同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版上冊(cè)答案

所以反常積分發(fā)散所以反常積分收斂，且所以解。~。~所以反常積分發(fā)散當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k>1時(shí)，因此當(dāng)k>1時(shí)，反常積分收斂；當(dāng)k≤1時(shí)，反常積分發(fā)散.令f'(k)=0得唯一駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)，同時(shí)也是最小值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，這反常積分取得最小值3.利用遞推公式計(jì)算反常積所以I=n-(n-1)·(n-2)…2·I?.又因?yàn)樗訧=n-(n-1)·(n-2)…2·I?=n!(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上(常義)有界是f(x)在[a,b]上可積的答答必要,充分(2)對(duì)[a,+o]上非負(fù)、連續(xù)的函數(shù)f(x),它的變上限積在[a,+]上有界是反常積分收斂的條件；答答充分.(3)絕對(duì)收斂的反常積分答答收斂.(4)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義且Jf(x)在[a,b]上可積，此時(shí)積分存在解解解寸寸解由洛必達(dá)法則解3.下列計(jì)算是否正確，試說明理由：所以所以61317解不正確，因?yàn)?.設(shè)p>0,證明而71317證明又所以證明已知有不等式即7.計(jì)算下列積分：解8/317解所以,,所以解解22(1)F'(x)≥2;證明10.設(shè)解即1.求圖中各畫斜線部分的面積：解法一畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為[0,1].所求的面積為解法二畫斜線部分在y軸上的投影區(qū)間為[1,e].所求的面積為解畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為[-3,1].所求的面積為解畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為[-3,1].所求的面積為2.求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：①①yA?A?X-z解所求的面積為解所求的面積為y=xx(3)y=e,y=e-*與直線x=1;解所求的面積為解所求的面積為yy=eJ=e(4)y=lnx,y軸與直線y=Ina,y=Inb(b>a>0).解所求的面積為ylnbx0x成的圖形的面積.解y=-2x+4.兩切線的交點(diǎn)為,所求的面積為yy=4x-3)xy=-2x+632O4.求拋物線y2=2px及其在點(diǎn)處的法線所圍成的圖形的面積.".,".,本求得法線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和法線與拋物線所圍成的圖形的面積為法線的斜率k=-1,法線的方程為y5.求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：(1)p=2acos0;yθ解所求的面積為yθp=2acospθ(2)x=acos3t,y=asin3t;解所求的面積為解所求的面積為x=acos3ty=asin3t—(y04(3)p=2a(2+cos0)y解所求的面積為p=2a(2+cosθ)y解所求的面積為4a00=18πa2.解所求的面積為yx=a(I-sint),y=a(1-cost)x=3a2π.x解所求的面積為8.求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積.(1)p=3cosθ及p=1+cosθyyp=3cosAp=l+cosθ重B交點(diǎn)M的極坐標(biāo)為M所求的面積為p2=cos20yy1y=e所求面積為0x最小值.A?成的圖形的面積為A=A?+A?.A?ax2ayy2=4yy2=4axyxa—a0ax-aHOR-x解,x=0,x=a,y=0,繞x軸；19/317解(3)x2+(y-5)2=16,繞x軸.解x=a(I-x=a(I-sint),y=a(1-cost)y解16.16.求圓盤x2+y2≤a2繞x=-b(b>a>0)旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.y17.設(shè)有一截錐體，其高為h,上、下底均為橢圓，橢圓的軸長(zhǎng)分別為2a、2b和2A、2B,求這截錐體的體積.tba-0A—Bxy所以RX19.19.證明由平面圖形0≤a≤x≤b,O≤y≤fx)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)dV=2πxf(x)dx,xx+dxbxay21/317解解了解了解3…5y,23.計(jì)算半立方拋物線被拋物線截得的一段弧的長(zhǎng)度.所求弧長(zhǎng)因?yàn)?yy=2(x-12,所以●●長(zhǎng).解25.計(jì)算星形線x=acos3t,y=asin3t的全長(zhǎng).解用參數(shù)方程的弧長(zhǎng)公式.