數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：二倍角的正弦、余弦和正切

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1。二倍角與降冪公式【例1】已知sin(+x)sin(—x)=，x∈(,π），求sin4x的值.思路分析：注意到+x+—x=,可用誘導(dǎo)公式變形后計(jì)算.解:由sin(+x）sin（—x)=可得sin（+x）cos(+x)=,即sin（+2x)=，∴sin（+2x)=,即cos2x=。又∵x∈（,π),∴2x∈(π，2π).∴sin2x=.∴sin4x=2sin2xcos2x=。友情提示在應(yīng)用二倍角的同時(shí)，也用誘導(dǎo)公式或同角的三角函數(shù)關(guān)系.各個(gè)擊破類題演練1已知sinα=,α∈（,π），求sin2α，cos2α,tan2α的值。解析：∵sinα=,α∈(，π)，∴cosα=，∴sin2α=2sinαcosα=2××（)=，cos2α=1—2sin2α=1-2×(）2=，tan2α=.變式提升1(2006上海高考，文6）函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期是___________。解析:化簡(jiǎn),得y=sin2x，∴T=π.答案：π2.二倍角公式的變式應(yīng)用【例2】已知cos(+x）=,〈x〈，求的值。思路分析:可先將待求式變形化簡(jiǎn)看需要哪些值，再由條件求出這些值.解:原式=Sin2xtanx（x+）.∵cos(+x)=,<x<，∴sin(x+）=Tan（x+)=,sin2x=—cos（+2x）=—[2cos2（+x)—1］=。∴原式=×(）=。友情提示分析角與角的關(guān)系，如-x與+x互為余角；2x是x的倍角.角的關(guān)系往往是解題的突破口。類題演練2求下列各式的值：（1）(cos-sin）(cos+sin）;(2）—cos2。解析:（1)（cos-sin）（cos+sin)=cos2—sin2=cos=。（2）-cos2=（2cos2-1)=cos=。變式提升2已知θ∈（，）,｜c(diǎn)os2θ|=,則sinθ的值是（）A.B.C。D.解析:∵θ∈(,)，∴sinθ<0,且2θ∈（,3π).∴cos2θ〈0.∵｜c(diǎn)os2θ|=，∴cos2θ=-.由cos2θ=1-2sin2θ，得sin2θ=，∴sinθ=.∴應(yīng)選C.答案:C3。升降冪公式的應(yīng)用【例3】求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最值。思路分析：見“高次”降為“低次”,利用a3+b3=（a+b)（a2-ab+b2）和sin2x+cos2x=1求解.解:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x）（sin4x—sin2xcos2x+cos4x）=（sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1—3sin2xcos2x=1-sin22x=cos4x,∴當(dāng)x=(k∈Z)時(shí),y取最大值為1.當(dāng)x=+（k∈Z)時(shí)，y取最小值.友情提示遇到高次就降冪，sin2x+cos2x=1，sin2x=,cos2x=都起到了降冪的作用,在應(yīng)用cos2α公式變形時(shí)，當(dāng)心出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.類題演練3已知函數(shù)f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x。（1)求f(x）的最小正周期；(2）若x∈［0，]，求f（x)的最大值、最小值。解：（1）因?yàn)閒(x）=cos4x—2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x—sin2x=cos（2x+)，所以f（x)