專題09 圓心角、圓周角壓軸題八種模型全攻略（解析版）

專題09圓心角、圓周角壓軸題八種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】 1【考點二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】 3【考點三圓周角定理】 5【考點四同弧或等弧所對的圓周角相等】 7【考點五半圓(直徑)所對的圓周角是直角】 10【考點六90度的圓周角所對的弦是直徑】 12【考點七已知圓內(nèi)接四邊形求角度】 15【考點八求四邊形外接圓的直徑】 17【過關(guān)檢測】 20【典型例題】【考點一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，是的直徑，點C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【詳解】解：∵在中，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點A，B，C在上，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系，熟知同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）下列說法：①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③過直線上兩點和直線外一點，可以確定一個圓；④圓是軸對稱圖形，直徑是它的對稱軸．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理判斷①，根據(jù)垂徑定理的推論判斷②；根據(jù)不共線的三點共圓可判斷③；根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷④．【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；②平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，故錯誤；③過直線上兩點和直線外一點，可以確定一個圓，正確；④圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，故錯誤，正確的只有1個，故選：B．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理的推論，軸對稱圖形的對稱軸，圓的性質(zhì)，熟練掌握定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】例題：（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知的半徑，，在上，于點，于點，且，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可得，然后根據(jù)弧、弦和圓心角的關(guān)系證明即可．【詳解】證明：∵，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的判定定理以及弧、弦和圓心角的關(guān)系等知識，準確證明是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．【答案】見解析【分析】根據(jù)∠ABD=∠CDB，可知，則有，由此可得，進而可證AB=CD．【詳解】證明：∵∠ABD=∠CDB，∴，∴，∴，∴AB=CD．【點睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，即在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，能夠熟練掌握圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點，C是弧AB中點．求證：∠A＝∠B．【答案】見解析【分析】連接，通過證明即可得結(jié)論．【詳解】證明：如圖，連接，是的中點，，，在和中，，，．【點睛】本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．【考點三圓周角定理】例題：（2023·廣東梅州·?？家荒＃┤鐖D，是上的三個點，，則度數(shù)是．

【答案】【分析】由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，為的直徑，點在上，且，過點的弦與線段相交于點，滿足，連接，則．【答案】20【分析】連接，由圓周角定理可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再由結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖，，，，，，，，，，，故答案為：20．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點D，連接，則的長度為．【答案】1【分析】連接，利用圓周角定理及垂徑定理易得，則，結(jié)合已知條件，利用直角三角形中角對的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查圓與直角三角形性質(zhì)的綜合應用，結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．【考點四同弧或等弧所對的圓周角相等】例題：（2022秋·浙江嘉興·九年級平湖市林埭中學校聯(lián)考期中）如圖，為⊙O的直徑，，則的度數(shù)為．【答案】65°/65度【分析】先根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計算出的度數(shù)；【詳解】為⊙O的直徑，故答案為：【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．【變式訓練】1．（2023春·北京東城·八年級景山學校?？计谀┤鐖D，為的外接圓的直徑，若，則

【答案】/40度【分析】連接，根據(jù)圓周角定理的推論得出，，然后根據(jù)角的和差計算即可．【詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，又∵，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西上饒·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，是的直徑，點，在上，且，的延長線與的延長線交于點，連接，若，則的度數(shù)是．

【答案】/43度【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得，再根據(jù)等邊對等角得出，最后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：【點睛】本題考查圓周角定理，等邊對等角，三角形的外角，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【考點五半圓(直徑)所對的圓周角是直角】例題：（2023·遼寧營口·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，弦交于點，連接，．若，則．

【答案】/61度【分析】如圖，連接，證明，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接．

∵是直徑，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考?？碱}型．【變式訓練】1．（2023秋·山西忻州·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，是的弦，如果．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余可計算出的度數(shù)；（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】（1）解：是的直徑，，，；（2）∵，∴在中，，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點C，D是上的點，且，分別與，相交于點E，F(xiàn)．

(1)求證：點D為弧的中點；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，再由平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理可得，再利用勾股定理進行計算即可．【詳解】（1）證明：∵是直徑∴，∵，∴，∴，∴，∴點D為的中點；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的直徑為20．【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【考點六90度的圓周角所對的弦是直徑】例題：（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，動點P在矩形的內(nèi)部，連接、，若，則的最小值是．【答案】/【分析】由，可知在以為直徑的上運動，如圖，當三點共線時，最小，勾股定理求的長，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴在以為直徑的上運動，如圖，∴當三點共線時，最小，∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于確定的運動軌跡．【變式訓練】1．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，D為線段上的動點，連接，過點B作交于點E，則在點D的運動過程中，求線段的最小值為．