解用參數(shù)方程的弧長(zhǎng)公式.—ax=a(cost+tsint),y=a(sint-fcost).解由參數(shù)方程弧長(zhǎng)公式,,524/317解用極坐標(biāo)的弧長(zhǎng)公式.29.求曲線pO=1相應(yīng)于自至的一段弧長(zhǎng).解按極坐標(biāo)公式可得所求的弧長(zhǎng)解用極坐標(biāo)的弧長(zhǎng)公式.拉伸6cm,計(jì)算所作的功.解將彈簧一端固定于解將彈簧一端固定于A,另一端在自由長(zhǎng)度時(shí)的點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系.功元素為dW=ksds,所求功為2.直徑為20cm、高80cm的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為10N/cm2的蒸汽.設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功?PV=k=10-(π102.80)=80000π.聲聲B(0,10)yxYx所求功為0dP=1·x·2dx=2xdx,—2m-2m0解建立坐標(biāo)系如圖，則橢圓的方程為解建立坐標(biāo)系如圖，則橢圓的方程為4m—2m壓力元素為9.有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)109.有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)10m和6m,高為20m.較長(zhǎng)的底邊與水面相齊.計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力.解建立坐標(biāo)系如圖.直線AB的方程為Oxydx壓力元素為xA(20,3)受的壓力.2A(0,0)Oyx+dx所求壓力為B要*要*yy0ds=Rdθ0方向自M點(diǎn)起指向圓弧中點(diǎn).引力的大小為y1.一金屬棒長(zhǎng)3m,離棒左端xm處的線密度為解解因x應(yīng)滿足所以2√x+1-2=1,2.求由曲線p=asin0,p=a(cos0+sinO)(a>0)所圍圖形公共部分的面積.yyp=a(cosO+sin0aD=asine005** 于是b=2.解所求旋轉(zhuǎn)體的體積為yyOO=4π2.Ox=√6+1n(√2+√3).薄片在水下上升的高度為r+x,在水上上升的高度為r-x.在水下對(duì)dIW=gπ(r-x)(r2-x2)dx,O平行于液面而位于深h處，設(shè)a>b,液體的比重為p,試求薄板每面ryxx+dxob薄板各面所受到的壓力為αax在第一象限的弧段對(duì)這質(zhì)點(diǎn)的引力.34/317解解2w-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)是平行四邊形.證明證明這說明四邊形ABCD的對(duì)邊AB=CD且AB//CD,從而四邊形ABCD是平行四邊形.DC=0C-OD,因?yàn)槎訟B0把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接.試以AB=c、BC=a表示向量DA、D?A、D?A解解D?AC1D4.已知兩點(diǎn)M(0,1,2)和M?(1,-1,0).試用坐標(biāo)表示式表示向量MM?及-2M,M?.35/317或A(1,-2,3);B(2,3,-4);C(2,-3,-4);D(-2,-3,1).7.在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征?指出下A(3,4,0);B(0,4,3);C(3,0,0);D(0,-1,0).A;B;C;D(0,-1,0).D(0,0,z)在y軸上.稱點(diǎn)的坐標(biāo).解解(1)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于xOy面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,-c);點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于yOz面的對(duì)稱點(diǎn)為(-a,b,c);點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于zOx面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,-b,c).的對(duì)稱點(diǎn)為(-a,b,-c);點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-a,-b,c).垂足的坐標(biāo).(xo,yo,0)、(0,yo,z?)和(xo,0,z?).10.過點(diǎn)Po(xo,yo,zo)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面解在所作的平行于z解在所作的平行于z軸的直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,J0,z);在所11.