通關(guān)練17解三角形與平面向量結(jié)合問題-2022-2023學年高一數(shù)學題型歸納與解題策略(人教A版2019)

通關(guān)練17解三角形與平面向量結(jié)合問題eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．（2022春·湖北荊州·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知等腰中，，，點是邊上的動點，則（

）A．為定值10 B．為定值6C．最大值為18 D．與P的位置有關(guān)【答案】A【解析】設，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量的加法的幾何意義、余弦定理、平面向量的數(shù)量積的定義進行求解即可.【詳解】設.，因為，，所以.故選：A【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的定義，考查了平面向量的加法的幾何意義，考查了數(shù)學運算能力.2．（2019春·四川綿陽·高一綿陽中學?？茧A段練習）在中，所對的邊分別為，，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】通過向量的數(shù)量積、余弦定理和正弦定理轉(zhuǎn)化求解該三角形的外接圓的半徑，再由計算即可．【詳解】因為，所以，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，.故選：A.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，考查解三角形的相關(guān)知識，考查運算能力，屬于常考題.3．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知內(nèi)角A?B?C所對的邊分別為a?b?c面積為S，若，，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)求出角B，再由向量數(shù)量積定義和三角形面積公式求出角A，即可判斷形狀.【詳解】由題設及正弦定理邊角關(guān)系有，而且，所以，又，可得，所以，故，而，又，所以，故，，可得，綜上，為正三角形.故選：C4．（2022春·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，，則邊上的中線長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得到，進而求得，得到，由余弦定理得到，再結(jié)合為邊上的中線，得到，利用基本不等式求得，進而得到長度的最小值．【詳解】因為，由正弦定理得，又因為，所以，所以，因為，所以，又因為，所以，由余弦定理可得，則①，因為為邊上的中線，可得，所以②，由①得③，代入②得④，由③得，解得，當且僅當時，等號成立，代入④可得，故，即長度的最小值為．故選：A.5．（2022春·福建福州·高一福建省福州高級中學校考期末）在中，角A，B，C對應邊分別為a，b，c，已知三個向量，，共線，則形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共線的坐標運算可得，利用正弦定理化邊為角，再展開二倍角公式整理可得，結(jié)合角的范圍求得，同理可得，則答案可求．【詳解】解：向量，共線，．由正弦定理得：．．，所以則．，即．同理由，共線，可得．形狀為等邊三角形．故選：A．6．（2021春·安徽合肥·高一合肥一中?？计谥校┑膬?nèi)角所對的邊分別為．已知．且，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出得范圍，由余弦定理以及數(shù)量積的定義將用表示即可求解.【詳解】因為，所以，所以的內(nèi)角所對的邊分別為．可得即所以，所以，因為，所以，故選：A.7．（2022春·黑龍江佳木斯·高一建三江分局第一中學校考期中）在中，，則（

）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．【答案】D【分析】利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.【詳解】由題意，在中，，利用向量的數(shù)量積的定義可知，即即，即，設，解得，所以，所以由正弦定理可得.故選:D.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，以及兩個向量的數(shù)量積的定義的應用，其中利用向量的數(shù)量積的定義和正弦、余弦定理求解的比值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力.8．（2022春·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）在中，O為的外心，，若，x，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積公式計算，,得到關(guān)于x和y的方程組，即可得解.【詳解】因為，所以．，，由，得，所以，整理得①．又，所以，所以，整理得②．①②聯(lián)立可得，，故．故選：B9．（2021春·高一課時練習）在中，，，，則與的夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)兩向量夾角定義求解即可.【詳解】在中，由余弦定理可得，，又∵與的夾角為的補角，即∴.故選：C.10．（2021春·四川遂寧·高一射洪中學?？计谥校┲薪菍?，若且，點滿足，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，取E為BC的中點，由得到，即O為在OE上，延長AE至F，使，連BF，CF，則四邊形ABFC為平行四邊形，在中用余弦定理解得AE，在中用面積公式求得面積，再乘以2即得的面積．【詳解】如圖所示，∵，所以，取E為BC的中點，則，即O為在OE上，延長AE至F，使，連BF，CF，則四邊形ABFC為平行四邊形.，即，即，，即，又因為，所以，∴，，設，則，在中，由余弦定理得，即，解得，即.又，∴.故選：D.11．（2022春·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）在三角形ABC中，已知，，D是BC的中點，三角形ABC的面積為6，則AD的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，從而得，，所以，再利用余弦的二倍角公式可求出，由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再由三角形ABC的面積為6，可求出，然后在中利用余弦定理可求得答案【詳解】如圖，設的內(nèi)角的對邊分別為，因為，所以，即，所以,所以，即，因為，所以，所以因為，所以，因為，所以,因為，所以,因為三角形ABC的面積為6，所以，得，因為，所以，因為D是BC的中點，所以,在中，由余弦定理得，因為，所以，故選：A二、多選題12．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？茧A段練習）在中角所對的邊分別為，能確定為銳角的有（

