第02講 函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）（解析版）

第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、

對稱性

目錄

目錄

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)借助函數(shù)圖像，會用符從近幾年高考命題來看，本節(jié)是高考的

號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最2022年〃卷第8題，5分一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對

大值、最小值，理解它們的作2022年/卷第12題，5分稱性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點

用和實際意義.2021年〃卷第8題，5分關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性結(jié)合在一

(2)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇2021年甲卷第12題，5分起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和不等式相

偶性的概念和幾何意義.結(jié)合進(jìn)行考查.

(3)結(jié)合三角函數(shù)，了解周

期性的概念和幾何意義.

般地，設(shè)橋數(shù)/(幻的定義域為4,IXWIDUA：

如果對JD內(nèi)的任意兩個門變僦的僑小，*2,

知fl〈的時，都仃，(必)V"孫)，?

那么就說/(幻在區(qū)間。上足增函數(shù).3

如果對J。內(nèi)的任意兩個門變量的位;q,x2,

函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)M<“2時，都有，(孫)</(^2)?,

那么就說八幻在乂間。上是減函數(shù).—

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任怠一個X,都有

f(-x)=f(x)?那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)

函數(shù)的奇倡性如果對于函數(shù)f(X)的定義域內(nèi)任患一個X?都有

Vf(-x)=-f(x)?那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)

函數(shù)的性質(zhì)若函效y=f(x+a)為偶函數(shù)?則函款y=f(x)關(guān)于x=a對稱?

若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)?則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱

函數(shù)的對稱性Sf(x)=f(2a-x)?則函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱

5f(x)4-f(2a-x)?2b?則函欲f(x)關(guān)于點(a,b)對稱

對于函致y=f(x)?如果存在一個非零常數(shù)丁,使得當(dāng)X取定義

域內(nèi)的任何值時，都高f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù).f(x)

為周期函數(shù),稱T為這個函款的周期.

函數(shù)的周期性

?研二必備基礎(chǔ)劃邈理

1、函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為A,區(qū)間。qA：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值用，吃當(dāng)王<當(dāng)時，都有/但)</(芻)，那么就說/(x)在區(qū)間。

上是增函數(shù).

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值玉，尤2,當(dāng)司<》2時，都有/(百)</(當(dāng))，那么就說f(x)在區(qū)間￡>

上是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上：

②任意兩個自變量辦，Z且辦<工2；

③都有/(X,)</(%)或/(X,)>/(X2):

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間。上具有

單調(diào)性，。稱為函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).

(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增

(減)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函

2、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有關(guān)于y軸對

偶函數(shù)

/(-x)=f(x),那么函數(shù)人X)就叫做偶函數(shù)稱

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有關(guān)于原點對

奇函數(shù)

/(-x)=-/*),那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)稱

判斷了(-幻與/*)的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果/(-X)-f(x)=O或以9=1(7(X)HO),則函

f(x)

數(shù)/'(x)為偶函數(shù)；如果/■(-x)+/(x)=O或幺二D=-l(/(x)wO),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個x,-x

也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱).

3、函數(shù)的對稱性

⑴若函數(shù)y=為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對稱.

(2)若函數(shù)y=為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(a,0)對稱.

⑶若/(x)=f(2a-x),則函數(shù).f(x)關(guān)于x=a對稱.

(4)若/(x)+/(2a-x)=2b,則函數(shù)/(x)關(guān)于點(a,b)對稱.

4、函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)>=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x+T)=/(x),

那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做/(x)的最小正周期.

【解題方法總結(jié)】

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)無「々是/(X)定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且芭<馬；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若f(x)是增函數(shù)，則-/。)為減函數(shù)；若f(x)是減函數(shù)，則-/(x)為增函數(shù)；

②若f(x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函數(shù)；

③若/(x)>0且/(幻為增函數(shù)，則函數(shù)77而為增函數(shù)，」一為減函數(shù)；

f(x)

④若f(x)>0且/(x)為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，一L為增函數(shù).

fM

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)f(x)是偶函數(shù)=函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)/(%)是奇函數(shù)o函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點中心對稱.

