浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點中學2024-2025學年高二上學期11月期中考試數學試題 含解析

絕密★考試結束前2024學年第一學期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點中學高二年級數學學科試題命題：嚴州中學新安江校區(qū)劉景紅審核：嵊州中學俞海東桐廬中學王燕萍校稿：蔣青松考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘：2.答題前，在答題卷密封區(qū)內填寫班級?學號和姓名；座位號寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結束后，只需上交答題卷.第I卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用斜率與傾斜角關系求解即可.【詳解】由題直線的斜率為，設直線的傾斜角，則且，所以傾斜角.故選：B.2.有一組數據，按從小到大排列為：，這組數據的分位數等于他們的平均數，則為（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】C【解析】【分析】根據百分位數概念，求出分位數，也求出平均值，構造方程計算即可.【詳解】這組數據一共有個，，，則.這組數據的分位數是第個數，即.這組數據的平均數為.因為這組數據的分位數等于它們的平均數，所以.解得.故選：C.3.若復數滿足，則復數（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運用復數除法運算計算即可.【詳解】滿足，則復數.故選：D.4.已知平面向量為單位向量，若，則（）A.0 B.1 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據已知條件求出的值，再利用這個值計算.【詳解】已知，根據向量模長公式，可得.展開得到.因為，是單位向量，所以，即，.代入上式可得，解得.同樣根據向量模長公式，.將展開得到.把，，代入可得：.所以.故選：B.5.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結合直線和圓相切的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，，即，∴“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件，故選：A．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用直線與圓相切的等價條件是解決本題的關鍵，比較基礎．6.已知直線經過點，且是的方向向量，則點到的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過向量的運算求出向量在直線方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出點到直線的距離.【詳解】已知點和點，則.向量在上的投影長度.先求.再求.所以.根據勾股定理，點到直線的距離.先求.則.故選：C.7.設是一個隨機試驗中的兩個事件，記為事件的對立事件，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據已知條件求出和，再利用概率的加法公式求出?！驹斀狻恳驗榕c是對立事件，根據對立事件概率之和為，已知，所以.根據以及，，通過求出，即。然后.根據概率的加法公式，將，，代入可得：.故選：D.8.已知直線與動圓，下列說法正確的是（）A.直線過定點B.當時，若直線與圓相切，則C.若直線與圓相交截得弦長為定值，則D.當時，直線截圓的最短弦長為【答案】C【解析】【分析】對于直線方程，可通過整理式子找到定點；對于圓的方程，化為標準方程可得到圓心和半徑.然后根據直線與圓的位置關系相關定理，如相切時圓心到直線距離等于半徑，相交時弦長公式等進行判斷.【詳解】對于A，將直線整理為.令，解方程組，得，即，將代入得，所以直線過定點，故A選項錯誤.對于B，當時，直線方程為，即.圓，圓心，半徑.因為直線與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑，即，或，解得或，故B選項錯誤.對于C，圓，圓心，半徑.直線，根據點到直線的距離公式，圓心到直線的距離.弦長，若弦長為定值，則為定值，與，無關.當時，，，是定值，故C選項正確.對于D，當時，求直線截圓最短弦長當時，圓，圓心，半徑.直線過定點.圓心到定點的距離.根據幾何關系，直線截圓最短弦長，故D選項錯誤.故選：C.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.若復數，則下列說法正確的是（）A.的虛部是B.的共軛復數是C.的模是D.在復平面內對應的點在第二象限【答案】BC【解析】【分析】根據復數的虛部、共軛復數、模的計算，以及復數的平方運算和復平面的概念，通過分別計算和分析各個選項來得出正確答案.【詳解】對于A選項，，這里，，所以的虛部是，A選項錯誤.對于B選項，因為，所以的共軛復數，B選項正確.對于C選項，對于，則，C選項正確.對于D選項，先計算.在復平面內對應的點為，這個點在第四象限，D選項錯誤.故選：BC.10.如圖，已知正方體分別是上底面和側面的中心，判斷下列結論正確的是（）A.存在使得B.任意，使得C.存在，使得共面D.任意，使得共面【答案】ACD【解析】【分析】根據空間向量線性運算法則，利用基底表示出所求向量，結合向量共面的條件，由此可得結果.【詳解】對于A，，得，A選項正確；對于B，，故，B選項錯誤；對于C，，則時，共面，C選項正確；對于D，正方體中，，，四邊形為平行四邊形，都在平面內，所以任意，都有共面，D選項正確.故選：ACD.11.已知曲線的方程，則以下結論正確的是（）A.無論實數取何值，曲線都關于軸成軸對稱B.無論實數取何值，曲線都是封閉圖形C.當時，曲線恰好經過個整點（即橫?縱坐標均為整數的點）D.當時，曲線所圍成的區(qū)域的面積小于【答案】AC【解析】【分析】選項A，利用曲線上任意一點關于軸的對稱點仍在曲線上，即可判斷；選項B，根據條件可得到，當時，及，從而可得，，即可判斷；選項C，通過對曲線方程特點分析，分，，三種情況下，曲線圖象經過的點，即可判斷；選項D，由C項得到的整點圍成的圖形面積之和即可判斷.【詳解】對于選項A，設是曲線上任意一點，則其關于軸的對稱點為，又因為，即點也在曲線上，所以曲線關于軸對稱，故選項A正確，對于選項B，由得到，故，當時，，此時曲線不封閉，故選項B錯誤，對于選項C，當時，曲線，當時，代入可得，解得，即曲線經過點，當時，方程變換為，由，解得，所以只能取整數，當時，，解得或，即曲線經過，根據曲線關于軸對稱可得曲線還經過，故曲線一共經過6個整點，所以選項C正確，對于選項D，當時，曲線，當，曲線方程為：即設，則，其中，因，故.