）A．B．C．均為銳角，且D．【答案】ACD【分析】選項A由余弦定理可判斷；選項B由向量的數(shù)量積定義可判斷；選項C由誘導公式有，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；選項D由正弦定理可得則由大邊對大角可判斷.【詳解】對于為銳角，故正確；對于為鈍角，故錯誤對于均為銳角；且因為可得則為銳角，故正確.對于由正弦定理得則為銳角，故正確.故選：ACD13．（2021春·遼寧鐵嶺·高一鐵嶺市清河高級中學校聯(lián)考期末）在中，角，，的對邊分別為，，，向量，，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對A，利用，即可列式求解；對B，D根據(jù)正弦定理將邊化角即可求解；對C，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解.【詳解】解：對A，，且，，即，又，，故A正確；對B，D，，由正弦定理得：，即，即，又，故，即，故B錯誤，D正確；對C，，故C正確.故選：ACD.14．（2022·高一單元測試）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，若邊BC的中線，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．△ABC的面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合平面向量加法的幾何意義、平面向量數(shù)量積的定義、三角形面積公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理，由，因為，所以，因此，因為，所以，因此選項A正確，選項B不正確；因為是中線，所以由，或舍去，因此，所以選項C正確；△ABC的面積為，所以選項D正確，故選：ACD15．（2022春·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學?？茧A段練習）三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（

）A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)余弦定理、正弦定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義逐一判斷即可.【詳解】A：因為a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，由，所以是鈍角三角形，因此本選項正確；B：由，不能判斷是鈍角三角形，所以本選項不正確；C：根據(jù)正弦定理，由，由余弦定理可知：，所以是鈍角三角形，因此本選項正確；D：根據(jù)正弦定理，由，所以是直角三角形，不符合題意，故選：AC16．（2022春·福建三明·高一三明一中校考期中）已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列說法正確的是(

