湖南省益陽市沅江市兩校聯(lián)考2024-2025學年高一上學期11月期中考試數(shù)學試題 含解析

沅江市兩校聯(lián)考2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試題（考試范圍：必修1第一章～第四章）時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題1.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題易求.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知，“，”的否定是，.故選：B2.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域求集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求集合B，然后利用集合的交集運算和補集運算求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，所以，又，所以，所以.故選：C3.三個數(shù)的大小順序是A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意得，，故選D.4.若函數(shù)是上的單調函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)在上單調遞減，建立不等關系解出即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調，由在上不可能單調遞增，則函數(shù)在上不可能單調遞增，故在R上單調遞減，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D.5.“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的充分必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，內層函數(shù)在上單調遞減去，且對任意的，恒成立，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設，因為外層函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，內層函數(shù)在上單調遞減，則，且對任意的，恒成立，即恒成立，則，所以，故選：C.6.如圖，點為坐標原點，點，若函數(shù)及的圖象與線段分別交于點，，且，恰好是線段的兩個三等分點，則，滿足．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由恰好是線段的兩個三等分點，求得的坐標，分別代入指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的解析式，求得的值，即可求解.【詳解】由題意知，且恰好是線段的兩個三等分點，所以，，把代入函數(shù)，即，解得，把代入函數(shù)，即，即得，所以.故選A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用，其中解答熟練應用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的解析式求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7.已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可得出、的方程組，解出函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調性，結合可得出關于的不等式，即可得出原不等式解集.【詳解】因為①，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則，即②，由①②可得，因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由，可得，解得.因此，不等式的解集是.故選：A.8.函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若對任意正數(shù)、都有，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出定點的坐標，可得出，然后將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】對于函數(shù)（且），令，可得，且，所以，，即，，對任意的正數(shù)、都有，即，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，的最小值是.故選：D.二、選擇題9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)性質可判斷A；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)的單調性可判斷B；根據(jù)函數(shù)奇偶性定義及復合函數(shù)的單調性法則可判斷C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義可判斷D.【詳解】對于A，的定義域為關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，不符合題意；對于B，設，定義域為R，滿足，即為偶函數(shù)；當時，為減函數(shù)，符合題意；對于C，的定義域為關于原點對稱，且，所以為偶函數(shù)；當時，為減函數(shù)，為增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調性法則知，在區(qū)間上是減函數(shù)，符合題意；對于D，的定義域為關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，不符合題意.故選：BC10.下列敘述正確的是（）A.當時，B.當時，的最小值是5C.函數(shù)的最大值是0D.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求最值判斷ABC，利用單調性的定義和性質求解參數(shù)范圍判斷D.【詳解】對于A，當時，，當且僅當，即時，等號成立，正確；對于B，因為，則，所以，當且僅當即時，等號成立，但是，所以等號取不到，即，錯誤；對于C，當時，，當且僅當，即時，等號成立，正確；對于D，當時，函數(shù)在單調遞增，函數(shù)在上單調遞增，由單調性的性質知，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，任取，，當時，，則有，當時，，則有，所以函數(shù)單調遞減，單調遞增，所以要使函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則，所以.綜上，，正確.故選：ACD11.德國著名數(shù)學家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在數(shù)學領域成就顯著.19世紀，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集．則關于函數(shù)有如下四個命題，正確的為（）A.對任意，都有B.對任意，都存在，C.若，，則有D.存在三個點，，，使為等腰直角三角形【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項判斷即可．【詳解】解：對于A選項，當，則，此時，故A選項錯誤；對于B選項，當任意時，存在，則，故；當任意時，存在，則，故，故對任意，都存在，成立，故B選項正確；對于C選項，根據(jù)題意得函數(shù)的值域為，當，時，，故C選項正確；對于D選項，要為等腰直角三角形，只可能為如下四種情況：①直角頂點在上，斜邊在軸上，此時點，點的橫坐標為無理數(shù)，則中點的橫坐標仍然為無理數(shù)，那么點的橫坐標也為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立；②直角頂點在上，斜邊不在軸上，此時點的橫坐標為無理數(shù)，則點的橫坐標也應為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立；③直角頂點在軸上，斜邊在上，此時點，點的橫坐標為有理數(shù)，則中點的橫坐標仍然為有理數(shù)，那么點的橫坐標也應為有理數(shù)，這與點的縱坐標為0矛盾，故不成立；④直角頂點在軸上，斜邊不在上，此時點的橫坐標為無理數(shù)，則點的橫坐標也應為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立．綜上，不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D錯誤．故選：BC.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，考查數(shù)學推理與運算等核心素養(yǎng)，是難題.