2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2不等式2.2.2不等式的解集學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊1

PAGE2.2.2不等式的解集素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．會求二元一次不等式組的解集．2．理解肯定值的幾何意義，并會解肯定值不等式．3．駕馭數(shù)軸上兩點間的距離公式及中點坐標(biāo)公式，并會簡潔應(yīng)用.在本節(jié)學(xué)習(xí)中，能借助數(shù)軸求出不等式的解集，在解含肯定值不等式時可用分類探討思想去肯定值號，也可用肯定值的幾何意義脫去肯定值號，通過對本節(jié)的學(xué)習(xí)可提升自己的直觀想象、數(shù)學(xué)運算及邏輯推理.必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問1．不等式的解集與不等式組的解集不等式的全部解組成的集合稱為不等式的解集．構(gòu)成不等式組的各個不等式的解集的交集稱為不等式組的解集．思索1：不等式的解與解集的區(qū)分和聯(lián)系是什么？提示：(1)不等式的解是指滿意這個不等式的未知數(shù)的一個值，而不等式的解集是指滿意這個不等式的未知數(shù)的全部值．不等式的解是不等式的解集中的一個．(2)不等式的解集必需滿意兩個條件：一是解集內(nèi)的數(shù)都是不等式的解；二是解集外的數(shù)都不是不等式的解．2．簡潔的肯定值不等式的解法(1)肯定值不等式的定義：含有肯定值的不等式．(2)肯定值不等式的解集.不等式(m>0)不等式的解集|x|<m{x|－m<x<m}|x|>m{x|x>m或x<－m}(3)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.思索2：若m＝0或m<0時，不等式的解集是怎樣的？提示：不等式m＝0m<0|x|<m??|x|>m{x∈R|x≠0}R3．肯定值不等式的幾何意義(1)數(shù)軸上兩點之間的距離公式：數(shù)軸上兩點A(a)，B(b)之間的距離__AB＝|a－b|__.(2)數(shù)軸上兩點的中點坐標(biāo)公式：數(shù)軸上兩點A(a)，B(b)的中點坐標(biāo)x＝eq\f(a＋b,2).(3)肯定值不等式的幾何意義．不等式(m>0)解集的幾何意義|x|<m數(shù)軸上與原點的距離小于m的全部數(shù)的集合|x|>m數(shù)軸上與原點的距離大于m的全部數(shù)的集合|x－b|<m數(shù)軸上與表示b的點的距離小于m的全部數(shù)的集合|x－b|>m數(shù)軸上與表示b的點的距離大于m的全部數(shù)的集合思索3：不等式|x＋1|≤3的解集的幾何意義是什么？提示：數(shù)軸上與表示－1的點的距離小于或等于3的點對應(yīng)的全部數(shù)組成的集合．基礎(chǔ)自測1．不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是(A)A．(－∞，3] B．(－∞，－3]C．[3，＋∞) D．[－3，＋∞)解析：原不等式可化為2x＋9≥3x＋6，即x≤3.2．已知集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z)，則M∩N＝(D)A．{x|0<x≤2，x∈R} B．{x|0<x≤2，x∈Z}C．{－1，－2,1,2} D．{1,2,3}解析：由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3.所以N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．3．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2>0，,2x＋1>0))的解集為__(－eq\f(1,2)，2)__.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2>0,2x＋1>0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2,x>－\f(1,2)))，∴不等式組的解集為(－eq\f(1,2)，2)．4．不等式|x－3|<2的解集為__(1,5)__.解析：∵|x－3|<2，∴－2<x－3<2，∴1<x<5，∴解集為(1,5)．5．若A，B兩點在數(shù)軸上的坐標(biāo)分別為A(2)，B(－4)，則|AB|＝__6__，線段AB的中點M的坐標(biāo)為__M(－1)__.解析：|AB|＝|xB－xA|＝|－4－2|＝6，xM＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(2－4,2)＝－1.關(guān)鍵實力·攻重難類型不等式組的解集┃┃典例剖析__■典例1解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>1，,x－2<0；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(x＋1,2)>\f(1,2)，,x＋8<4x－1.))思路探究：分別求出各不等式的解集，再求出各個解集的交集，并在數(shù)軸上表示出來即可．解析：(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，解不等式x－2<0，得x<2，則不等式組的解集為{x|－1<x<2}．將解集表示在數(shù)軸上如下：(2)解不等式x－eq\f(x＋1,2)>eq\f(1,2)，得x>2，解不等式x＋8<4x－1，得x>3，則不等式組的解集為{x|x>3}，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：歸納提升：解不等式(組)的留意點(1)移項要變更項的符號．(2)利用性質(zhì)3時要變更不等號的方向．(3)不等式組的解集是構(gòu)成不等式組的各個不等式解集的交集．┃┃對點訓(xùn)練__■1．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,2x<5))的整數(shù)解的個數(shù)是(C)A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：分別解兩個不等式可得不等式組的解集為{x|－eq\f(1,3)<x<eq\f(5,2)}，故滿意題意的整數(shù)解為0,1,2，共3個．