(3)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足.f(x)=/(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的

兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)/(x)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記

g(x)=g"(X)+f(-x)］，，(x)=；"(x)-/(-%)］，貝|Jf(x)=g(x)+//(x).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的

函數(shù)，如/(x)+g(x),/'(x)-g(x),/(x)xg(x),/(x)+g(x).

對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶士偶=偶；奇士偶=非奇非偶；

奇、(十)奇=偶：奇乂")偶=奇；偶乂(十)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)f(x)=皿"+1)(x*0)或函數(shù)f(x)=m(-——-).

aa+\

②函數(shù)/(x)=±(優(yōu)-尸).

③函數(shù)/(x)=log?葉生=log“(1+3-)或函數(shù)/(x)=log"七型=10gli(1一-—)

x—mx—mx+ntx+m

④函數(shù)/(x)=log.(J/+1+x)或函數(shù)f(x)=log“(Vx2+1-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/(X)=%+3L(XN0)或函數(shù)f(x)=機(jī)-2-QweR).

ax-I優(yōu)+1

偶函數(shù):①函數(shù)/")=土(屋+「).

②函數(shù)f(X)=log,,(4"+l)--y-

③函數(shù)f(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xeR)周期

/(x+T)=/(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

f(x+T)=;/(x+7,)=2T

f(x),f(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

f/(?+X)=/(a-x)

2s-a)

[f(b+x)=f(b-x)

[f{a+x)=f[a-x)

[f(x)為偶函數(shù)2a

{f(a+x)=-f(a-x)

2(/?-a)

f{b+x)=-f(b-x)

[f(a+x)=-f{a-x)

2a

/(x)為奇函數(shù)

{,f(a+x)=/(a-x)

4(b-a)

f(b+JC)=-f(b-x)

f/(a+x)=/(a-x)

4。

為奇函數(shù)

f(a+x)=-f(a-x)

4a

/(?為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(%)是周期函數(shù)，且7=2(。-〃)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個對稱中心3c),S,c)(〃v。)，則函數(shù)y=/(幻是周期函數(shù)，且

T=2(b-a)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心S,O)S<"),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

7=4(。-a).

5、對稱性技巧

(1)若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱，則f(a+x)=f(a-x).

(2)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(a,力對稱,WOf(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與y=/(a-x)關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y=/(a+x)與y=-/(。一］)關(guān)于原點對稱.

一提升?必考題型歸納

【典例例題】

題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

例1.已知函數(shù)/(X)的定義域是R,若對于任意兩個不相等的實數(shù)4，々，總有：/一)：〃>>0成立,

“2一%

則函數(shù)一定是（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

【答案】C

【解析】對于任意兩個不相等的實數(shù)4，々，總有1色上"也）＞0成立,

超一西

等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)王＜々，總有/（王）＜/（馬）.

所以函數(shù)/（x）一定是增函數(shù).

故選：C

例2.若定義在R上的函數(shù)1x）對任意兩個不相等的實數(shù)a,b,總有/⑷彳?＞0成立,則必有（）

a-b

A.y（x）在R上是增函數(shù)B.火x）在R上是減函數(shù)

C.函數(shù)兀v）先增后減D.函數(shù)./U）先減后增

【答案】A

【解析】由及2也＞0知處0次辦與aS同號，即當(dāng)時，勺（份，或當(dāng)a泌時，所以_/U）在

a-b

A上是增函數(shù).

故選：A.

例3.下列函數(shù)中，滿足“〃了+力=〃月/3”的單調(diào)遞增函數(shù)是

A.=fB./（x）=x3

C./（x）=^JD.?。?3'

【答案】D

【解析】由于優(yōu)?優(yōu)=a』，所以指數(shù)函數(shù)f（x）=。'滿足f（x+），）=/（x）+/（y）,且當(dāng)時單調(diào)遞增，

Ovx＜l時單調(diào)遞減，所以/'（"=3'滿足題意，故選D.

