù)為上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.【詳解】解：令，則因?yàn)?，即，所以，即函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以因?yàn)榭勺冃螢?，即，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，或，即或，所以，不等式的解集為故答案為：9．（遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校科學(xué)高中部20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，先求出的圖像，再設(shè)，，得到，可整理出復(fù)合函數(shù)，令，得到，再通過(guò)，與的交點(diǎn)情況，求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于，求導(dǎo)，則時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；可得時(shí)，有最大值，且時(shí)，恒有，故可畫(huà)出的圖像，令，則，令故，令，此時(shí)，參變分離可得，，作出的圖像，明顯為對(duì)勾函數(shù)，故只需求出滿足題意時(shí)的范圍，即可根據(jù)等量代換，得到的范圍.對(duì)于，當(dāng)只有一個(gè)根滿足時(shí)，令，此時(shí)，如圖，此時(shí)，滿足有3個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，明顯地，當(dāng)時(shí)，此時(shí)滿足唯一的，故對(duì)于對(duì)勾函數(shù)：，；又，當(dāng)有兩個(gè)根和滿足時(shí)，要滿足有3個(gè)零點(diǎn)，則如圖或如圖，此時(shí)，必有，或?qū)?yīng)的對(duì)勾函數(shù)圖為：，或如圖，因?yàn)榻稽c(diǎn)不存在，必有對(duì)應(yīng)的，或，三種情況，故關(guān)鍵是要有對(duì)應(yīng)的兩個(gè)與之對(duì)應(yīng)，取，故對(duì)于，有，對(duì)于或，，可得，或，故且或，其交集為；綜上所述，.故答案為：10．（遼寧省朝陽(yáng)市建平縣20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，則可得，而分別在曲線和直線上，將直線平移恰好與曲線相切時(shí)，可求出的最小值，從而可解關(guān)于的不等式可得答案.【詳解】由題意設(shè)，則，所以，因?yàn)榉謩e在曲線和直線上，所以將直線平移恰好與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最小，此時(shí)最小，設(shè)切線為，切點(diǎn)為，則，得，所以，得，則，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，，即的最小值為，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查不等式恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)和直線的點(diǎn)的距離最小問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.三、多選題11．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】設(shè)函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，從而，即可得出答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所?/p>