專題10 一元二次方程的應(yīng)用壓軸題九種模型全攻略(傳播,增長率,與圖形有關(guān),數(shù)字,營銷,動態(tài)幾何,工程,行程,圖標(biāo)信息問題)(原卷版)

專題10一元二次方程的應(yīng)用壓軸題九種模型全攻略(傳播,增長率,與圖形有關(guān),數(shù)字,營銷,動態(tài)幾何,工程,行程,圖標(biāo)信息問題)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】 1【考點(diǎn)二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】 3【考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】 4【考點(diǎn)四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】 7【考點(diǎn)五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】 8【考點(diǎn)六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】 10【考點(diǎn)七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】 14【考點(diǎn)八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】 16【考點(diǎn)九一元二次方程的應(yīng)用--圖表信息問題】 18【過關(guān)檢測】 20【典型例題】【題型一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】例題：（2023春·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江綏化·八年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┠撤N植物的主干長出若干個數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是111，則每個支干長出個小分支．2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第一二六中學(xué)校考期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經(jīng)統(tǒng)計(jì)所有人一共握了10次手，則這次會議到會的人數(shù)是人．3．（2023春·安徽六安·八年級?？茧A段練習(xí)）去年8月以來，非洲豬瘟疫情在某國橫行，今年豬瘟疫情發(fā)生勢頭明顯減緩．假如有一頭豬患病，經(jīng)過兩輪傳染后共有64頭豬患?。?1)每輪傳染中平均每頭患病豬傳染了幾頭健康豬？(2)如果不及時控制，那么三輪傳染后，患病的豬會不會超過500頭？【題型二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】例題：（2023春·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習(xí)）某地2021年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2023年在2021年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元．從2021年到2023年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┯捎趽Q季，原售價為元的某種服裝連續(xù)兩次降價處理，現(xiàn)按元的價格銷售，設(shè)平均每次降價的百分率為，則可列方程．2．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谀闈M足師生閱讀需求，學(xué)校建立“閱讀公園”，并且不斷完善藏書數(shù)量，今月3月份閱讀公園中有藏書5000冊，到今月5月份其中藏書數(shù)量增長到7200冊．(1)求閱讀公園這兩個月藏書的平均增長率．(2)按照這樣的增長方式，請你估算出今月6月份閱讀公園的藏書量是多少？【題型三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）在學(xué)校勞動實(shí)踐基地里有一塊長20米、寬10米的長方形菜地，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫開辟三條等寬的小道（如圖中陰影部分所示），剩下部分種植蔬菜，已知種植蔬菜的面積為171平方米，則小道的寬為____米．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，某農(nóng)場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為27米和15米．該農(nóng)場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場，其中和兩邊借助墻體且不超出墻體，其余部分用

總長45米的木欄圍成．中間預(yù)留1米寬的通道，在和邊上各留1米寬的門．設(shè)長x米．(1)求的長度(用含x的代數(shù)式表示)．(2)若飼養(yǎng)場的面積為180平方米，求x的值．2．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，墻可利用的最大長度為15米，花圃一面利用墻，其余三面用籬笆圍成，籬笆總長為24米．

(1)若圍成的花圃面積為40平方米時，求的長；(2)圍成的花圃面積能否為75平方米，如果能，請求的長；如果不能，請說明理由．【題型四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)字的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個兩位數(shù)是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）兩個連續(xù)奇數(shù)的積為323，設(shè)其中的一個奇數(shù)為，可得方程________．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個兩位數(shù)是_____．【題型五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）某水果批發(fā)商店經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商店要保證每天盈利5000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）某商場一種商品的進(jìn)價為每件30元，售價為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價多少元？2．（2023春·八年級單元測試）在國家積極政策的鼓勵下，環(huán)保意識日漸深入人心，新能源汽車的市場需求逐年上升．(1)某汽車企業(yè)2020年到2022年這兩年新能源汽車的銷售總量增長了96%．求該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率；(2)某汽車企業(yè)下屬的一個專賣店經(jīng)銷一款進(jìn)價為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛．若該店計(jì)劃下調(diào)售價使平均每周的銷售利潤為96萬元，并且盡量讓利于顧客，求下調(diào)后每輛汽車的售價．【題型六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】例題：（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┰谥校?，動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時開始移動，點(diǎn)M的速度為/秒，點(diǎn)N的速度為/秒，點(diǎn)M移動到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)N移動到點(diǎn)B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上海·八年級專題練習(xí)）等腰中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)移動，通過點(diǎn)引平行于、的直線與、分別交于點(diǎn)、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于．2．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動點(diǎn)P、Q分別以，的速度從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，沿規(guī)定路線移動．

