專題04 反比例函數(shù)與一次函數(shù)、實際問題的綜合壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專題04反比例函數(shù)與一次函數(shù)、實際問題的綜合壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷】 1【考點(diǎn)二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題】 3【考點(diǎn)三一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用】 6【考點(diǎn)四實際問題與反比例函數(shù)】 9【過關(guān)檢測】 13【典型例題】【考點(diǎn)一一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷】例題：（2023春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，滿足函數(shù)和的大致圖像是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【變1-1】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則與的圖象在同一坐標(biāo)系中正確的是（

）A．B．C．D．【變1-2】（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，同一坐標(biāo)系中，直線與雙曲線大致位置錯誤的是（

）A．B．C．D．【考點(diǎn)二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題】例題：（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于，兩點(diǎn)，若，則x的取值范圍是（）A． B．C． D．或【變2-1】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，當(dāng)時，的取值范圍是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【變2-2】（2023春·廣東云浮·九年級?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，當(dāng)時，x的取值范圍是(

)A． B． C．或 D．或【考點(diǎn)三一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用】例題：（2023春·浙江·八年級期末）已知某消毒藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（微克）與時間x（小時）成正比例，藥物熄滅后，y（微克）與x（小時）成反比例，如圖所示，現(xiàn)測得藥物4小時燃畢，此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6微克，請你根據(jù)題中提供的信息，解答下列問題：(1)分別求出藥物燃燒時和藥物熄滅后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3微克且持續(xù)時間不低于10小時時，才能殺滅空氣中的毒，那么這次消毒是否有效？為什么？【變3-1】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）變化的圖象如圖（圖象由線段與部分雙曲線AB組成）所示．國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．(1)求部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；(2)參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上在家喝完50毫升該品牌白酒，第二天早上能否駕車去上班？請說明理由．【變3-2】（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學(xué)生興趣激增，中間一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，其中當(dāng)時，圖象是反比例函數(shù)的一部分．

(1)求點(diǎn)C，D所在反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線的表達(dá)式；(2)張老師想在數(shù)學(xué)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題，希望學(xué)生注意力指標(biāo)不低于36，那么她最多可以講______分鐘．【考點(diǎn)四實際問題與反比例函數(shù)】例題：（2023春·八年級單元測試）當(dāng)發(fā)動機(jī)的輸出功率一定時，輸出的扭矩M（使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動的力矩，單位為）與發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)n（發(fā)動機(jī)曲軸的轉(zhuǎn)動速度，單位為）存在一定的關(guān)系，某興趣小組通過對固定輸出功率的發(fā)動機(jī)進(jìn)行實驗，得到對應(yīng)的扭矩M和轉(zhuǎn)數(shù)n的數(shù)據(jù)如表：n（）1.522.534M（）400300240200150(1)以表中各組對應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo)，在如圖直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)并用光滑曲線連結(jié)．(2)能否用學(xué)過的函數(shù)刻畫變量M和n的關(guān)系？如果能，請求出M關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式；（不必寫出n的取值范圍）；如果不能，請說明理由．(3)某個使用場景需要此款發(fā)動機(jī)輸出的扭矩不低于，但不超過，求此場景中該發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)n的取值范圍．【變4-1】（2023秋·陜西榆林·九年級綏德中學(xué)?？计谀┮阎?，的長和邊上的高分別是和，它的面積是．(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若自變量的取值范圍是，求的最大值和最小值．【變4-2】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，某人對地面的壓強(qiáng)（單位：）與這個人和地面接觸面積（單位：）滿足反比例函數(shù)關(guān)系．

(1)圖像上點(diǎn)A坐標(biāo)為，求函數(shù)解析式和這個人的體重．(2)如果此人所穿的每只鞋與地面的接觸面積大約為，那么此人雙腳站立時對地面的壓強(qiáng)有多大？(3)如果某一沼澤地面能承受的最大壓強(qiáng)為，那么此人應(yīng)站立在面積至少多大的木板上才不至于下陷（木板的質(zhì)量忽略不計）？【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，當(dāng)一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川宜賓·八年級?？计谥校┰谕恢苯亲鴺?biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，在解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合常常可以優(yōu)化解題思路，簡化解題過程．如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)．根據(jù)圖象可知關(guān)于的方程的解是（

）

A．或1 B．或2 C．1或2 D．或4．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致是（）A．B．

C．

D．

二、填空題5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）若正比例函數(shù)與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則k的值可以是________（寫出一個即可）．6．（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)是函數(shù)與的圖象的一個交點(diǎn)，且該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是______．7．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)．當(dāng)時，的取值范圍是______．8．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是__________．三、解答題9．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）如圖，把的水從瓶子里全部倒出，設(shè)平均每秒倒出的水，所用的時間為秒．

(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)要求至多10秒把水倒完，求平均每秒至少倒出多少毫升的水？10．（2023·廣東廣州·廣東實驗中學(xué)校考二模）電滅蚊器的電阻隨溫度變化的大致圖像如圖所示，通電后溫度由室溫上升到時，電阻與溫度成反比例函數(shù)關(guān)系，且在溫度達(dá)到時，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升，電阻增加．

(1)當(dāng)時，求y與x之間的關(guān)系式；(2)電滅蚊器在使用過程中，溫度x在什么范圍內(nèi)時，電阻不超過?11．（2023秋·陜西榆林·九年級綏德中學(xué)?？计谀┠撤N商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其銷售量y（萬件）與上市的天數(shù)x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為．當(dāng)廣告停止后，銷售量y（萬件）與上市的天數(shù)x（天）之間成反比（如圖），現(xiàn)已知上市30天時，當(dāng)日銷售量為120萬件．(1)當(dāng)時，求該商品上市以后銷售量y（萬件）與上市的天數(shù)（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)廣告合同約定，當(dāng)銷售量不低于萬件，并且持續(xù)天數(shù)不少于天時，廣告設(shè)計師就可以拿到“特殊貢獻(xiàn)獎”，那么本次廣告策劃，設(shè)計師能否拿到“特殊貢獻(xiàn)獎”？請說明理由．12．（2023春·山西長治·八年級長治市第五中學(xué)校校考階段練習(xí)）用橡膠或聚脂薄膜材斜制成氣球，并充以比空氣密度小的氫氣或氦氣，用以攜帶儀器升空，進(jìn)行高空氣象觀測．某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓與氣體體積成反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．

(1)求這個函數(shù)的表達(dá)式．(2)當(dāng)氣體體積為時，氣壓是多少？(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于時，氣球?qū)⒚赫?，為了安全起見，氣體的體積應(yīng)不小于多少？13．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生在一節(jié)課中的注意力隨教師講課時間的變化而變化．開始上課時，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，此時學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)與上課時間成一次函數(shù)關(guān)系，滿足（），中間有一段時間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．經(jīng)過實驗分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x（min）的變化規(guī)律如圖所示（其中為水平線段，為雙曲線的一部分）．

(1)請根據(jù)圖象，求出上課25min后學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)與上課時間所滿足的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)一道數(shù)學(xué)作業(yè)題，需要講22min，為了效果較好，老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于30的狀態(tài)下講完這道題目？請說明理由．14．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y（）與時