第2章 平面向量（知識(shí)考點(diǎn)）-【中職專(zhuān)用】高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講與測(cè)（高教版2021·拓展模塊一上冊(cè)）解析版

第2第2章平面向量知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模).向量表示方法：向量或；模或.(2)零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的，記作.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，常用表示，特別的：非零向量的單位向量是.(4)平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；特別的：與任一向量平行或共線.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，記作.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量，記作.知識(shí)點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算1．向量的加法(1)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.(2)向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱(chēng)為向量加法的三角形法則.(3)向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.2．向量的減法(1)定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.(2)向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.3．向量的數(shù)乘(1)向量數(shù)乘的定義:一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.4．共線向量定理(1)定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.(2)向量共線定理的注意問(wèn)題：定理的運(yùn)用過(guò)程中要特別注意；特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．知識(shí)點(diǎn)三：向量的內(nèi)積1．兩個(gè)向量的夾角(1)定義：給定兩個(gè)非零向量，，在平面內(nèi)任選一點(diǎn)，作，，則稱(chēng)內(nèi)的為向量與向量的夾角，記作．(2)性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向．(3)向量垂直：如果與的夾角是90°，我們說(shuō)與垂直，記作．由于零向量方向是不確定的，在討論垂直問(wèn)題時(shí)，規(guī)定零向量與任意向量垂直。2．向量數(shù)量積的定義(1)定義：一般地，當(dāng)與都是非零向量時(shí)，稱(chēng)為向量與的數(shù)量積(也稱(chēng)內(nèi)積)；(2)記法：向量與的數(shù)量積記作，即；零向量與任一向量的數(shù)量積為0；(3)由定義可知，兩個(gè)非零向量與的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，這與向量的加法、減法及數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個(gè)向量不同。3．向量的投影及向量數(shù)量積的幾何意義(1)設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，考慮如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱(chēng)上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．(3)幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影的乘積，投影的數(shù)量與投影的長(zhǎng)度有關(guān)，但是投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)。四、向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則(1)；(2)；(3)當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；特別地，或；(4)；(5)知識(shí)點(diǎn)四：向量的坐標(biāo)表示1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加減：若，則；(2)數(shù)乘向量：若，則；(3)若，則(4)任一向量：設(shè)，則.(5)若，則的充要條件為.(6)向量數(shù)量積：若，則；(7)若向量，則考點(diǎn)一向量的概念1．下面關(guān)于向量的說(shuō)法不正確的是A．單位向量：模為1的向量 B．零向量：模為0的向量 C．平行（共線）向量：方向相同或相反的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量【答案】C【解析】根據(jù)向量的定義可得，模為1的向量為單位向量，所以正確；模為0的向量為零向量，所以正確；方向相同或相反的非零向量為共線向量，所以不正確；模相等，方向相同的向量為相等向量，所以正確；故選：C．2．下列命題中正確的是（

）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上【答案】A【解析】?jī)蓚€(gè)相等的向量方向相同且長(zhǎng)度相等，因此起點(diǎn)相同時(shí)終點(diǎn)必相同，故A正確；兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，可能方向不同，也可能模長(zhǎng)不同，故B錯(cuò)誤；兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量可能方向不同，也可能模長(zhǎng)不同，終點(diǎn)未必相同，故C錯(cuò)誤；與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯(cuò)誤，故選：A.3．下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小 B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小 C．向量的大小與方向有關(guān) D．向量的?？梢员容^大小【答案】D【解析】由向量的定義可知：向量之間不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。手挥羞x項(xiàng)說(shuō)法正確．故選：D．4．如圖所示，中，三邊長(zhǎng)均不相等，、、分別是，，的中點(diǎn)．（1）寫(xiě)出與共線的向量；（2）寫(xiě)出與長(zhǎng)度相等的向量；（3）寫(xiě)出與相等的向量．【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3），．【解析】解：（1），分別是，的中點(diǎn)，，與共線的向量為，，，，，，；（2），，分別是，，的中點(diǎn)，，，．，，均不相等，與長(zhǎng)度相等的向量為，，，，；（3）與相等的向量為，．5．若為任一非零向量，為單位向量，下列各式：（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是與同向的單位向量，則＝.其中正確的是________.(填序號(hào))【答案】（3）【解析】由題意知，，對(duì)（1），當(dāng)時(shí)，，不一定有，故(1)錯(cuò)誤；對(duì)（2），與方向不一定相同或相反，所以與不一定平行，故(2)錯(cuò)誤；對(duì)（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正確；對(duì)（4），向量的模非負(fù)，故(4)錯(cuò)誤；對(duì)(5)，與方向不一定相同，所以與方向不一定相同，故(5)錯(cuò)誤，綜上可知（3）正確，故答案：（3）.6．已知平面向量、、，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若、為非零向量，，但不一定等于，故不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可知、同向，于是可知、共線，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若為零向量，，不一定能推出，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，但是兩個(gè)向量方向不一定相同，故不可以推出，故D錯(cuò)誤；故選：B考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算7．的化簡(jiǎn)結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，故選：B.8．下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】，，，①③正確．故選：C．9．化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．10．已知，是兩個(gè)不共線的向量，向量，，求（用，表示）．【答案】【解析】解：，,.11．在四邊形ABCD中，已知，，，其中，是不共線的向量，試判斷四邊形ABCD的形狀．【答案】四邊形是梯形【解析】解：如圖所示，，所以，即，且，所以四邊形是梯形.考點(diǎn)三向量的內(nèi)積12．已知向量、滿(mǎn)足，，且，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?、滿(mǎn)足，，且，所以，故選：C13．設(shè)是任意向量，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】向量的數(shù)量積是數(shù)量，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；是方向上的向量，是方向上的向量，顯然等式不恒成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，向量的數(shù)量積滿(mǎn)足乘法的運(yùn)算法則，選項(xiàng)D正確．故選：D．14．若的夾角為，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】，故選：B15．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，故選：B.16．已知，向量的夾角為，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】，故選：C.17．已知向量，滿(mǎn)足，，且，的夾角為30°，則（

）A． B．7 C． D．3【答案】C【解析】由題意得：，所以，故選：C.18．已知，與的夾角是.（1）求的值及的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】(1)，；(2).【解析】解：（1）∵，與的夾角是，∴，；（2）由題意，，即，解得，即時(shí)，.考點(diǎn)四向量的坐標(biāo)表示19．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所以，故選：D.20．已知向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因?yàn)?，所以，故選：C.21．已知，向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．-2 D．2【答案】D【解析】由，可得，，，因?yàn)?，所以，故選：D.22．已知向量,則k=()A.-12 B.-6 C.6 D.12【答案】D【解析】,由,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12,故選：D.23．已知向量,若,則實(shí)數(shù)λ= ()A.B.