考點：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

變式1.函數(shù)f（x）=|x2-3x+2|的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

3、「3~1

A.—,+°°IB.1,—■和［2,+8）

C.（70,1］和|,2D.卜8,g［和［2,+8）

【答案】B

x*12-3x+2,x<1

【解析】y-|x2-3x+2|=.—x"+3x—2,1<x<2

x2-3x+2,x>2

3

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1弓和［2,+8）.

故選：B.

21

變式2.（江蘇省泰州市海陵區(qū)2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（尤）=——-,XG（O,+＜X））.

x+1

（1）判斷函數(shù)/（X）的單調(diào)性，并利用定義證明；

（2）若/（2加一1）＞/（1一嗎），求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】（1）/（x）在（0,+8）上遞減，理由如下:

任取司,々e(0,+<?),且占<》2，則

，(％)-小)=-a+二

x2+lxt+1

_2X1(x2+1)-2w(X]+1)

(X2+l)(x(+1)

2(X[-X2)

因為XpWW（0,+OO）,且西＜々，

所以%-七<0,(x2+1)(%,+1)>0,

所以/(%,)-/(^)<0,即/(x2)</(%)),

所以/（X）在（0,m）上遞減；

（2）由⑴可知〃幻在（0,+8）上遞減,

所以由/（2機(jī)_1）＞”1_〃?），得

2加一1＞0

12

?1一機(jī)＞0,解得一＜加＜一，

23

所以實數(shù)小的取值范圍為

變式3.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)a>0,awl,證明：函數(shù)g(x)=是x的增函數(shù)(x>0).

【解析】證明：當(dāng)三>士>0,在伯努利不等式定理3中取l+x=a&,r=A,0<r<l,

X2

則有(1+x)'41+b,即(優(yōu)2戶<1+五("2—1),

則有<1+五('2-I),從繪匚>9^,

X2工2%

即研毛)>。(%).

所以當(dāng)x>0時，S(x)是x的增函數(shù).

變式4.(2023?上海靜安?高三?？计谥?已知函數(shù)f(x)=/3a>0),且f(0)=0.

(1)求。的值，并指出函數(shù)/(x)的奇偶性：

(2)在(1)的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)/*)在(-8,+8)上是增函數(shù).

【解析】(1)因為f(0)=2-a=0,又a>0,所以a=l,

a

所以/(x)=2,-《，xe(-oo,+oo),

此時/(-x)=^-2'=-/U)，所以為奇函數(shù)；

(2)任取為<々，則/(%)_/(々)=2為_!_2*2+1

212-

=⑵-2&)+2"-2"=(2,-2-)(1+/)1=2'(1+-V1)(l-2*』),

因為公<x?，所以2演f>1,所以1-2—<0,2為(1+不1)>0

所以f(%)一)<0即f(%)<f(%)，

所以函數(shù)/(X)在(-8,??)上是增函數(shù).

【解題總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

例4.函數(shù)丫=正言的單調(diào)遞減區(qū)間為()

B.『5，+刃

C.[O,-hx））D.（—oo,—3j

【答案】D

【解析】由題意，得f+3x20,解得xV-3或xNO,

所以函數(shù)y=&+3x的定義域為（9,-3]J[0,E）,

3

令r=￡+3x，則r=f+3x開口向上，對稱軸為x=-二，

所以f=/+3x在（—,-3]上單調(diào)遞減，在[0,y）上單調(diào)遞增，

而y=〃在f0,+O上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，一刃.

故選：D.

例5.（陜西省寶雞市金臺區(qū)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）函數(shù)y=logzQx-Y）的單調(diào)遞減區(qū)

間為（）

A.（1,2）B.（1,2]

C.（0,1）D.[0,1）

【答案】A

【解析】由2》-r>0，得0cx<2,

^-t=2x-x2.則y=bg2，，

f=2x--在（0,1）上遞增,在。,2）上遞減,

因為y=log2f在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

所以y=log<2x-V）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,2）,

故選：A

例6.（陜西省榆林市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期階段性測試）函數(shù)y=lg（2cosx-班）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.[2k兀+兀,2k7r+27r）（kGZ）B.ylkTT+7t,2k7T+—7C^kGZ）

C.（2攵萬一親2攵萬）（攵GZ）D.（2Z肛2%乃+eZ）

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，2cosx-\/3>0?解得，2kjtC<x<2k7r+JksZ

66

又函數(shù)y=/gx在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),

且函數(shù)y=2cosx-^3在2.k7r-y,2k7t\,keZ內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:

y=/g(2cosx-月)的單調(diào)增區(qū)間為2k兀--,2kneZ

選項C正確，選項ABD錯誤.

