課題學(xué)習(xí)最短路徑問題教學(xué)設(shè)計

PAGE41PAGE課題：§13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題參賽教案基本信息作者姓名性別出生年月工作單位郵政編碼通訊地址聯(lián)系電話電子郵箱所用教科書書名《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》人教版八年級上冊所教年級八年級所教冊次、單元八年級上冊第13章《軸對稱》課題§13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)選自《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書初中數(shù)學(xué)》新人教版八年級上冊第13章《軸對稱》第85-87頁13.4《課題學(xué)習(xí)最短路徑問題》，總計１課時.本節(jié)課是學(xué)生學(xué)完軸對稱圖形和圖形的對稱軸之后的最后一節(jié)內(nèi)容，教科書在這一節(jié)中安排了兩個問題，分別是“牧馬人飲馬問題”和“造橋選址問題”，解決這兩個問題的關(guān)鍵是通過軸對稱和平移等變化把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于“兩點之間，線段最短”的問題，在解決這兩個問題的過程中滲透了“化歸”的思想.二、學(xué)生情況分析從心理特征來說，初中階段的學(xué)生邏輯思維從經(jīng)驗型逐步向理論型發(fā)展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展.但同時，這一階段的學(xué)生好動，注意力易分散，愛發(fā)表見解，希望得到老師的表揚，所以，在教學(xué)中應(yīng)抓住這些特點，一方面運用直觀生動的形象，引發(fā)學(xué)生的興趣，使他們的注意力，始終集中在課堂上；另一方面，要創(chuàng)造條件和機會，讓學(xué)生發(fā)表見解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性.從認(rèn)知情況來說，學(xué)生在七年級已經(jīng)研究過一些“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等最短路徑問題以及有關(guān)平移的基本知識，在本章的前面學(xué)生學(xué)習(xí)了軸對稱圖形，也初步掌握了作點關(guān)于某直線的對稱點，所有這些內(nèi)容為順利完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)．從知識能力來說，通過初中一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了圖形變換以及模型構(gòu)建的意識，獲得了初步的利用轉(zhuǎn)化思維轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，具備了一定的主動參與、合作交流的意識和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問題的能力.三、教學(xué)策略選擇與設(shè)計落實新課程倡導(dǎo)的教育概念：以學(xué)生發(fā)展為本，以解決問題為中心的“探究式學(xué)習(xí)”。教學(xué)過程通過史料創(chuàng)設(shè)問題情境，給學(xué)生提供了廣闊的思考空間．引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板在動手（作圖）操作中觀察分析，調(diào)整自己的思路、想法，讓學(xué)生自主探究及驗證，探尋出解決問題的思維路徑．以數(shù)學(xué)知識為載體，以挖掘?qū)W生的潛在學(xué)習(xí)水平、實踐能力的教學(xué)原則為指導(dǎo)，在幾何畫板的支持下，注重學(xué)生的親身體驗，幫助學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)、驗證等，然后在拓展活動中遷移使用所獲得的基本經(jīng)驗，力求達到深入領(lǐng)會其應(yīng)用價值的目的．四、教學(xué)資源與工具設(shè)計教師資源：PPT課件、幾何畫板、黑板學(xué)生資源：筆、作圖工具等知識點媒體類型媒體內(nèi)容要點教學(xué)作用使用方式占用時間（1）課件PPT文檔知識回顧回顧知識點，為后面應(yīng)用做好鋪墊.演示+講解3分鐘（2）課件PPT文檔情景導(dǎo)入溫故中實現(xiàn)引新，為展開探究提供知識、方法及經(jīng)驗的支持演示+講解8分鐘(3)PPT文檔幾何畫板知識探究+綜合運用1.豐富課堂內(nèi)容，提高課堂實效，及時總結(jié)解題方法，滲透數(shù)學(xué)思想，突破教學(xué)難點；2.便捷呈現(xiàn)學(xué)生作業(yè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃光點.演示+學(xué)生講解25分鐘(4)課件PPT文檔課堂小結(jié)梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，突出以學(xué)生為主體，注重提高學(xué)生的概括能力.演示+學(xué)生講解4分鐘（5）課件PPT文檔課后鞏固練習(xí)布置作業(yè)內(nèi)容,讓不同層次的學(xué)生都得到發(fā)展.五、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：通過對最短路徑問題的探索，進一步理解和掌握兩點之間線段最短和垂線段最短．進一步熟悉軸對稱作圖以及平移變換作圖等基本技能．?dāng)?shù)學(xué)思考：讓學(xué)生經(jīng)歷運用所學(xué)知識解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，掌握探索最短路徑問題的思想和方法．問題解決：在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，獲得解決此類問題的基本套路及經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念，激發(fā)內(nèi)在興趣．情感態(tài)度與價值觀：1.學(xué)會分享，體驗分享的快樂.2.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，樹立自信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系.