【答案】/【分析】根據(jù)，得到，進而得到點在以為直徑的圓上，設的中點為，連接，交于點，連接，則：，當且僅當三點共線時，取得最小值，即點與點重合時，取得最小值，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴點在以為直徑的圓上，設的中點為，連接，交于點，連接，則：，

∴當且僅當三點共線時，取得最小值，此時點與點重合，∵，，，∴，∴的最小值為：；故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，求一點到圓上的距離的最小值．解題的關(guān)鍵是確定點在以為直徑的圓上．2．（2023春·浙江·九年級專題練習）在矩形中，，，點F是邊上的一個動點，連接，過點B作于點G，交射線于點E，連接，則的最小值是．【答案】/【分析】根據(jù)題意可得點G的運動軌跡為以AB為直徑，H為圓心的圓?。擟、G、H三點共線時，CG取最小值，根據(jù)勾股定理進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴點G的運動軌跡為以AB為直徑，H為圓心的圓弧．當C、G、H三點共線時，CG取最小值，如圖，∴CG最小值為：，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理以及勾股定理，根據(jù)題意得出點G的運動軌跡是解本題的關(guān)鍵．【考點七已知圓內(nèi)接四邊形求角度】例題：（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，延長至點，已知，那么．

【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和平角的定義即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補求出，的度數(shù)．【詳解】解∶，又四邊形內(nèi)接于圓，在四邊形中，，，故答案為∶．【點睛】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出圓周角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在直徑為的中，點，在圓上，，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補求出，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，是的直徑，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【考點八求四邊形外接圓的直徑】例題：（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學考試）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】連接OD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A=60°，得出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OD=OA=AD=2，求出直徑AB即可．【詳解】解：連接OD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故選：D．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠C=180°是解此題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，為正方形的外接圓，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，進而得出的半徑為，再根據(jù)圓的面積公式，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，解得：，∴，∴的半徑為，∴的面積為：．故選：A【點睛】本題考查了求正方形外接圓的直徑、正方形的性質(zhì)、勾股定理、圓的面積，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．2．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，點C為的中點，延長AB、DC交于點E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角可得∠D＝∠CBE＝60°，根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，點C為的中點，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，進而得出∠ABD=90°，AD為直徑，可得出AD=2AB=4，再根據(jù)面積公式計算得出結(jié)論；【詳解】解：連接BD，∵ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A∵∴∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°∵∴△CBE為等邊三角形∴∠BCE＝∠A=60°，∵點C為的中點，∴∠CDB＝∠DBC=30°∴∠ABD=90°，∠ADB=30°∴AD為直徑∵AB=2∴AD=2AB=4∴的面積是=故答案選：D【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)性質(zhì)及公式是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（21·22上·肇慶·期末）如圖，點，，在上，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：與都對，．故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．2．（17·18上·南通·期中）如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項錯誤；B、平分，，，，故本選項正確；C、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項錯誤；D、與的大小關(guān)系不確定，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．3．（23·24上·廣州·期中）如圖，是的直徑，是的弦，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由是的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，求得，繼而求得的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得的度數(shù)．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵∴．故選：B．【點睛】此題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．4．（23·24上·大同·階段練習）如圖，是的直徑，點是上的一點，若，于點．則長為（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由圓周角定理得，從而得到，推出，進而得到，由相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：是的直徑，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵．5．（23·24上·武漢·期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，將繞點旋轉(zhuǎn)至，則下列說法不正確的是（

）

A．平分B．點A，，在同一條直線上C．若，則D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)圓周角、弦、弧之間的關(guān)系即可判斷選項A選項；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可判斷B選項；先求出，由旋轉(zhuǎn)可知，，進一步得到，，作于點H，則，則，進一步得到，則，即可判斷C選項；在截取，連接，證明是等邊三角形，得到，由四邊形是的內(nèi)接四邊形即可得，即可判斷D選項．【詳解】解：A．∵，∴，∴，∴平分，故選項正確，不符合題意；B．∵將繞點旋轉(zhuǎn)至，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴點A，，在同一條直線上；故選項正確，不符合題意；C．∵，∴，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，，∴，，作于點H，則，

∴，∴，∴，故選項錯誤，符合題意；D．在截取，連接，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴,故選項正確，故選：C【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和添加適當?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題6．（23·24上·濱海新·期中）如圖，是的直徑，，，則．