)A．若，則是銳角三角形B．若，則C．若，則是鈍角三角形D．若，則有兩解【答案】ABD【分析】A：根據(jù)正弦定理求出邊長之比，根據(jù)余弦定理判斷最大角的大小即可判斷三角形得形狀；B：根據(jù)正弦定理角化邊和三角形大邊對大角的性質(zhì)即可判斷；C：根據(jù)向量數(shù)量積的定義即可判斷C的大小，從而做出判斷；D：判斷a與bsin30°、b的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可判斷三角形解的個數(shù)．【詳解】對于A，根據(jù)正弦定理知，則C為△ABC的最大角，設，則，故C為銳角，故△ABC為銳角三角形，故A正確；對于B，若sinA>sinB，根據(jù)正弦定理知a>b，根據(jù)三角形大邊對大角的性質(zhì)知A>B，故B正確；對于C，C為銳角，故不能判斷△ABC的形狀，故C錯誤；對于D，如圖，CD=bsin30°=2，∵CD<a=3<AC，故以C為圓心，a=3為半徑畫圓弧，和AD邊有兩個交點，交點即為B，故三角形有兩解，故D正確．故選：ABD．17．（2022春·浙江湖州·高一湖州中學?？茧A段練習）設的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，，則B．若，則C．若，，則符合條件的有兩個D．若，則為等腰三角形或直角三角形【答案】BCD【分析】對于A，由余弦定理與數(shù)量積的定義計算，對于B，由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷，對于C，由正弦定理判斷三角形解的個數(shù)，對于D，由正弦定理與二倍角公式化簡后判斷．【詳解】對于A，，而，故A錯誤，對于B，若，則，故，B正確，對于C，由正弦定理得，故，故A有兩解，符合條件的有兩個，C正確對于D，若，則，即，得或，故或，為等腰三角形或直角三角形，D正確故選：BCD三、填空題18．（2023·全國·高一專題練習）在中，角，，所對的邊為，，，且，，，則的值等于__________．【答案】【分析】利用數(shù)量積的定義和余弦定理結(jié)合已知條件可求得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，故答案為：.19．（2021春·福建泉州·高一?？茧A段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，若，則的最大值為_____．【答案】【分析】由可得，然后，然后，即可得到答案.【詳解】△ABC中，，所以；所以，當且僅當即時等號成立，因為所以當時取得最大值，故答案為：．【點睛】本題考查的是正余弦定理、三角形的面積公式、平面向量的數(shù)量積的定義及利用基本不等式求最值，考查了學生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.20．（2018春·江蘇南通·高一江蘇省如東高級中學階段練習）在中，已知，則的最小值是________．【答案】【詳解】分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：，然后再結(jié)合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當a=b時取到等號，故cosC的最小值為.點睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.21．（2022春·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）的外接圓半徑為1，角的對邊分別為若，且，則________；的最大值為_________【答案】

【分析】由余弦定理求得，由向量數(shù)量積可得為銳角，再由正弦定理結(jié)合外接圓半徑可求得，用正弦定理把表示為的三角函數(shù)，利用兩角和與差的正弦公式變形化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】,又，所以，，所以是鈍角，所以，由得，，，設，（為銳角），則，由得，，為銳角，則，所以時，取得最大值．故答案為：；．22．（2021春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知外接圓的圓心為，其面積(，，為的三邊長)，，則外接圓的半徑為___________；的值為___________.【答案】

