2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第12章算法初步復(fù)數(shù)推理與證明第2講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課時(shí)作業(yè)含解析北師大版

PAGE1-第2講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課時(shí)作業(yè)1．(2024·陜西四校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(3,1－2i)(i是虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(1,5) D．eq\f(1,5)答案B解析∵z＝eq\f(3,1－2i)＝eq\f(3(1＋2i),(1－2i)(1＋2i))＝eq\f(3,5)＋eq\f(6,5)i，∴z的實(shí)部為eq\f(3,5).故選B.2．若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)答案B解析∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，又復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.故選B.3．(2024·河南鄭州模擬)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i,1＋i)，則z的共軛復(fù)數(shù)為()A．1＋i B．1－iC．2＋2i D．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i答案B解析∵復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(2(i＋1),2)＝1＋i，∴復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)＝1－i.故選B.4．(2024·郴州模擬)設(shè)z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)eq\f(2,z)＋z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2答案B解析z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1－i)＋(1－i)2＝eq\f(2(1＋i),(1－i)(1＋i))－2i＝1－i.則向量的模為eq\r(12＋(－1)2)＝eq\r(2).故選B.5．(2024·南昌摸底)已知eq\f((1－i)2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案D解析由eq\f((1－i)2,z)＝1＋i，得z＝eq\f((1－i)2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝eq\f(－2i(1－i),(1＋i)(1－i))＝－1－i.6．(2024·山西呂梁摸底)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(3＋4i,1＋2i)，則||＝()A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．2eq\r(5) D．5答案A解析解法一：z＝eq\f(3＋4i,1＋2i)＝eq\f((3＋4i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq\f(11－2i,5)，所以＝eq\f(11＋2i,5)，||＝|eq\f(11＋2i,5)|＝eq\f(1,5)eq\r(112＋22)＝eq\r(5).解法二：||＝|z|＝eq\f(|3＋4i|,|1＋2i|)＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).故選A.7．(2024·江西新余四中、上高二中聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z滿意z(－1＋2i)＝|1＋3i|2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為()A．－2－4i B．－2＋4iC．4＋2i D．4－2i答案B解析由z(－1＋2i)＝|1＋3i|2，得z＝eq\f(|1＋3i|2,－1＋2i)＝eq\f(10(－1－2i),(－1＋2i)(－1－2i))＝eq\f(－10－20i,5)＝－2－4i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為－2＋4i.故選B.8．(2024·安慶二模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意(1－i)·z＝2i，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是()A．z＝－1－i B．|z|＝2C．z·＝2 D．z2＝2答案C解析由條件知z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i·(1＋i),2)＝－1＋i，A錯(cuò)誤；|z|＝eq\r(2)，B錯(cuò)誤；z·＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，C正確；z2＝(－1＋i)2＝－2i，D錯(cuò)誤．故選C.9．(2024·成都模擬)已知復(fù)數(shù)z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，線段AB的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則|z|＝()A．eq\r(5) B．5C．2eq\r(5) D．2eq\r(17)答案A解析復(fù)數(shù)z1＝2＋6i，z2＝－2i，則z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(2,6)，B(0，－2)，線段AB的中點(diǎn)C(1，2)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝1＋2i，則|z|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).故選A.10．(2024·福州調(diào)研)已知m∈R，i為虛數(shù)單位，若eq\f(1－2i,m－i)>0，則m＝()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．－2答案B解析由已知得eq\f(1－2i,m－i)＝eq\f((1－2i)(m＋i),(m－i)(m＋i))＝eq\f(m＋2＋(1－2m)i,m2＋1)，由eq\f(1－2i,m－i)>0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2>0,1－2m＝0))則m＝eq\f(1,2).選B.11．(2024·益陽、湘潭兩市聯(lián)考)已知命題p：若復(fù)數(shù)z滿意(z－i)(－i)＝5，則z＝6i，命題q：復(fù)數(shù)eq\f(1＋i,1＋2i)的虛部為－eq\f(1,5)i，則下面為真命題的是()A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．p∧q答案C解析由已知可得，復(fù)數(shù)z滿意(z－i)(－i)＝5，所以z＝eq\f(5,－i)＋i＝6i，所以命題p為真命題；復(fù)數(shù)eq\f(1＋i,1＋2i)＝eq\f((1＋i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq\f(3－i,5)，其虛部為－eq\f(1,5)，故命題q為假命題，命題綈q為真命題．所以p∧(綈q)為真命題，故選C.12．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿意eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿意z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿意z1z2∈R，則z1＝2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4答案B解析設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，對(duì)于p1，∵eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命題；對(duì)于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命題；對(duì)于p3，設(shè)z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，則z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，則z1≠2，∴p3不是真命題；對(duì)于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命題．故選B.13．(2024·天津高考)i是虛數(shù)單位，則|eq\f(5－i,1＋i)|的值為________．答案eq\r(13)解析∵eq\f(5－i,1＋i)＝eq\f((5－i)(1－i),(1＋i)(1－i))＝2－3i，∴|eq\f(5－i,1＋i)|＝|2－3i|＝eq\r(13).14．(2024·溫州摸底)滿意eq\f(z＋i,z)＝i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z＝________.答案eq\f(1,2)－eq\f(i,2)解析由已知得z＋i＝zi，則z(1－i)＝－i，即z＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(－i(1＋i),(1－i)(1＋i))＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(i,2).15．(2024·廈門模擬)已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為________．答案eq\r(3)解析∵|z－2|＝eq\r((x－2)2＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由圖可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).16．若A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z＝sinB－cosA＋(cosB－sinA)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限．答案四解析∵A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∴eq\f(π,2)<A＋B<π，∴eq\f(π,2)－B<A<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)－A<B<eq\f