新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第35講 數(shù)列的求和（原卷版）

第35講數(shù)列求和【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和首項(xiàng)為SKIPIF1<0，末項(xiàng)為SKIPIF1<0，項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和公式：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是關(guān)于n的二次函數(shù)，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的圖象上一系列孤立的點(diǎn)；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是關(guān)于n的一次函數(shù)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或常函數(shù)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上一系列孤立的點(diǎn)．我們可以借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)問題．2．用前n項(xiàng)和公式法判定等差數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系給出了一種判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法：若數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，那么當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0不是等差數(shù)列．3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)由等差數(shù)列的定義可得公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0具有如下性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．特別地，①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．③有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，都等于首末兩項(xiàng)的和，即SKIPIF1<0（3）下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)SKIPIF1<0組成以md為公差的等差數(shù)列．（4）數(shù)列SKIPIF1<0是常數(shù)SKIPIF1<0是公差為td的等差數(shù)列．（5）若數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0是常數(shù)SKIPIF1<0仍為等差數(shù)列．（6）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．4．與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式易得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和具有如下性質(zhì)：設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0（公差為d）和SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，（1）數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0構(gòu)成公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．（3）若數(shù)列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0項(xiàng)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4）若數(shù)列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0項(xiàng)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（5）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和的公式為SKIPIF1<0（1）當(dāng)公比SKIPIF1<0時(shí)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是關(guān)于n的正比例函數(shù)，則數(shù)列SKIPIF1<0的圖象是正比例函數(shù)SKIPIF1<0圖象上的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)公比SKIPIF1<0時(shí)，等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則上式可寫成SKIPIF1<0的形式，則數(shù)列SKIPIF1<0的圖象是函數(shù)SKIPIF1<0圖象上的一群孤立的點(diǎn)．由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0是一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與一個(gè)常數(shù)的和，且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)．6、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則有如下性質(zhì)：（1）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．推廣：SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0成等比數(shù)列．（3）數(shù)列SKIPIF1<0仍是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列；數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列；數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列；若數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列．（4）SKIPIF1<0成等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0．（5）連續(xù)相鄰SKIPIF1<0項(xiàng)的和（或積）構(gòu)成公比為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的等比數(shù)列．（6）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．（7）SKIPIF1<0．（8）若項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（9）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，連續(xù)SKIPIF1<0項(xiàng)的和（如SKIPIF1<0）仍組成等比數(shù)列（公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．注意：這里連續(xù)m項(xiàng)的和均非零．【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)一求解等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和1.已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【變式1-1】已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.考點(diǎn)二數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和的求解2.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0.（1）請(qǐng)問數(shù)列SKIPIF1<0是否為等差數(shù)列？如果是，請(qǐng)證明；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和.【變式2-1】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．考點(diǎn)三求解等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和3.若等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<05，則SKIPIF1<0等于A．5 B．16C．17 D．25【變式3-1】已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.考點(diǎn)四等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用4.在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．2C．1D．SKIPIF1<0【變式4-1】已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______．【考點(diǎn)易錯(cuò)】1.等差數(shù)列SKIPIF1<0的前30項(xiàng)之和為50，前50項(xiàng)之和為30，求SKIPIF1<0。2.設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，且SKIPIF1<0.求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列．3.設(shè){an}是等差數(shù)列,證明以bn=SKIPIF1<0(n∈N*)為通項(xiàng)公式的數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.4．等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（1）求公差d的取值范圍；（2）n為何值時(shí)，Sn最大，并說明理由。5.若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，其中n為正整數(shù)．（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（3）在（2）的條件下，記SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0成立的n的最小值．6.若數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.7.已知等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和.【鞏固提升】1．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個(gè)等差數(shù)列，其中SKIPIF1<0為常值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.記數(shù)