浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題(A卷) 含解析

2023學(xué)年第一學(xué)期溫州市高一期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題（A卷）考生注意：1．考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題卷上．2．選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈．3．非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫在本試題卷上無效．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意解一元二次不等式化簡集合，結(jié)合交集的概念即可得解.【詳解】由題意得，，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)?，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：C3.設(shè)，某同學(xué)用二分法求方程的近似解（精確度為0.5），列出了對應(yīng)值表如下：0.1250.43750.7520.032.69依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，得到的方程近似解可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，找到由正負(fù)值確定的方程根所在的區(qū)間，可找到符合的近似解.【詳解】因?yàn)椋?，故方程的近似解在區(qū)間內(nèi)，僅當(dāng)時(shí)，滿足，且滿足精確度0.5，故選：C.4.一個(gè)周長是4，面積為1的扇形的半徑為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合扇形周長、面積公式列方程即可得解.【詳解】由題意不妨設(shè)半徑、弧長分別為，所以，即，解得.故選：A.5.已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則的值可以是（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由題意只需，由此對比選項(xiàng)即可得解.詳解】由題意當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，只需，解得，對比選項(xiàng)可知的值可以是.故選：D.6.如圖所示函數(shù)的圖象，則下列函數(shù)的解析式最有可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)定義域，三角函數(shù)值域、最值可排除ABD，由此即可得解.【詳解】由圖可知函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，故排除AD，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可以排除B，經(jīng)檢驗(yàn)C選項(xiàng)符合題意.故選：C.7.已知，，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意將條件等式變形得，進(jìn)一步結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以.故選：A.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析三個(gè)數(shù)在圖象中的幾何意義，做出函數(shù)圖象即可得出三者的大小關(guān)系.【詳解】由題意，，，表示時(shí)函數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，表示時(shí)函數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，表示時(shí)函數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，作出三個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列四個(gè)命題中是真命題的有（）A.，B.，C.命題“，”的否定是“，”D.命題“”是真命題【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷A；配方后可判斷B；根據(jù)全稱量詞命題的否定形式可判斷C；由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式可判斷D.【詳解】對于A，由指數(shù)函數(shù)值域可知A正確；對于B，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；對于C，由全稱量詞命題的否定形式可知C正確；對于D，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式可知，恒成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，若，則以下說法正確的是（）A.B.函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)C.設(shè)是函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)，則D.【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由即可驗(yàn)算；對于B，根據(jù)判別式與0的大小關(guān)系即可判斷；對于C，由韋達(dá)定理即可判斷；對于D，由基本不等式即可判斷.【詳解】對于A，由，解得，故A正確；對于B，因?yàn)椋院瘮?shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對于C，若是方程即方程的兩根，則由韋達(dá)定理有，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，等號成立?dāng)且僅當(dāng)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.是奇函數(shù)D.的單調(diào)遞減區(qū)間為,【答案】ACD【解析】【分析】由輔助角公式可得，即可得A正確，代入檢驗(yàn)可知B錯(cuò)誤，易知為奇函數(shù)，可知C正確，整體代換法可求得的單調(diào)遞減區(qū)間為,，即D正確.【詳解】根據(jù)題意可得，所以的最小正周期為，即A正確；將代入可得，沒有取到最值，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，即B錯(cuò)誤；易知，可得是奇函數(shù)，即C正確；令，，解得，；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,，可得D正確；故選：ACD12.已知函數(shù)滿足：，，，，，則（）A.為奇函數(shù) B.C.方程有三個(gè)實(shí)根 D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】首先令，得，然后令，通過轉(zhuǎn)換得，由此得，對于A，由即可判斷；對于B，直接代入檢驗(yàn)；對于C，通過關(guān)鍵點(diǎn)分析畫圖即可判斷；對于D，由正弦函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】令，則，令，則，在上式中，令，則，即，令，則，則，即，又因?yàn)椋?