3

【分析】先根據(jù)面積計算外接圓半徑，設的中點為，結(jié)合向量關(guān)系得到A，，三點共線，即，，再計算中三邊長度，利用余弦定理即求得.【詳解】因為，∴，即.設的中點為，根據(jù)題意可得，∴A，，三點共線，如圖所示，可知，，且，，即，根據(jù)勾股定理可得，，∴，中，根據(jù)余弦定理可得.故答案為：3；.四、解答題23．（2021春·浙江·高一期末）已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，且，，___________，求的周長.從下列三個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線中，然后對題目進行求解.條件①：；條件②：，條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】條件選擇見解析；的周長為.【分析】由題設條件，求出角C，選條件①：由向量數(shù)量積求出角A，由正弦定理求解即得；選條件②：由三角形面積公式求出邊b，再由余弦定理求解即得；選條件③：由正弦定理邊化角，再用余弦定理求解.【詳解】由，得，即，所以，因為，所以.選擇條件①：由，得，所以，因為，所以，所以，所以，，所以的周長為；選擇條件②：由，得，所以，由余弦定理，得，所以，即，解得，所以的周長為；選擇條件③：由及正弦定理得：，所以，所以，即，由余弦定理，得，所以，所以，，所以的周長為.24．（2021春·浙江·高一期末）在中，，，分別是角，，的對邊，且，，．（1）求的大小；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由向量垂直可得，從而可求得答案.（2）由正弦定理結(jié)合條件可得，再由余弦定理可得出，從而可得面積.【詳解】（1）由，則，即，，又，（2），，，即．又，即，所以，25．（2023·高一單元測試）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且向量與向量共線.(1)求；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量共線列出等式，用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求得角；（2）由面積公式解出的值，再由余弦定理解得的值.【詳解】（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.26．（2022春·甘肅武威·高一統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，向量，，且．(1)求角；(2)若，的面積為，求、．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量共線的坐標表示以及正弦定理化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得出關(guān)于、的方程組，即可解得、的值.【詳解】（1）解：因為，則，由正弦定理可得，、，，，，故.（2）解：由余弦定理可得，即，①由三角形的面積公式可得，可得，②聯(lián)立①②可得.27．（2022春·福建寧德·高一校聯(lián)考期中）如圖，在凸四邊形中，，，的面積．(1)求線段的長度；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)14【分析】（1）在中，使用面積公式求得，再運用余弦定理可得；（2）由向量線性運算可得：，根據(jù)數(shù)量積運算律展開并代入相關(guān)數(shù)據(jù)運算．【詳解】（1）因為，則，解得∵,則∴．在中，．則（2）因為，所以，∵∴28．（2020春·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？茧A段練習）在中，角的對邊分別是，滿足（1）求角B的大小（2），求的面積【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積定義，結(jié)合正弦定理將邊化為角，即可求得B的大小.（2）由平面向量的線性運算化簡，結(jié)合余弦定理即可求得的值，進而由三角形面積公式求得的面積.【詳解】（1），由平面向量數(shù)量積定義可得，，，，，，（2）由余弦定理變形可得，，【點睛】本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的應用，平面向量數(shù)量積的應用，三角形面積求法，屬于基礎題.29．（2022春·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）在中，內(nèi)角所對的邊為，若向量，向量，且，(1)求(2)若邊，求的周長【答案】(1)3或(2)或【分析】（1）由已知條件分類討論即可求得的值；（2）分類討論求得的值，即可求得的周長.(1)則，即當時，，則當時，，即，則(2)①當時，由，可得，則的周長為；②當，時，由，可得，整理得，則，則的周長為.30．（2021春·吉林延邊·高一延邊二中?？计谥校┰谥校?，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求角的大小.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理求得角；（2）由三角形面積公式得，再由數(shù)量積的定義求得數(shù)量積．【詳解】（1）∵，∴由正弦定理：，∴，.由余弦定理：∴.∵，∴.（2）由，，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦定理和余弦定理，三角形面積公式，解三角形時，邊角出現(xiàn)在一個等式中，常常利用正弦定理進行邊角互化，化角后應用三角性等變換公式化簡，化邊后，一種利用代數(shù)式的運算進行變形，一種利用余弦定理求角．31．（2022春·海南省直轄縣級單位·高一嘉積中學?？计谀┮阎?，，與的夾角為，函數(shù).(1)求函數(shù)最小正周期；(2)若銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用向量夾角公式求的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式求其周期；(2)由結(jié)合(1)可求，根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)的范圍，正弦函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.(1)由條件可知：，，∴，∴的最小正周期為(2)由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，解得，，又，可得，∵，∴，代入上式化簡得：，又在銳角中，有，∴，∴，則有，∴.32．（2017春·陜西西安·高一西安中學校考期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，．(1)求的面積．(2)若，求的值．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)同角平方關(guān)系式，由余弦求得正弦，結(jié)合數(shù)量積的定義式，求得鄰邊的乘積，利用三角形面積公式，可得答案；（2）利用余弦定理能求出a的值.【詳解】（1）∵在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，∴，，∵，∴，∴的面積為：．（2）由（1）知，，∴．33．（2022春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）銳角的三個內(nèi)角是，滿足．(1)求角的大小及角的取值范圍；(2)若的外接圓的圓心為，且，求的取值范圍．【答案】(1)，角的取值范圍為；(2)【分析】(1)利用正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理和同角關(guān)系求角的大小，再由條件求角的取值范圍；(2)【詳解】（1）設的外接圓的半徑為，因為，由正弦定理可得，，，所以，又，所以，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以角的取值范圍為；（2）由已知為的外接圓的圓心，所以，因為，所以，又，所以，所以，所以，設，則，又，所以所以因為，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.34．（2022秋·遼寧大連·高一莊河高中?？茧A段練習）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求的面積．問題：已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，_________？【答案】條件選擇見解析，.【分析】選①：結(jié)合正弦求出邊，利用余弦定理求出角，結(jié)合三角形的面積公式即可求出結(jié)果；選②：合正弦求出邊，利用平面向量數(shù)量積的定義求出角，結(jié)合三角形的面積公式即可求出結(jié)果；選③：合正弦求出邊，利用二倍角公式以及降冪公式得到關(guān)于