當時，則，若且，則由得，但此時，矛盾；故當時，，或，由C可知此時圖形是封閉的，故此時曲線與坐標軸圍成的面積大于1，當時，，此時，而，，故此時曲線在的下方，此時曲線與坐標軸圍成的面積大于，由A中曲線的對稱性可得曲線圍成的面積大于，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于選項C,對二次方程中的絕對值進行分類討論，找到曲線經過的整點，以此為突破口，可解決整點個數，對于D，借助三角換元研究曲線點的坐標特征.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某圓臺上下底面半徑分別為2和5，母線長為5，則該圓臺的體積是______.【答案】【解析】【分析】圓臺的體積公式（其中為圓臺的高，為下底面半徑，為上底面半徑），我們需要先根據圓臺的母線長、上下底面半徑求出圓臺的高，再代入體積公式計算體積.【詳解】設圓臺高為，根據圓臺的母線、高和上下底面半徑之差構成直角三角形，其中母線為斜邊.已知，，，根據勾股定理，，代入圓臺體積公式，所以.故答案為：.13.已知橢圓的左?右焦點到直線的距離之和為，則離心率取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據題設及點線距離公式整理得，結合其幾何意義得求參數范圍，再由橢圓離心率公式求離心率范圍.【詳解】由題意，橢圓左右焦點坐標為，所以，即，即在數軸上到的距離和為8，故，即，所以故答案為：14.已知正三棱錐的外接球為球是球上任意一點，為的中點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】對于正三棱錐，底面是正三角形，頂點在底面的射影是底面三角形的中心.要求的取值范圍，需要先求出外接球的半徑以及球心到點的距離，的取值范圍就是球心到點的距離加減外接球半徑.【詳解】因為底面是正三角形，.根據正三角形外接圓半徑公式（其中為正三角形的邊長），可得.設正三棱錐的高為，頂點在底面的射影為.因為為中點，在上，且.對于正三角形，，則.在中，，，根據勾股定理.設外接球半徑為，球心在高上.根據，將，代入可得：.展開得.移項化簡得，解得.因為.設球心到點的距離為，在中，，，根據勾股定理.的最小值為，最大值為.，.所以的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.杭州市某學校組織學生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據圖形，請解決下列問題：（1）若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數：（2）已知落在60,70成績的平均值為66，方差是7；落在成績的平均值為75，方差是4，求兩組成績的總平均數和總方差；（3）若該學校安排甲?乙兩位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲?乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率.【答案】（1）人（2），（3）【解析】【分析】（1）根據頻率算出人數即可；（2）根據長方體面積和為1，求出a，根據分層抽樣的平均值，方差公式計算即可；（3）根據概率的乘法和加法公式，可得答案.【小問1詳解】人，人，不高于50分的抽到人.【小問2詳解】由題意可知，解得.由圖中可知：落在60,70的學生人數為30人，落在的學生人數為60人，故，.【小問3詳解】記“至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級”事件A，則至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率為.16.在中，內角的對邊分別為，若（1）求的大??；（2）若是線段上一點，且，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用正弦定理進行邊角互化，再用余弦定理計算；（2）借助向量分點的向量性質，結合基本不等式和面積公式計算即可，【小問1詳解】由題意，根據正弦定理得，即，根據余弦定理可知.【小問2詳解】由題意在邊上一點，且，可得，，故，，故，當且僅當時取到等號，故，即的最大值為，當且僅當時取到等號17.在平面直角坐標系中，已知圓與軸相切，且過點（1）求圓的方程；（2）過點作直線交圓于兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對于求圓的方程，需要確定圓心坐標和半徑.根據圓與y軸相切可知圓心到y(tǒng)軸距離等于半徑，再利用圓過兩點可列出方程求出圓心和半徑.（2）對于求直線方程，設出直線方程，利用點到直線距離公式求出圓心到直線距離，再結合弦長公式以及已知條件列出方程求解直線斜率.【小問1詳解】在平面直角坐標系中，圓與軸相切，設圓方程為，又圓過點，則，可得，故圓的方程為【小問2詳解】顯然當直線斜率為0時不合題意，設直線將直線與圓聯(lián)立方程組：，整理得，整理可得，即可得，，化簡可得，經驗證所求的直線方程為18.如圖所示，已知四棱錐是以為斜邊的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中點.（1）求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積；（3）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）運用中位線性質，結合線面平行判斷定理可解；（2）取的中點取的中點，得到是二面角的平面角.連接在，中，運用勾股定理逆定理得到.再用圓錐體積公式計算即可;（3）根據第（2）題，可建系，不妨令，求出關鍵點坐標，求出兩個面的法向量，結合向量夾角公式計算即可.【小問1詳解】取的中點是的中位線，，又，四邊形是平行四邊形,，又平面平面.平面.【小問2詳解】取的中點是以為斜邊的等腰直角三角形，取的中點，底面是等腰梯形，.是二面角平面角.連接，在中，，在中，.，二面角的平面角..【小問3詳解】根據第（2）題，二面角的平面角，平面平面，如圖，建系，不妨令，則設平面的法向量是，即，令，解得設平面的法向量是，即令，解得設二面角的平面角大小為由圖可知二面角的平面角為鈍角，故余弦值為.19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為，離心率為，設Px0,y0是第一象限內橢圓（1）求橢圓的方程；（2）當軸，求的面積；（3）若分別記的斜率分別為，求的最大值.【答案