一邊長(zhǎng)為α的立方體放置在xOy面上，其底面的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，底面的頂點(diǎn)在x軸和y軸上，求它各頂點(diǎn)的坐標(biāo).37/317解因?yàn)榈酌娴膶?duì)角線的長(zhǎng)為解因?yàn)榈酌娴膶?duì)角線的長(zhǎng)為√2a,所以立方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為事,12.求點(diǎn)M(4,-3,5)到各坐標(biāo)軸的距即d?=√42+(-3)2=5.13.在yOz面上，求與三點(diǎn)A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)解設(shè)所求的點(diǎn)為解設(shè)所求的點(diǎn)為P(0,y,z)與A、B、C等距離，則PAl2=32+(y-1)2+(z-2)2,PB|2=42+(y+2)2+(z+2)2,PC|2=(y-5)2+(z-1)2.解之得y=l,z=-2,故所求點(diǎn)為(0,1,-2).角形是等腰三角直角三角形.解因?yàn)榻庖驗(yàn)锳B=√00-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7,AC=√(2-4)2+(4-1)2+(3-9)2=7,BC=√(2-10)2+(4+1)2+(3-6)2=7√2,因此△ABC是等腰直角三角形.15.設(shè)已知兩點(diǎn)M?(4,√2,1)和M?(3,0,2).計(jì)算向方向余弦和方向角.解MM?=(3-4,0-√2,2-1)=(-1,√2,1);MM?F√(-1)2+(√2)2+l2=2;**5555解(1)當(dāng)解(1)當(dāng)cosa=0時(shí)，向量垂直于x軸，或者說是平行于yOz面.直于xOy面.17.設(shè)向量r的模是4,它與軸u的夾角是60°,求r在軸u上的投影.39/317影依次為4,-4,7.求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解得x=-2,y=3,z=0.點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-2,3,0).解因?yàn)榻庖驗(yàn)樗詀=4m+3n-p在x軸上的投影為13,在y軸上的分向量7j.練習(xí)練習(xí)7-2解(1)ab=3×1+(-1)×2+(-2)×(-1)=3,(2)(-2a)·3b=-6a:b=-6×3=-18,a×2b=2(a×b)=2(5i計(jì)j+7k)=10i+2j+14k.于是M?M?同時(shí)垂直的單位向量.解M?M?=(3-1,3+1,1-2)=(2,4,-1),M?M?=(3-3,1-3,3-1)=(0,-2,2).n=√36+16+16=2√17,所求向量為4.設(shè)質(zhì)量為1004.設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點(diǎn)Mi(3,1,8)沿直線稱動(dòng)到點(diǎn)M?(1,4,2),計(jì)算重力所作的功(長(zhǎng)度單位為m,重力方向?yàn)閦軸解F=(0,0,-100×9.8)=(0,0,-980),S=M,M?=(1-3,4-1,2-8)=(-2,3,-6).W=F:S=(0,0,-980)·(-2,3,-6)=5880(焦耳).5.在杠桿上支點(diǎn)O的一側(cè)與點(diǎn)O的距離為xi的點(diǎn)P?處，有一與成角01的力Fi作用著；在O的另一側(cè)與點(diǎn)O的距離為x?的點(diǎn)符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡?解因?yàn)橛泄潭ㄞD(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，解因?yàn)橛泄潭ㄞD(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，x1|Fi?|·sinθ?-x2|F?|·sinθ?=0,6.求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影.解Aa+μb與z軸垂直??(3A+2μ,5A+μ,-2A+4)-(0,0,1)=0,8.試用向量證明直徑所對(duì)的圓周角是直角.42/317OB=-OA,|OC=OA|.因?yàn)?(OC-Q4)·(OC+OA)=OCl2-|OA|2=0,所以AC⊥BC,∠C=90°.(a·b)c-(a·c)b=8c-8b=8(c-b)=8[(i-2j)-(i-j+3k)]=-8j-24k.b+c=2i-3j+3k,解(a×b)·c=-8×1+(-5)×(-2)+1×0=2.10.已知OA=i+3j,OB=j+3k,求△OAB的面積.43/317解根據(jù)向量積的幾何意義，|解根據(jù)向量積的幾何意義，|OAxOB|表示以O(shè)A和OB為鄰邊因?yàn)?A×OB=√(-3)3+(-3)2+l2=√19,所以三角形△OAB的面積為解解設(shè)a=(a?,a2,a?),b=(b?,b?,b?),則有a·b=al-lb|cos(a,b)≤|al·lb于是√a2+a2+a}√b2+b2+b3≥qb?+a?b?+a?b?I,其中當(dāng)cos(a,b)=1時(shí)，即a與b平行是等號(hào)成立.練習(xí)7-31.