【答案】【分析】根據(jù)同圓或等圓中相等的弧所對的圓心角相等即可求解．【詳解】∵，∴，∵是直徑，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角相等是解題的關(guān)鍵．7．（23·24上·西城·期中）如圖，四邊形內(nèi)接于為直徑，，若，則．【答案】55【分析】連接，由題意易得，然后問題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵為的直徑，∴，∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：55．【點睛】本題主要考查圓周角的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（23·24上·鹽城·階段練習）如圖，四邊形內(nèi)接于，交的延長線于點，若平分，若，，則．【答案】【分析】連接，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，進而證明，根據(jù)等腰三角形的判定定理得出，根據(jù)勾股定理計算，進而得到答案．【詳解】解：如圖，連接．平分，，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，，由圓周角定理得：，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理、勾股定理、角平分線定義，熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題的關(guān)鍵．9．（22·23下·襄陽·模擬預測）半徑長為的中，有一條弦的長為，則弦所對的圓周角度數(shù)等于．【答案】或【分析】利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，再利用圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵，，

∴，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴弦所對的圓周角度數(shù)等于或．故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解答此題時要注意一條弦所對的圓周角有兩個，這兩個角互為補角．10．（23·24上·福州·階段練習）如圖，在中，，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角得到AP，連接，．當為直角三角形時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為．

【答案】90°或180°【分析】點在以為圓心，為半徑的圓上運動，有固定軌跡，為直角三角形，要分三種情況討論求解．【詳解】由題意可知，點在以為圓心，為半徑的圓上運動．如圖：延長與交于，連接．

，又，△為等邊三角形，．在中，，，．，當在直線上時符合題意，．連接，，，四邊形為平行四邊形．，即：運動到時符合題意．．記中點為，以為圓心，為半徑作．，與相離，．故答案為：、．【點睛】本題考查了直角三角形的定義，等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)及判定，以及圓周角定理，勾股定理等知識點．題目新穎、靈活，解法多樣，需要敏銳的感知圖形的運動變化才能順利解題．三、解答題11．（23·24上·南京·階段練習）如圖，在中，弦，相交于點E，．(1)求證；(2)連接，若，則的度數(shù)為________°．【答案】(1)見解析(2)120【分析】（1）根據(jù)同圓中等弧對應的弦長相等即可得出；（2）連接，取與的交點為，與的交點為，證明，，得，然后求出，根據(jù)對頂角即可求．【詳解】（1）解：證明：∵，∴，∴，∴；（2）解：連接，記與的交點為，與的交點為，，，，，，，，同理，，，故答案為：120．【點睛】本題考查了圓心角，弧，弦之間的關(guān)系、三角形全等、四邊形的內(nèi)角和、對頂角，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角的定理．12．（23·24上·溫州·階段練習）如圖，在中，，D為中點，以為直徑作，分別交于點E，F(xiàn)．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，由圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；（2）連接，利用勾股定理求得，利用等積法求得，再勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

∵，D為中點，∴，∵為直徑，∴，即，∴；（2）解：連接，

∵，，，∴，∵為直徑，∴，即，∵，即，∴，由（1）得，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．13．（23·24上·南京·階段練習）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個外角．

(1)若，則______；(2)過點作于，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)75(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形外接圓的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，可得；（2）過點作于點，可證明，，則；【詳解】（1）四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，是四邊形的一個外角，∴，，，所對的圓周角分別為、，，，，故答案為：75；（2）過點作于點，

，，，，，，，，，又，，，，，即；【點睛】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握同弧所對的圓周角相等，四點共圓的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（23·24上·揚州·階段練習）“求知”學習小組在學完“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”這個結(jié)論后進行了如下的探究活動：

(1)如圖1，點、、在上，點在外，線段、與交于點、，試猜想______（請?zhí)睢啊?、“”或“”）?2)如圖2，點、、在上，點在內(nèi)，此時（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請寫出你的結(jié)論并予以證明；(3)如圖3，凸四邊形中，對角線長為8，，，則四邊形面積的最大值是______.【答案】(1)(2)不成立，，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)四邊形為的內(nèi)接四邊形，推得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即可求解；（2）延長交于點，連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即可推得，即可證明；（3）根據(jù)四邊形內(nèi)角和可推得，得到四邊形四點共圓，分別過點A、C作于點M，于點N，根據(jù)三角形的面積公式求得四邊形的面積，結(jié)合圓的性質(zhì)即可推得當A、M、N、C共線且為圓的直徑時，四邊形面積最大，連接、，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得，，即可求解．【詳解】（1）解：連接，如圖：

∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，在中，，∴，故答案為：；（2）解：（1）的結(jié)論不成立，理由：延長交于點，連接，如圖：

∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，在中，，∴，即，故（1）的結(jié)論不成立．（3）解：∵，四邊形的內(nèi)角和為1，∴，即四邊形四點共圓，分別過點A、C作于點M，于點