專題07巧妙借助復數(shù)的幾何意義求與模有關的范圍與最值問題

專題07巧妙借助復數(shù)的幾何意義求與模有關的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：單模長最值問題題型二：多模長之和差最值問題題型三：模長的范圍問題【典型例題】題型一：單模長最值問題例1．（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學?？茧A段練習）已知復數(shù)為虛數(shù)單位）滿足，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解析】因為，所以復數(shù)對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以.故選：A例2．（2023·全國·高一專題練習）已知復數(shù)z滿足：，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由復數(shù)模的幾何意義知滿足的對應的點在以點和為端點的線段的中垂線，的中點為，的最小值就是原點到直線的距離即為，故選：B．例3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？寄M預測）若，則的最大值與最小值的和為___________.【答案】【解析】由幾何意義可得：復數(shù)表示以（）為圓心的半徑為1的圓，則.故答案為：變式1．（2023春·上海閔行·高一上海市七寶中學校考期末）在中，，為的中點，過點的直線分別交直線、于不同的兩點、．設，，復數(shù)，則取到的最小值為__．【答案】【解析】在中，因為，所以.又，，所以.因為E為的中點，所以.因為M、E、N三點共線，所以，即，復數(shù)，所以，令，故當，取最小值.故答案為：變式2．（2023·高一課時練習）已知復數(shù)和，i為虛數(shù)單位，求的最大值和最小值．【解析】復數(shù)和，則由，可得則的最大值，最小值題型二：多模長之和差最值問題例4．著名的費馬問題是法國數(shù)學家皮埃爾·德費馬（16011665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120°時，則使得的點即為費馬點．根據(jù)以上材料，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則表示點到三頂點、、的距離之和.依題意結合對稱性可知的費馬點位于虛軸的負半軸上，且，則.此時.故選：B.例5．（2023·高一課時練習）已知復數(shù)滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】復數(shù)滿足，表示以原點為圓心，以3為半徑的圓，則的表示圓上的點到和的距離，由圖象可知，當點在處最小，最小為:，當點在處最大，最大為，則的取值范圍是，故答案為：例6．（2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)滿足，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由于復數(shù)滿足，故復數(shù)對應的點在圓心為原點，半徑為的圓上，設圓上任意一點的坐標為.表示圓上的點到和兩點距離之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案為：.變式3．（2023春·遼寧沈陽·高一東北育才學校?？迹┮阎獜蛿?shù)滿足，求的最小值______．【答案】10【解析】復數(shù)，由，即，于是得，整理得，，即，表示點與點、距離的和，顯然點P在x軸上，而線段AB與x軸相交，因此，，當且僅當點P為線段AB與x軸的交點時取“=”，所以的最小值是10.故答案為：10題型三：模長的范圍問題例7．（2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)z滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由，則z在復平面內(nèi)對應的點Z是以為圓心，2為半徑的圓上及圓內(nèi)，所以表示Z到的距離，故其范圍為.故答案為：.例8．（2023·全國·高一假期作業(yè)）設復數(shù)z滿足，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】設復數(shù)z在復平面上的對應點為，復數(shù)的在復平面上的對應點為，由，可知點的軌跡為以，為端點的一條線段，又表示點到點的距離，觀察圖象可知當時，取最小值，最小值為1，當時，取最大值，最大值為，所以取值范圍為.故答案為：.例9．（2023春·全國·高一期末）已知復數(shù)z滿足，那么的取值范圍為_________.【答案】【解析】設，由可得即，表示點到點，的距離之和為2.又點，之間的距離為2，所以表示z對應的點的軌跡是以，為端點的線段表示z對應的點與的距離，如圖在z取時有最小值3，z取或時有最大值，故取值范圍為.故答案為：變式4．（2023·全國·高一專題練習）若，則取值范圍是___．【答案】【解析】由題意設(),則其幾何意義為平面內(nèi)一動點到兩定點，距離之差，由圖可知，當，，三點共線時，距離之差最大，當時，最小，則．的取值范圍是．故答案為：．變式5．（2023·山西晉中·高二榆次一中校考開學考試）已知z為復數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的軌跡是以原點O為圓心，以1為半徑的圓，表示復平面內(nèi)的點與點之間的距離.因為點與原點O的距離，所以的最小值是，最大值是，故的取值范圍是.故選:C.法二：因為復數(shù)z滿足，不妨設，,則.因為，所以，所以的取值范圍是.故選:C.【同步練習】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）設復數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由可知，復數(shù)對應的點的軌跡是圓心為，半徑為的圓，表示復數(shù)對應的點與原點之間的距離，因為，所以，即.故選：B2．（2023春·廣東潮州·高一潮州市松昌中學?？计谥校┮阎?，（i為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示以為圓心，為半徑的圓，則圓心C到點的距離＝，則的最大值為.故選：A3．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習）下列關于復數(shù)z的命題中真命題為（）A．若，則 B．若，則C．若，則的最大值為2 D．若，則【答案】C【解析】A：由得或，錯誤．B：由得：，錯誤；C：當|z+i|＝1時，復數(shù)z對應的點在以(0，1)為圓心，1為半徑的圓上，故|z|的最大值為2，正確；D：當，時，，錯誤．故選：C二、多選題4．（2023·全國·高三專題練習）設復數(shù)z滿足，令，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】AD【解析】根據(jù)題意，有，且，于是為以點為圓心，1為半徑的圓上的點到點的距離，其取值范圍是，因此的最小值為，最大值為．故選：AD.5．（2023春·江西宜春·高一?？计谀┰O，是虛數(shù)單位，復數(shù).則下列說法正確的是（