一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)(2,3,1)和(4,5,6)等距離，求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z),依題意有(x-2)2+(y-3)2+(z-1)2=(x-4)2+(v-5)2+(z-6)2,4x+4y+10z-63=0.球面方程為(x-12+(v-3)2+(z+2)2=14,即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0.解由已知方程得解由已知方程得(x2-2x+l)+(y2+4y+4)+(z2+2z+1)=1+4+1,即(x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=(√6)2,45/317解將方程中的解將方程中的x換成±√x2+y2得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2+y2+z2=9.7.將xOy坐標(biāo)面上的雙曲線4x2-9y2=36分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解雙曲線繞解雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x2-9y2-9z2=36.雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x2+4z2-9y2=36.8.畫出下列方程所表示的曲面：AZyZ23XZZkxZZ22x9.指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別(1)x=2;解在平面解析幾何中，解在平面解析幾何中，x=2表示平行于y軸的一條直線；在空間解析幾何中，x=2表示一張平行于yOz面的平面.47/317(2)y=x+l;(3)x2+y2=4;(4)x2-y2=1.10.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的：是zOx面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的.(3)x2-y2-z2=1;48/317或是yOz面上的曲線(z-a)2=y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的.11.畫出下列方程所表示的曲面：ZZXZZAyLIE/6tXAOZAZZZoyFx表示橢圓柱面與其切5.將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程：,x=1+v3cost,y=√3sinf,z=0.6.求螺旋線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程.;解圓柱體解圓柱體x2+y2≤ax在xOy面上的投影為x2+y2≤ax,它含在圓柱體的公共部分在xOy面上的投影為x2+y2≤ax.程x2+y2=ax得y2=ax-x2,代入半球面方程z=√a2-x2-y2,得z=√a2-ax(0≤x≤a),于是半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影為8.求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0≤z≤4)在三坐標(biāo)面上的投影，解令解令z=4得x2+y2=4,于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0≤z≤4)在x令x=0得z=y2,于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0≤z≤4)在yOz面上的投影為y2≤z≤4.令j=0得z=x2,于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0≤z≤4)在zOx面上的投影為x2≤z≤4.1.求過點(diǎn)(3,0,-1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程。解所求平面的法線向量為n=(3,-7,5),所求平面的方程為解所求平面的法線向量為n=(3,-7,5),所求平面的方程為2.求過點(diǎn)Mo(2,9,-6)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)Mo的線段OMo垂直的平面方程.解所求平面的法線向量為解所求平面的法線向量為n=(2,9,-6),所求平面的方程為2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0,即2x+9y-6z-121=0.54/3173.求過(1,1,-1)、(-2,-2,2)、(1,-1,2)三點(diǎn)的平面方程.解n?=(1,-1,2)-(1,1,-1)=(0,-2,3),n1=(1,-1,2)-(-2,-2,2)=(3,1,0),所求平面的法線向量為所求平面的方程為4.指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：解解x=0是yOz平面.(2)3y-1=0;解3解3y-1=0是垂直于y軸的平面，它通過y軸上的點(diǎn)(0,,0).(3)2x-3y-6=0;別是3和-2.(4)x-√3y=0;解x-√3y=0是通過z軸的平面，它在xOy面上的投影的斜率為(5)y+z=1;(6)x-2z=0;解解x-2z=0是通過y軸的平面.