本題D選項解題的關鍵是根據(jù)題意分直角頂點在上，斜邊在軸上；直角頂點在上，斜邊不在軸上；直角頂點在軸上，斜邊在上；直角頂點在軸上，斜邊不在上四種情況討論求解.12.已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當時，，③，則以下說法中正確的是（）A.B.C.在上的最大值是10D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】依題意令，求出，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調性即可判斷C；依題意原不等式等價于，再根據(jù)函數(shù)的單調性轉化為自變量的不等式，即可判斷D.【詳解】因為，則有，令，則，則，故A正確；令，則，令代，則，即，即，故B錯誤；設且，則，由，令，則，即，令，，則，即，因為時，，又，故，所以，所以，即在上單調遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；由，即，即，即，又因為，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確；故選：ACD.三、填空題13.計算：______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質和對數(shù)的運算性質求解即可.【詳解】.故答案為：.14.已知函數(shù)f(x)＝，若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－3，＋∞)【解析】【分析】因為x∈[1，＋∞)，所以f(x)>0恒成立等價于x2＋2x＋a>0，令g(x)＝-x2-2x，利用分離參數(shù)法求g(x)的最大值可得.【詳解】對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立；等價于x2＋2x＋a>0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－(x＋1)2＋1，則g(x)在[1，＋∞)上單調遞減，所以g(x)max＝g（1）＝－3，所以a>－3.【點晴】（1）恒成立等價于；（2）恒成立等價于；（3）能成立等價于；（4）能成立等價于.15.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，若對任意的，且，都有成立，則不等式的解集為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性及單調性定義探討，再分段求解不等式.【詳解】令函數(shù)，，由是奇函數(shù)，得，函數(shù)為偶函數(shù)，對，且，都有成立，則對，且，成立，因此函數(shù)在上單調遞減，則在上單調遞增，由，得，不等式，則x<0g(x)>0=g(?2)或x>0g(x)<0=g(2)解得或，所以不等式的解集為.故答案為：16.已知函數(shù)，若關于x的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】數(shù)形結合，結合函數(shù)圖像即可得出結論.【詳解】函數(shù)的圖象,如圖所示,關于的不等式，當時,,由于關于的不等式恰有1個整數(shù)解,因此其整數(shù)解為3,又,所以,則,所以實數(shù)的最大值為8,故答案為：8.四、解答題17.已知函數(shù)，其中，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知方程的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）分、、三種情況解方程，即可得出原方程解集.【小問1詳解】解：因為，則，所以，，解得，，可得，故.【小問2詳解】解：因為.當時，由，可得，舍去；當時，由，可得；當時，由，可得.綜上所述，方程的解集為.18.已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性并證明；（2）解不等式.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可；（2）由已知可得出且，可得出且，結合指數(shù)函數(shù)的單調性可得出的取值范圍，即可得解.【小問1詳解】解：函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：對任意的，，故函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù).【小問2詳解】解：由，可得且，即且，可得且，解得或，因此，不等式的解集為.19.已知函數(shù)，.（1）當時，解不等式；（2）若，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或x≥4（2）【解析】【分析】（1）當時，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集；（2）由參變量分離法可知，，使得，令，可得出，利用單調性求出函數(shù)上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當時，，由可得，解得或，故當時，不等式的解集為或x≥4.【小問2詳解】解：因為，使得，因為，則，令，則，則，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故.20.已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若，時，有.（1）判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結論；（2）若對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）是增函數(shù)，證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可證明f（x）在[﹣1，1]上是的增函數(shù)；（2）利用函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系將不等式≤m2﹣5mt-5進行轉化，結合二次函數(shù)性質即可求實數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)在[－1，1]上是增函數(shù).設∵是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，∴.又，∴，由題設有，即，所以函數(shù)在[－1，1]上是增函數(shù).（2）由（1）知，∴對任意恒成立，只需對]恒成立，即對恒成立，設，則，解得或，∴的取值范圍是．【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，將不等式轉化為函數(shù)問題是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．21.某公司研發(fā)了一款新型的洗衣液，其具有“強力去漬、快速去污”的效果.研發(fā)人員通過多次試驗發(fā)現(xiàn)每投放克洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（分鐘）變化的函數(shù)關系式近似為，其中，且當水中洗衣液的濃度不低于16克/升時，才能夠起到有效去污的作用.若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和.（1）若一次投放4克的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？（2）如果第一次投放4克洗衣液，4分鐘后再投放4克洗衣液，寫出第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度（克/升）與時間（分鐘）的函數(shù)關系式，其中表示第一次投放的時長，并判斷接下來的4分鐘是否能夠持續(xù)有效去污.【答案】（1）4（2），能夠持續(xù)有效去污【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，分類討論，列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得當時，，當時，，結合基本不等式求得最小值，即可求解.【小問1詳解】因為，所以，當時，由，解得；當時，由，解得；綜上可得，所以一次投放4克的洗衣液，則有效去污時間可達4分鐘.【小問2詳解】由（1）知，當時，可得，當時，可得，綜上所述，當時，，當且僅當即時，等號成立，因為，所以接下來的4分鐘能夠持續(xù)有效去污.22.我們知道，函數(shù)的圖象關于軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).（1）已知函數(shù)，求該函數(shù)圖象的對稱軸方程；（2）若函數(shù)的圖象關于直線對稱，且當時，.①求的解析式