，即，對于A，，故不為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，結(jié)合關(guān)鍵點(diǎn)的分析，再同一平面直角坐標(biāo)系中作出與的圖象如圖所示：觀察圖象可知，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)根，故C正確；對于D，當(dāng)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時(shí)單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一個(gè)關(guān)鍵是解函數(shù)方程得，第二個(gè)關(guān)鍵是判斷C選項(xiàng)時(shí)，要通過畫圖分析，利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想即可得解.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題．13.__________.【答案】【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式計(jì)算即可．【詳解】．故答案為：．14.已知函數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】求出，即可得出的值.【詳解】由題意，中，，，故答案為：.15.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的最大值是__________．【答案】##【解析】【分析】由題意結(jié)合正切函數(shù)單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)樵谏详P(guān)于單調(diào)遞增，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知只需關(guān)于單調(diào)遞增，故只需考慮，所以，解得，即的最大值是.故答案為：.16.函數(shù)，，方程恰有三個(gè)根，其中，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】由題意得，通過換元法得關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為2；結(jié)合韋達(dá)定理可知（舍去）或，由此即可得解.【詳解】由題意，即，顯然，所以，令，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為2，當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為0，由題意方程恰有三個(gè)根，其中，而關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)情況可能為0，1，2；所以關(guān)于的方程只能有兩個(gè)不相等的根（），不妨設(shè)，且或，或；又由韋達(dá)定理有，所以（舍去）或，所以是關(guān)于的方程的根，是關(guān)于的方程即的根，由韋達(dá)定理有，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是通過換元法、數(shù)形結(jié)合以及韋達(dá)定理分析方程的根的情況，由此即可順利得解.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求集合；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式結(jié)合補(bǔ)集的概念即可得解.（2）由題意得，由此即可得解.【小問1詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，所以或.【小問2詳解】由題意，而方程的兩根分別為，因?yàn)?，所以，若時(shí)，則，解不等式組得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，證明過程見解析（2）1【解析】【分析】（1）直接由函數(shù)奇偶性的定義判定并證明即可.（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，理由如下：顯然函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù).【小問2詳解】由（1）得函數(shù)是奇函數(shù)，若，則，又因?yàn)榕c分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以是增函數(shù)，所以，解得.19.已知，．（1）求m，n的值；（2）已知角的終邊過點(diǎn)，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則和對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案；（2）由（1）可得，利用三角函數(shù)定義得到，利用二倍角公式求出答案.【小問1詳解】，.【小問2詳解】角的終邊過點(diǎn)，故，則20.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）直接由單調(diào)性的定義討論即可.（2）由題意根據(jù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，去括號分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式、對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】由題意函數(shù)定義域?yàn)?，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以函?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.【小問2詳解】定義域?yàn)椋侄x域?yàn)?，所以才滿足題意，由題意方程有在內(nèi)兩根，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，即方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的根，所以在內(nèi)有兩個(gè)不同的根，令，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.下表是地一天從時(shí)的部分時(shí)刻與溫度變化的關(guān)系的預(yù)報(bào)，現(xiàn)選用一個(gè)函數(shù)來近似描述溫度與時(shí)刻的關(guān)系．時(shí)刻/h26101418溫度/℃2010203020（1）寫出函數(shù)的解析式：（2）若另一個(gè)地區(qū)這一天的氣溫變化曲線也近似滿足函數(shù)且氣溫變化也是從到，只不過最高氣溫都比地區(qū)早2個(gè)小時(shí)，求同一時(shí)刻，地與地的溫差的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)溫度跌宕起伏，且呈現(xiàn)一定規(guī)律（周期），由此聯(lián)想到三角函數(shù)，由以及，即可求得，最后代入一個(gè)點(diǎn)即可得.（2）由題意可得，兩函數(shù)作差，結(jié)合兩角和的正弦以及輔助角公式即可得解.【小問1詳解】由題意不妨設(shè)，可以發(fā)現(xiàn)周期，解得，而，解得，所以，即，不妨取，所以函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】設(shè)地區(qū)的溫度變化函數(shù)為，令，其中，不妨設(shè)，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以只能取或滿足地與地的溫差的最大值為.22.已知函數(shù)．（1）若在有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，求證：．【答案】（1）