(7)6x+5-z=0.解解6x+5-z=0是通過原點(diǎn)的平面.解此平面的法線向量為n=(2,-2,1)此平面與yOz面的夾角的余弦為此平面與zOx面的夾角的余弦為此平面與xOy面的夾角的余弦為試求這平面方程.解所求平面的法線向量可取為7.求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交點(diǎn).56/317解解線性方程組得x=1,y=-1,z=3.三個(gè)平面的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1,3).8.分別按下列條件求平面方程：解所求平面的法線向量為j=(0,1,0),于是所求的平面為解所求平面的法線向量為j=(0,1,0),于是所求的平面為0-(x-2)-5(y+5)+0·(z-3)=0,即y=-5.解所求平面可設(shè)為Ax+By=0.-3A+B=0,將B=34代入所設(shè)方程得Ax+3Ay=0,所以所求的平面的方程為x+3y=0,57/317解所求平面的法線向量可設(shè)為解所求平面的法線向量可設(shè)為n=(0,b,c).因?yàn)辄c(diǎn)(4,0,-2)與n是垂直的，即b+9c=0,b=-9c,所求平面的方程為9(y-0)-(z+2)=0,即9y-z-2=0.9.求點(diǎn)(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距離.解點(diǎn)(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距離為1.求過點(diǎn)(4,-1,3)且平行于直線的直線方程.解所求直線的方向向量為解所求直線的方向向量為s=(2,1,5),所求的直線方程為2.求過兩點(diǎn)M(3,-2,1)和M?(-1,0,2)的直線方程.解所求直線的方向向量為s=(-1,0,2)-(3,-2,1)=(-4,2,1),所求的直線方程為3.用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線所求直線的方向向量為所求直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)方程為x=3-2t,y=t,z=-2+3t.解所求平面的法線向量解所求平面的法線向量n可取為直線的方向所平面的方程為5.求直與直線的夾角的余弦.為的方向向量分別6.證明直線與直線平行.f。因?yàn)閟?=-3s?,所以這兩個(gè)直線是平行的.的平面方程.60/317解所求平面的法線向量與直線的方向向量所求平面的方程為s=(1,1,3)×(1,-1,-+4j-2k=2(i+2j-k因?yàn)?0.試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系：為n=(4,-2,-2).解所給直線的方向向量為s=(3,-2,7),所給平面的法線向量為解所給直線的方向向量為s=(3,-2,7),所給平面的法線向量為n=(3,-2,7).因?yàn)閟=n,所以所給直線與所給平面是垂直的.n=(1,1,1).62/317直線的方向向量為重重將此方程化為參數(shù)方程x=-1+t,y=2+2t,z=—t(-1+f)+2(2+2t)-(-t)+1=0,的距離.過點(diǎn)P且與已知直線垂直的平面的方程為解線性方程組;14.設(shè)M是直線L外一點(diǎn)，M是直線L上任意一點(diǎn)，且直線的方向向量為s,試證：點(diǎn)Mo到直線L的距離LSModMN程.解過直線的平面束方程為(4-l,1)·(2+3A,-4-A,1-2A)=0,故投影直線的方程(1)x=0,y=0,z=0,x=2,y=1,3x+4y+2z-12=0;Z634X(2)x=0,z=0,x=l,y=2,Z1122 0kX0y向量OM的坐標(biāo)為67/317解解M(x-xo,y-y?,2-20),OM=(x,y,z)個(gè)向量是的.解共面。解共面。解3.解3.所以=3.解解于是解36.解36.解設(shè)所求點(diǎn)為解設(shè)所求點(diǎn)為M(0,y,0),則有解線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為d=√(4+1)2+(-1-1)2+(3-2)2=√30.ABD解C69/317所以從而DE//BC,且.B?CDE解得z=1.a-b|2=(a-b)-(a-b)設(shè)向量a+b與a-b的夾角為0,則所以(a+3b)·(7a-5b)=0,(a-4b)·(7a-2b)=0,得z=-4.當(dāng)z=-4時(shí)，,所以形的面積.解(a+2b)×(a-3b)=-3a×b+2b×a=5b×a.以a+2b和a-3b為邊的平行四邊形的面積為。解解設(shè)j=(x,y,z).因?yàn)閞la,rlb,所以r.a=0,rb=0,即解線性方程組72/31712.設(shè)a=(-1,3,2),b=(2,-3,-4),c=(-3,12,6),證明三向量ab、c共面，并用α和b表示c.(-λ+2μ,3A-3μ,2λ-4)=(-3,12,6),13.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y,z)到xOy平面的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)(1,-1,2)的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程.