類型解肯定值不等式┃┃典例剖析__■典例2解不等式3≤|x－2|<4.思路探究：此題的不等式屬于肯定值的連不等式，求解時可將其化為肯定值的不等式組再求解．解析：原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|≥3，①,|x－2|<4.②))由①，得x－2≤－3，或x－2≥3，∴x≤－1，或x≥5.由②，得－4<x－2<4，∴－2<x<6.如圖所示，原不等式的解集為{x|－2<x≤－1，或5≤x<6}．歸納提升：肯定值不等式的解題策略：等價轉(zhuǎn)化法(1)形如|x|<a，|x|>a(a>0)型不等式：|x|<a?－a<x<a.|x|>a?x>a或x<－a.(2)形如a<|x|<b(b>a>0)型不等式：a<|x|<b(0<a<b)?a<x<b或－b<x<－a.┃┃對點訓(xùn)練__■2．不等式|2x＋1|>3的解集是__{x|x<－2或x>1}__.解析：由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}．類型數(shù)軸上的基本公式及應(yīng)用┃┃典例剖析__■典例3已知數(shù)軸上的三點A、B、P的坐標(biāo)分別為A(－1)，B(3)，P(x)．(1)點P到A，B兩點的距離都是2時，求P(x)，此時P與線段AB是什么關(guān)系？(2)在線段AB上是否存在一點P(x)，使得P到A和B的距離都是3？若存在，求P(x)，若不存在，請說明理由．思路探究：依據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式及中點坐標(biāo)公式求解．解析：(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x＋1|＝2，,|x－3|＝2，))可以化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2，,x－3＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2，,x－3＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2，,x－3＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2，,x－3＝2.))解得x＝1.∴點P的坐標(biāo)為P(1)，此時P為AB的中點．(2)不存在這樣的P(x)，理由如下：∵AB＝|1＋3|＝4<6，∴在線段AB上找一點P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不行能的．歸納提升：數(shù)軸上基本公式的應(yīng)用(1)已知數(shù)軸上兩點的坐標(biāo)可用兩點間的距離公式求距離，若已知兩點間的距離，也可用距離公式求相應(yīng)點的坐標(biāo)；(2)中點坐標(biāo)公式可以解決三點共線問題．其中已知兩點坐標(biāo)，可用公式求第三點的坐標(biāo)．┃┃對點訓(xùn)練__■3．已知數(shù)軸上，A(－2)，B(x)，C(6)．(1)若A與C關(guān)于點B對稱，求x的值；(2)若線段AB的中點到C的距離大于5，求x的取值范圍．解析：(1)由題意得B點為A、C的中點，∴x＝eq\f(－2＋6,2)＝2.(2)線段AB的中點為eq\f(－2＋x,2)，由題意得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋x,2)－6))>5，解得x>24或x<4.易混易錯警示求解肯定值不等式時不理解肯定值的代數(shù)意義致錯┃┃典例剖析__■典例4求不等式|x－1|＋|x－2|≥3的解集．錯因探究：利用肯定值的代數(shù)意義去肯定值時，肯定要弄清各式值的正負(fù)，否則就會出錯．解析：令x－1＝0，x－2＝0，解得x＝1，x＝2.當(dāng)x<1時，原不等式可化為1－x＋2－x≥3，解得x≤0.∴原不等式的解集為{x|x≤0}．當(dāng)1≤x≤2時，原不等式可化為x－1＋2－x≥3,1≥3明顯不成立．∴原不等式的解集為?.當(dāng)x>2時，原不等式可化為x－1＋x－2≥3，解得x≥3.∴原不等式的解集為{x|x≥3}．綜上可知原不等式的解集為{x|x≤0或x≥3}．誤區(qū)警示：解肯定值不等式時留意：①利用肯定值的代數(shù)意義去掉肯定值符號時，各式值的正負(fù)必需弄清；②在利用零點分段法對肯定值進(jìn)行化簡時，留意x的取值范圍，同時留意不要遺忘解集的確定．學(xué)科核心素養(yǎng)由不等式(組)的解集求參數(shù)的取值范圍┃┃典例剖析__■解這類題一般借助數(shù)軸，將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，然后將求得的不等式解集分三種狀況在數(shù)軸上表示出來，看哪些狀況符合題意．利用解集比照法求參數(shù)的取值范圍：解集比照法中，最關(guān)鍵的在于“對”，即在含參數(shù)的代數(shù)式與給出的解集之間建立對應(yīng)關(guān)系，從而確定參數(shù)的值或取值范圍．典例5關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4＋x,3)>\f(x＋2,2)，,\f(x＋a,2)<0))的解集為{x|x<2}，則實數(shù)a的取值范圍是__(－∞，－2]__.思路探究：先分別求出兩個不等式的解集，然后分狀況確定不等式組的解集，再與已知解集比照可得實數(shù)a的取值范圍．解析：解eq\f(4＋x,3)>eq\f(x＋2,2)得x<2；解eq\f(x＋a,2)<0得x<－a.當(dāng)－a>2，即a<－2時，原不等式組的解集為{x|x<2}．當(dāng)－a＝2，即a＝－2時，原不等式組的解集為{x|x<2}．當(dāng)－a<2，即a>－2時，原不等式組的解集為{x|x<－a}．所以當(dāng)不等式組的解集為x<2時，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]．課堂檢測·固雙基1．不等式3x＋6≤2x的解集為(B)A．[－6，＋∞) B．(－∞，－6]C．[6，＋∞) D．(－∞，6]解析：移項得3x－2x≤－6，即x≤－6，故原不等式的解集為(－∞，－6]．2．不等式|x＋1|>3的解集是(A)A．{x|x<－4或x>2} B．{x|－4<x<2}C．{x|x<－4或x≥2} D．{x|－4≤x<2}解析：由|x＋1|>3，得x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.3．?dāng)?shù)軸上，已知點M(－2