故選：C.

【解題總結(jié)】

討論復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性.一般

需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，

再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

1、若〃=g(x),y=f(“)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=/［g(x)］為增函數(shù)；

2、若〃=g(x),y=/(〃)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則｝?=_/lg(x)］為減函數(shù).列

表如下：

u=g(x)y=fWy=〃g(x)]

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減.

題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

例7.(河南省2023屆高三下學(xué)期仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且

/(/(x)-2J-2x)=10,則在［-2,2］上的值域為.

【答案】'一；7,1。'

【解析】因為f(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，

所以存在唯一的feR,使得〃f)=10,

則〃x)-2，-2x=f,f(t)-2'-2t=t,即/⑺=2+3f=10,

因為函數(shù)y=2'+3f為增函數(shù)，且22+3x2=10,所以f=2,

/(x)=2、+2x+2.

7

易知/(X)在［—2,2］上為增函數(shù)，且42)=10,

則/（X）在［-2,2］上的值域為［-（』0.

故答案為：『（』0］

例8.（上海市靜安區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)〃耳=33>0）為偶函數(shù)，則函數(shù)/（X）的值

域為.

【答案】［o,1

【解析】一.?函數(shù)/（力=白（?>0）是偶函數(shù),

ax2rr1

2---=—=。=>a=72

2V+12A+1a

???/(力=腳，易得〃x)>0,

設(shè)t=(a)'?>0),

則k777=1產(chǎn)5,

IH—

t

當(dāng)且僅當(dāng)"!即r=l時，等號成立，

t

所以O(shè)<YL

2

所以函數(shù)/（x）的值域為（0，J.

故答案為：（o,1.

例9.（河南省部分學(xué)校大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測）已知函數(shù)/（x）="+3x+l（“>0且

"D,若曲線y=〃x）在點（0"（0））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，則〃x）在上的最大值為

【答案】7+—2

【解析】由題意得r（x）=，lna+3,所以/'（0）=lna+3,

因為切線與直線x+2y-l=0垂直，而x+2y-l=0的斜率為

所以切線斜率為2,BPIna+3=2,解得a=ei,

所以〃x)=eT+3x+l,且r(x)=-e-*+3,

顯然((x)是增函數(shù)，

當(dāng)時,r(x)>r(-l)=3-e>0,

所以/(x)在［T,2］上單調(diào)遞增，故/a/="2)=7+士.

e

故答案為：7+4

e

變式5.(新疆烏魯木齊市第八中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次月考)若函數(shù)〃力=4等在區(qū)間［0,1］上的

最大值為3,則實數(shù)“片.

【答案】3

【解析】???函數(shù)〃"=生?=2+竺二

x+1x+1

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

當(dāng)機(jī)>2時，f(x)=/p在［()』］上單調(diào)遞減，最大值為"0)=〃?=3；

當(dāng)〃?<2時，〃x)=彳詈在［()』匕單調(diào)遞增，最大值為〃1)=21冬=3,

即初=4,顯然機(jī)=4不合題意，

故實數(shù)根=3.

故答案為：3

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.常用到下面的結(jié)論：

1、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。，切上是增函數(shù)，在區(qū)間g，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)(xea,c)在

x=6處有最大值/S).

2、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3,句上是減函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)(xea,c)在

x=b處有最小值f(h).

3、若函數(shù)y=/(x)在［a,句上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在［a,句上一定有最大、最小值.

4、若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,0上是單調(diào)遞增函數(shù)，則y=f(x)的最大值是/(。)，最小值是f(a).