）A．若為實數(shù)，則B．若為純虛數(shù)，則C．當時，在復平面內(nèi)對應的點為D．的最小值為【答案】ABD【解析】若為實數(shù)，則虛部為0，即，故正確；若為純虛數(shù)，則實部為0，即，故正確；當時，，則在復平面內(nèi)對應的點為，故錯誤；（當且僅當時取等號），故正確，故選:.6．（2023春·河北保定·高一統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．若、互為共軛復數(shù)，則為實數(shù)B．若為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C．已知是關于的方程的一個根，則D．復數(shù)滿足，則的最大值為【答案】ACD【解析】對于A選項，設，則，所以，為實數(shù)，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，實系數(shù)的一元二次方程虛根成對（互為共軛復數(shù)），所以為方程的兩根，則，所以，，解得，所以，，C對；對于D選項，利用復數(shù)模的三角不等式可得，當且僅當時，等號成立，D對.故選：ACD.三、填空題7．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學?？茧A段練習）已知，、，是虛數(shù)單位.若復數(shù)是實數(shù)，則的最小值為______.【答案】【解析】復數(shù)是實數(shù)，所以，得.所以，當且僅當，取等號，所以的最小值為.故答案為：8．（2023·全國·高一專題練習）下面給出的幾個關于復數(shù)的命題，①若是純虛數(shù)，則實數(shù)②復數(shù)是純虛數(shù)③復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限④如果復數(shù)滿足，則的最小值是2以上命題中，正確命題的序號是______.【答案】②③【解析】對于①，因為為純虛數(shù)，所以，解得，故①錯誤；對于②，因為，所以，所以是純虛數(shù)，故②正確；對于③，因為，，所以在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，故③正確；對于④，由復數(shù)的幾何意義知，表示復數(shù)z對應的點Z到點和到點的距離之和，又因為，所以復數(shù)z對應的點Z在線段AB上，而表示點Z到點的距離，所以其最小值為，故④錯誤．故答案為：②③．9．（2023·全國·高三專題練習）已知z是虛數(shù)，是實數(shù)，是虛數(shù)z的共軛復數(shù)，則的最小值是__________．【答案】.【解析】設，，且，則，因為是實數(shù)，所以，因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，所以，因為，所以，，則，當時，取到最值.故答案為：．10．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習）已知z是虛數(shù)是實數(shù)，是虛數(shù)z的共軛復數(shù)，則的最小值是__________．【答案】【解析】設（a，，且），則．因為是實數(shù)，所以，即．因為，所以，所以，則．因為，所以，所以，所以，因為，所以，解得，則．故答案為：11．（2023春·廣東·高一校聯(lián)考期末）若復數(shù)z滿足，則的最小值為________．【答案】1【解析】設，由可得，軌跡是以原點為圓心以2為半徑的圓，根據(jù)復數(shù)幾何意義知，表示復平面內(nèi)到的距離，則最小值為，故答案為：112．（2023春·遼寧沈陽·高一東北育才學校?？茧A段練習）復數(shù)，，則的最大值是__________.【答案】【解析】由題意可得，由三角不等式可得.當且僅當時，等號成立，故的最大值為.故答案為：.13．（2023·全國·高一專題練習）在復平面中，已知點，復數(shù)對應的點分別為，且滿足，則的最大值為___________.【答案】【解析】因為復數(shù)對應的點為且則可確定點在以O為圓心，2為半徑的圓上又，所以為圓的直徑，即關于原點對稱所以因為所以又，，則所以即的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.14．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）如果復數(shù)滿足，那么的最大值是_____.【答案】5【解析】設，，則，變形為，兩邊平方后得到，兩邊平方后得到，將代入，即，故，則，當時，取得最大值，最大值為5故答案為：515．（2023秋·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學校考期中）如果復數(shù)滿足，則的最大值是___________.【答案】【解析】設，則因為，所以，即.令，則，當，即時，取得最大值為，即，所以的最大值是.故答案為：16．（2023·高一課時練習）若為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的最大值為_______.【答案】【解析】復數(shù)滿足，即即復數(shù)對應的點到點的距離滿足設，表示復數(shù)對應的點到點的距離數(shù)形結合可知的最大值故答案為：17．（2023春·全國·高一專題練習）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位）滿足，則實數(shù)a的取值范圍為____．【答案】【解析】，，，，即，解得，故實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．四、解答題18．（2023秋·山東日照·高二日照一中?？茧A段練習）設是實數(shù)，復數(shù)，（是虛數(shù)單位）．(1)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，求的取值范圍；(2)求的最小值．【解析】（1），則，解得；（2），則，，，當時，的最小值為．19．（2023春·山西忻州·高一校聯(lián)考期末）已知復數(shù)，，，，，(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求|的最小值.【解析】(1)∵∴是實數(shù)，∴，即∴∵，∴，即，的實部的取值范圍為；(2)，∵∴∵，∴∴當時，即時，取到最小值,由于，故的最小值為20．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，，在復平面坐標系中，為虛數(shù)單位，復數(shù)對應的點為．(1)求；(2)若復數(shù)z滿足（為的共軛復數(shù)），且復數(shù)z對應的點為Z，求點Z與點之間的最小距離．【解析】（1）因為，，，所以，所以，所以，所以；（2）由（1）可得，，曲線，即，因此曲線是復平面內(nèi)以圓心，半徑為1的圓，如圖，故與之間的距離為，所以與之間的最小距離為，21．（2023春·山東淄博·高一統(tǒng)考期中）（1）已知關于的實系數(shù)方程，若是方程的一個復數(shù)根，求出，的值；（2）復數(shù)的最大