2023備考-三角函數(shù)專題高頻考點《三角函數(shù)最值問題》

2023備考三角函數(shù)專題高頻考點《三角函數(shù)最值問題》（解析版）求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化，有以下三種方法：圖像法，首先利用三角公式將原函數(shù)化簡整理為y=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后借助題目中給定的x的范圍,確定ωx+φ的范圍,最后利用y=sinx的圖象確定函數(shù)的值域換元法，首先借助三角公式,把函數(shù)化成y=f(sinx)型,然后采用換元法,即令t=sinx∈[1,1],構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù),然后根據(jù)具體的結(jié)構(gòu),采取相應(yīng)的方法求解，常見的二次函數(shù)，求導(dǎo)法等幾何法，需分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,看能否轉(zhuǎn)化為有幾何含義的式子結(jié)構(gòu),有時也可以把函數(shù)圖象畫出來,直接觀察確定函數(shù)的值域1.，設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．2.，引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）.，設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（2）.，設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．3.與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．真題回顧1.（2022·全國·高考真題（理））已知中，點D在邊BC．當(dāng)取得最小值時，________．【答案】或【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.練習(xí)挑戰(zhàn)1.函數(shù)的值域為（）．A．[2,2]B．C．[1,1]D．解析,其值域為．故選．2.函數(shù)的最大值為（）A．7B．C．5D．4分析由，利用誘導(dǎo)公式把轉(zhuǎn)化為，化不同角為相同角，將函數(shù)化為的形式．解析，所以．故選C．3.求函數(shù)的最大值和最小值．分析通過二倍角公式和同角公式將函數(shù)的公式化簡為的形式，換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．解析令，則，因為，所以當(dāng)時，取最大值6，即的最大值為6；當(dāng)時，取最小值，即的最小值為．4.若有實數(shù)解，試確定實數(shù)的取值范圍．解析由得，．當(dāng)時，有最小值為；當(dāng)時，有最大值為．故函數(shù)值域為．即當(dāng)時，方程有實數(shù)解．5.對于函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）．A．有最大值無最小值B．有最小值無最大值C．有最大值且有最小值D．既無最大值又無最小值分析形如的函數(shù)的最值，可考慮用函數(shù)的有界性求解．解析解法一：，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，即只有最小值無最大值．故選B解法二：，得，解得，所以只有最小值無最大值．故選B6.若，則函數(shù)的最大值為_______．解析由題意知，令，由知，即，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”）．故函數(shù)的最大值為．7.已知函數(shù)，其中，若在上恒成立，則的最大值為（