5、若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,加上是單調(diào)遞減函數(shù)，則y=f(x)的最大值是/(a),最小值是f(力.

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

f(3a-l)x+4<v(%<1)

例10.已知函數(shù)〃x)=a,、，滿足對任意的實數(shù)占，血且石工々，都有

I仆I)

［/(3)-/(々)］(西—々)<0,則實數(shù)a的取值范圍為()

【答案】C

【解析】對任意的實數(shù)X尸出，都有"解）-〃X2）］（Xf）<0,即/（V㈤<0成立,

X\~X2

可得函數(shù)圖像上任意兩點連線的斜率小于0,說明函數(shù)是減函數(shù)；

可得：\a>0,

3a-\+4a>a

解得〃w

L63J

故選：C

例11.（吉林省松原市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考）若函數(shù)/（x）=log“（x3-or）（。>0且）

在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

C.修+8

【答案】B

【解析】函數(shù)/（x）=log,,（丁-6）（。>0,。Hi）在區(qū)間（-；,0）內(nèi)有意義,

則（—）'^—ci--0,u...-,

224

T§：t=x>-ax,則y=log“t,f=3^-a

（1）當(dāng)。>1時，y=log,,t是增函數(shù)，

要使函數(shù)f（X）=logu（P-ax）（a>0,aW1）在區(qū)間（-；,0）內(nèi)單調(diào)遞增，

需使z=x3-ar在區(qū)間（-；,。）內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，

則需使「=3/30,對任意xe（—0）恒成立，即。交一對任意一-8恒成立；

因為xe（—；1,0）時，0<3》2<39所以。<0與a>；1矛盾，此時不成立.

（2）當(dāng)0<“<1時，y=iog/是減函數(shù)，

要使函數(shù)以）（。>0,中1）在區(qū)間（-；,。）內(nèi)單調(diào)遞增，

需使￡=%3一如在區(qū)間（-；,。）內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，

則需使t'=3x2-a<0對任意xe,0)恒成立，

即a23x2對任意xG(-1,0)恒成立，

i3

因為x￡(—,0)時,0<3x“<—,

24

3

所以a..一,

4

3

又av1,所以二,,

4

綜上，”的取值范圍是

4

故選：B

-x1-ax-9,x<\

例12.(四川省廣安市2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)己知函數(shù)"司=0在R上

—,x>1

x

單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[-5,0)B.(—,-2)

C.[-5,-2]D.(-oo,0)

【答案】C

【解析】由題意，xeR,

-x2-ax-9,x<1

在/(x)=a中，函數(shù)單調(diào)遞增，

—,X>1

-2-x(-1)

.。<0,解得：-5<a<-2,

1

故選：C.

變式6.(江西省臨川第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題)已知函數(shù)/(乃=丑“卜2_6+3)

在[()」]上是減函數(shù)，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,4)

C.(0,1)0(1,4)D.[2,4)

【答案】D

【解析】函數(shù)/(x)=log?(X?—ar+3)在[0,1]上是減函數(shù),

22

當(dāng)0<。<1時，x2-ax+3=（%--）2+3-—>3-—>OffiJaJc

244

而函數(shù)〃=/-辦+3在區(qū)間［（）［］匕不單調(diào)，因此不符合題意，

當(dāng)a>1時，函數(shù)y=log,,“在O”）上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)〃=V-依+3在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，

因此521,并且產(chǎn)一〃.1+3>0,解得2Wa<4,

所以實數(shù)。的取值范圍是［2,4）.

故選：D

變式7.（天津市復(fù)興中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)〃x）=V+2丘-5在［-2,4］上

具有單調(diào)性，則實數(shù)上的取值范圍為（）.

A.k<^B.k>2

C.AWT或左22D.或Q2

【答案】C

【解析】函數(shù)/（x）=/+2"—5的對稱軸'為x=-k,

因為函數(shù)/（x）=犬+2丘—5在［-2,4］上具有單調(diào)性，

所以一女24或一左V-2,即44-4或&22.