(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時間P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？(2)若點(diǎn)P沿著移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動到點(diǎn)D停止時，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間的面積為？【題型七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】例題：（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時對長度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計(jì)劃增加了小時，同時，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）全球疫情爆發(fā)時，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？【題型八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．2．（2023·四川成都·成都實(shí)外校考一模）為切實(shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動．學(xué)生堅(jiān)持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【題型九一元二次方程的應(yīng)用--圖表信息問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）根據(jù)紹興市某風(fēng)景區(qū)的旅游信息：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過30人人均收費(fèi)80元超過30人每增加1人，人均收費(fèi)降低1元，但人均收費(fèi)不低于55元A公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．（1）當(dāng)時，請直接寫出的值；（2）當(dāng)時，求的值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期中）為打造書香校園，某校積極開展“圖書漂流”活動，旨在讓全體師生共建共享，校團(tuán)委學(xué)生處在對上學(xué)期學(xué)生借閱登記簿進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時發(fā)現(xiàn)，在月份有名學(xué)生借閱了名著類書籍，月份增加到人，則從月份到月份全校借閱名著類書籍的學(xué)生人數(shù)的平均增長率是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山西大同·九年級大同一中?？计谀樵鰪?qiáng)學(xué)生體質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生正確的體育思想和團(tuán)隊(duì)意識，2019年初某市開展了“籃球進(jìn)園”活動．近日，該市籃球協(xié)會要組織初中學(xué)校的籃球隊(duì)進(jìn)行一次聯(lián)賽，要求每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽，計(jì)劃安排5天，每天比賽3場，則參加比賽的球隊(duì)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每盆花的盈利與每盆株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系，每盆植入3株時，平均單株盈利10元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單株盈利就減少1元，要使每盆的盈利為40元，需要每盆增加幾株花苗？設(shè)每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合題意的是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在長為30米，寬為18米的矩形地面上修筑等寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為480平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（

）

A． B．C． D．5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=8cm，動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向B移動，一直到達(dá)B為止；點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動．當(dāng)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．(若一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s二、填空題6．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）已知一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，則這個兩位數(shù)是．7．（2023秋·新疆和田·九年級統(tǒng)考期末）疫情期間，市政府為解決市民買藥貴的問題，下調(diào)了某藥品的價格．某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒64元下調(diào)至49元，設(shè)這種藥品平均每次降價的百分率為x，則可列方程．8．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）某商店從廠家以每件30元的價格購回一批商品，該商店可自行定價．若每件商品售價為a元，則可賣出件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進(jìn)價的，如果要使商店在這批商品中獲得3000元利潤（不計(jì)其他成本），每件商品定價應(yīng)為元．9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．10．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)，出發(fā)以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運(yùn)動，甲運(yùn)動的路程與時間滿足關(guān)系：，乙以的速度勻速運(yùn)動，半圓的長度為.則甲、乙從開始運(yùn)動到第二次相遇時，它們運(yùn)動的時間是.三、解答題11．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）請根據(jù)圖片內(nèi)容，回答下列問題：(1)每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？(2)按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設(shè)每輪傳染人數(shù)相同）？12．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校在“美化校園，幸福學(xué)習(xí)”活動中，計(jì)劃利用如圖所示的直角墻角（陰影部分，兩邊足夠長），用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍AB，AD兩邊）．

(1)若花園的面積為，求AB的長；(2)若在直角墻角內(nèi)點(diǎn)P處有一棵桂花樹，且到墻CD的距離為，若要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），問該花園的面積能否為？若能，求出AB的長；若不能，請說明理由．13．（2023春·安徽安慶·八年級安徽省安慶市外國語學(xué)校?？计谀r值畢業(yè)季，某網(wǎng)絡(luò)購物直播間一款標(biāo)價60元的文化衫，五月份第一周的銷售量達(dá)到了5萬件，到第三周的時候增加到7.2萬