六、教學(xué)重點和難點重點：最短路徑問題的思路獲取和問題解決.難點：選擇合理的方法解決最短路徑問題.七、教學(xué)過程過程教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖回顧復(fù)習(xí)作直線外一點A關(guān)于直線l的對稱點A’請同學(xué)們在練習(xí)紙上畫出點A關(guān)于直線l的對稱點直線l是線段AA’的垂直平分線垂直平分線的性質(zhì)學(xué)生作圖（1人上黑板板演并說明作圖過程）回顧軸對稱的作法以及對稱軸的相關(guān)性質(zhì)，為后面最短路徑問題的思路獲取提供支持引出課題板書課題：§13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題情境導(dǎo)入八年級某班同學(xué)做游戲，在活動區(qū)域l擺放了一排籃球，如圖，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球，才能最快拿到球跑到終點處？同學(xué)們，你知道問題的答案嗎？你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？請同學(xué)們自己選擇想要拾取籃球的點，你在比賽過程的跑動路徑是怎樣的？跑動路程是最短的嗎？你的理由是什么？（1）從A地出發(fā)，到區(qū)域l取籃球，然后到B地；（2）區(qū)域l上取籃球的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到取球地點，再到B地的路程之和；（3）設(shè)C為直線上一動點，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB和最?。?）線段AB（連接AB，交直線l與點D，點D即為拾球的位置，原因“兩點之間,線段最短”.為了落實好兩個核心探究，通過設(shè)置基本問題作為先行組織者，在溫故中實現(xiàn)引新，為展開探究提供知識、方法及經(jīng)驗的支持.知識探究游戲規(guī)則發(fā)生了變化，如圖，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球，才能最快拿到球跑到終點處？問題1:前面我們已經(jīng)解決了A、B兩點在直線兩側(cè)的最短問題，下面請同學(xué)們思考并嘗試，若這兩點居于直線的同側(cè)，該怎樣找到那樣的點P，使得AP與BP的和最??？問題2：若找到了那樣的點，請證明結(jié)論的正確性（化異側(cè)為同側(cè)）先作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接BA′，交l于P，則P點即為所求．證明：如圖，在直線l上取一點P（′異于點P）.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可知AP′=P′A′，AP=PA′.則AP′+P′B=A′P′+P′B＞A′P+PB=AP+PB.由此可知：A到B經(jīng)P點距離最短.設(shè)置問題1增進遷移，實現(xiàn)同側(cè)最值問題向異側(cè)最值問題的轉(zhuǎn)化，問題2通過驗證與證明實現(xiàn)合情推理向邏輯推理的過渡，期間需要幾何畫板的功能支持.學(xué)以致用（將軍飲馬）傳說在古羅馬時代的亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天都從軍營A出發(fā)（如圖），先到河邊l飲馬，然后再去河岸的同側(cè)B開會，他應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？據(jù)說當(dāng)時海倫略加思索就解決了它.同學(xué)們，你知道問題的答案嗎？現(xiàn)如今，將軍遇到了新的問題，你能夠替代海倫幫助將軍解決這個問題嗎？直接回答方法及答案（先作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接BA′，交l于P，則P點即為所求．）通過歷史經(jīng)典“將軍飲馬”問題，鞏固同側(cè)兩點到直線上某點的距離最短問題，鼓舞學(xué)生的斗志，通過替代海倫解決新的問題，激發(fā)學(xué)生研究的興趣，把學(xué)生引領(lǐng)到研究的航道上來.再探究（造橋選址問題）將軍從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后淌水到B地（要求淌水的距離最短）．問到河邊什么地方飲馬并淌水可使他所走的路線全程最短？問題3：本問題又變成了點在直線兩側(cè)的問題，但一條直線拓寬成了一條河，請同學(xué)們思考，要飲馬并淌水過河，飲馬點M應(yīng)選在何處，才能使從A到B的路徑AMNB最短？問題4：如何證明你的結(jié)論？如圖，由于河岸寬度是固定的，淌水的路徑最短要與河岸垂直，因此路徑AMNB中的MN的長度是固定的.因此要使AM+MN+NB的值最小，只需AM+NB的值最小即可.如圖，幾何畫板驗證，然后使用邏輯推理通過設(shè)置問題3、4，在探究1獲得的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，把問題引向深入，使得平移變換自然呈現(xiàn)，進一步體現(xiàn)圖形變換在最短路徑問題中的價值.學(xué)以致用4.如圖，如果A、B兩地之間有兩條平行的河，我們要建的橋都是與河岸垂直的，如何找到這個最短的距離呢？歸納總結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：將軍飲馬類問題解決的基本套路？通過探究2和拓展練習(xí)，我們在造橋選址問題上已經(jīng)獲得了哪些經(jīng)驗？解決路徑最短問題時，我們常用的圖形變換是什么？目的何在？通過軸對稱變換，把兩點在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線兩側(cè)的問題，從而可利用“兩點之間，線段最短”加以解決.對于造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，就是要通過平移變換，使除橋長不變外所得到的其他路徑經(jīng)平移后在一條直線上.通常借助軸對稱變換、平移變換等，把問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的模型去解決．復(fù)習(xí)鞏固、提升總結(jié)本節(jié)課的知識，使學(xué)生學(xué)會總結(jié)反思。拓展提升（1）如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點P是底邊AC上一個動點，M、N分別是A