故選：C

【解題總結(jié)】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)a的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)。的不等式，利

用下面的結(jié)論求解.

1、若a>/（x）在［m,/?］上恒成立<=>a>./'（X）在［m,n\上的最大值.

2、若a<f（x）在［〃?，〃］上恒成立or</（x）在［〃z,〃］上的最小值.

題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

例13.（2023?天津河西?天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，對任意4,

々目2,物），且x產(chǎn)芻都有，］；（々）>0成立.若a=/（log318）,6=c=/（e竽），則a,

b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.a<h<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因為函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)y="X）的對稱軸為X=2,

又因為對任意與，々W2,內(nèi)），且x產(chǎn)王都有/（*）/（￡）>0成立.

所以函數(shù)^=/(同在(2,+8)上單調(diào)遞增,

2

Hij3=log327>log318>log39=2,In=Ine-In\/2=2-In>/2<2,_emVio=5/io>3>

理e2

所以e2>log,18>2>In&,

所以c>a,

因為函數(shù)y=/(x)的對稱軸為x=2,

所以…［嗓)金卜(2+ln旬,

=f4-ln

而a=f(log318)=〃log39x2)=f(2+log32),

因為Inavlog?2,

2

e-

所以2<4-ln<log18<3,

正3

所以〃<Q,

所以VC.

故選：A.

例14.(多選題)(甘肅省慶陽市寧縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)在

區(qū)間［-5,5］上是偶函數(shù)，在區(qū)間［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，且/⑶<〃1),則()

A./(-1)</(-3)B./(0)>/(-1)

C./(-1)</(1)D./(-3)>/(5)

【答案】BD

【解析】函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，又3>1,E/(3)</(l),

故此函數(shù)在區(qū)間［0,5］上是減函數(shù).

由己知條件及偶函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)/(x)在區(qū)間［-5,0］上是增函數(shù).

對于A,-3<-1,故/(一3)</(—1),故A錯誤；

對于B,0>-1,故1),故B正確；

對于C,/(-1)=/(1),故C錯誤；

對于D,/(-3)=/(3)>/(5),故D正確.

故選:BD.

例15.(2023屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+◎上

單調(diào)遞增的是()

32w

A.y=xB.y=-x+1C.y=log2xD.j=2

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對四個函數(shù)逐一判斷可得答案.函數(shù)>=/是奇函數(shù)，不符合；

函數(shù))，=-V+l是偶函數(shù)，但是在(0,內(nèi))上單調(diào)遞減，不符合；

函數(shù)y=iog?x不是偶函數(shù)，不符合；

函數(shù)y=2W既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，符合.

故選：D

【解題總結(jié)】

1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.

2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)單調(diào)

區(qū)間(同增異減).

3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為己知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)

區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關(guān)系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意

分點左右端點函數(shù)值的大小關(guān)系.

題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

例16.利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：

⑶丫=鈔；

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)y=x2-2|x|-l.

【解析】(1)函數(shù)/(X)的定義域為(F,0)U(0,+8),

x~+2x+l,x>0

對于函數(shù)/(x)=,、，八，

[x+2x-l,x<0

當(dāng)x>0,f(x)=-x2+2x+l,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向下，對稱軸為x=l,

當(dāng)X<0J(X)=X2+2X-1,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為戶-1,

_丫2I'yI1Y'0

畫出函數(shù):'八的圖象，如圖所示，

?V-?ov1vr\

函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù);

(2)函數(shù)f(x)的定義域為(-00,0)(0.+oo),

對于函數(shù)/（X）=<

x-x,x>0

當(dāng)x<0J（x）=x2+x,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為了=-；,

當(dāng)x>0J（x）=V-尤，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為X=g,

+A*YV0

畫出函數(shù)f（x）=<|,'八的圖象，如圖所示,

（3）先作出y=（；）r的圖象，保留y=（g），圖象中.侖0的部分,

再作出y=（；廣的圖象中%>0部分關(guān)于y軸的對稱部分，

即得了=（；/的圖象，如圖實線部分.

由圖知y=（g聲的圖象關(guān)于），軸對稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).

（4）將函數(shù)y=log2》的圖象向左平移一個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,

即可得到函數(shù)y=|log式x+1）|的圖象,如圖,

由圖知y=|log2（x+l）|的圖象既不關(guān)于y軸對稱，也不關(guān)于x軸時稱,

X2-2x-l,x>0

(5)函數(shù)y=/(x)=x2_2|x|_l=

x2+2x-1,x<0

當(dāng)xNOJ（x）=f—2x—l,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向匕對稱軸為x=l,

當(dāng)x<0J（x）=/+2x-l,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為廣-1,

%2—2,x—Lxi0

畫出函數(shù)〃幻=,八21,x<。的圖象‘如圖'

由圖知y=f-2國-1的圖象關(guān)于y軸對稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).

例17.（2023?北京?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

1

A.y=cosxB.y=陰C.y=lgxD.y=-

X

【答案】B

【解析】對于A,函數(shù)y=cosx的定義域為R,且滿足cos（-x）=cosx,所以其為偶函數(shù),

在（0,兀）上單調(diào)遞減，在（兀,2兀）上單調(diào)遞減，故A不符合題意;

eA,x>0

對于B,設(shè)丫=/（力=朋，函數(shù)/（工）=朋=<］）X。的定義域為R'

Ie

且滿足=所以函數(shù)〃力=朋為偶函數(shù),

當(dāng)X€（0,+o））時，/（x）=e”為單調(diào)遞增函數(shù)，故B符合題意;

對于C,函數(shù)y=lgx的定義域為（0,y），不關(guān)于原點對稱,

所以函數(shù)y=lgx為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意;

對于D,設(shè)y=〃x)=2，函數(shù)/(》)=2的定義域為(-8,0)(0,+8),關(guān)于原點對稱，

XX

且滿足f(r)=-/(x),所以函數(shù)f(x)=g為奇函數(shù)，

又函數(shù)f(x)在(0,M)上單調(diào)遞減，故D不符合題意.

故選：B.

例18.(多選題)(黑龍江省哈爾濱市第五中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題)設(shè)函數(shù)

/(x),g(x)的定義域都為R,且“X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)-g(x)是偶函數(shù)B.|/卜旌(可是奇函數(shù)

C.〃x>|g(x)|是奇函數(shù)D.|/(x>g(x)|是偶函數(shù)

【答案】CD

【解析】因為函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,

所以各選項中函數(shù)的定義域也為R，關(guān)于原點對稱，

因為f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),

所以/(r)=-/(x),g(T)=g(x),

對于A,因為f(-x).g(T)=-f(x)g(x),

所以函數(shù)/(x),g(x)是奇函數(shù)，故A錯誤；

對于B,因為|/(—x)|.g(—x)=k/(x)|.g(x)=|/(x)|.g(x),

所以函數(shù)|/(“工㈤是偶函數(shù),故B錯誤；

對于C,因為/(-x).|g(-x)|=-/(x>|g(x)|,

所以函數(shù)f(x>|g(x)|是奇函數(shù),故C正確；

對于D,因為|/(-力超(—)|=卜/(%"(刈=|/(力超(力|,

所以函數(shù)是偶函數(shù)，故D正確.

故選：CD.

變式8.(北京市海淀區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的

是()

2

A.y=lgxB.y=-C.y=2wD.y=tanx

x

【答案】D

【解析】對于A,y=lgx的定義域為(0,+e),定義域不關(guān)于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤,

71

對于B,〃耳=：的定義域為(-^,0)11(0,物)，定義域關(guān)于原點對稱，又〃-力=七-：=寸(力所以/(x)

為奇函數(shù)，但在(0,1)單調(diào)遞減，故B錯誤，

對于C,y(x)=2.的定義域為R,關(guān)于原點對稱，又/(-x)=2i心小于"(X),故〃x)為偶函數(shù)，故C錯誤，

對于D,/(x)=tanx,由正切函數(shù)的性質(zhì)可知〃x)=tanx為奇函數(shù)