解根據(jù)題意，有|z=√(x-D)2+(y+1)2+(z-2)2,z2=(x-1)2+(v+12+(z-2)2,(x-1)2+(y+1)2=4(z-1),14.指出下列旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸：(1)z=2(x2+y2);解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為zOx面上的曲線z=2x2,旋轉(zhuǎn)軸為z軸.(3)z2=3(x2+y2);旋轉(zhuǎn)軸為z軸.心聲解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為xOy面上的曲線心聲旋轉(zhuǎn)軸為x軸.方程.74/317按要求有5(x-3)±√26y+3z=0,解直線解直線s=(0,1,-1)×(1,0,0)=(0,-1,-l).:3(-1+t)-4(3+t)+2t-l=0,所求直線的方向向量為所求直線的方程為重重△ABC的面積最小.。因?yàn)榱钏簏c(diǎn)為19.求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.77/317即20.求錐面z=√x2+y2與柱面z2=2x所圍立體在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.和5OyxZ0y1x(3)圓錐面z=√x2+y2及旋轉(zhuǎn)拋物面z=2-x2-y2;Z21.判定下列平面點(diǎn)集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集?并分別指出它們的聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集(稱為導(dǎo)集)和邊界.(1){(x,y)x≠0,y≠0};解開集，無界集，導(dǎo)集為R2,邊界為{(x,y)x=0或y=0}.(2){(x,y)l<x2+y2≤4};邊界為{(x,v)x2+y2=1或x2+y2=4}.(3){(x,y)y>x2};解開集，區(qū)域，無界集，導(dǎo)集為{(x,y|解開集，區(qū)域，無界集，導(dǎo)集為{(x,y|yzx2},邊界為{(x,y|y=x2}.解閉集，有界集，導(dǎo)集與集合本身相同，解閉集，有界集，導(dǎo)集與集合本身相同，邊界為{(x,y)|x2+(y-1)2=1}u{(x,yx2+(y-2)2=4}.3.試證函數(shù)F(x,y)=Inx-Iny滿足關(guān)系式：F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,)+F(y,v).證明證明F(xy,av)=In((x,y)-In(uv)=(nx+Iny)(nu+Inv)=Inx.nu+Inx.nv+hnylnu+Inylnv=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).5.求下列各函數(shù)的定義域：解要使函數(shù)有意義，必須x+y>0,x-y>0,解要使函數(shù)有意義，必須x+y>0,x-y>0,故函數(shù)的定義域?yàn)镈={(x,y|x+y>0,x-y0}.故函數(shù)的定義域?yàn)镈={(x,y|y-x>0,x≥0,x2+y2<1}.81/317解要使函數(shù)有意義，必須解要使函數(shù)有意義，必須R2-x2-y2-z2≥0且x2+y2+z2-r2>0,故函數(shù)的定義域?yàn)镈={(x,y,z)|r2<x2+y2+z2≤R2}.6.求下列各極限：解解解82/317解7.證明下列極限不存在：證明如果動(dòng)點(diǎn)p(x,y)沿y=0證明如果動(dòng)點(diǎn)p(x,y)沿y=0趨向(0,0),因此，極限不存在.83/317證明如果動(dòng)點(diǎn)證明如果動(dòng)點(diǎn)p(x,y)沿y=x趨于(0,0),因此極限不存在.8.函數(shù)在何處間斷?9.證明證明因?yàn)樽C明因?yàn)樗怨?在(xo,yo)處連續(xù).從而|F(x,y)-F(xo,yo)=lf(x)-f(xo)<c,所以F(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)處連續(xù).解--5解解)(3)z=√In(xy);解解根據(jù)對(duì)稱性可知解解解解..(8)u=arctan(x-y);解。,試證所以,求證;所以求f(x,1).所以5.曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與正向x軸所成的傾角是多少?,解,;56.求下列函數(shù)的5解;;3**);解5·解5解··;;及fzx(2,0,1).解因?yàn)榻庖驗(yàn)閒=y2+2xz,fx=2z,f=2x,f=2yz+x2,f=2y,fzx=0,所以fxx(0,0,1)=2,fx?(1,0,2)=2,f?(0,-1,0)=0,fzx(2,0,1)=0.8.設(shè)z=xln(xy),求解;·西西(1)y=e-kn2tginnx滿足證明因?yàn)槁?8/317證明;,;,因此1.求下列函數(shù)的全微分：解解所以89/317解因?yàn)閟,n,n所以du=yzxyz-1dx+zXvzInxdy+jwyzInxdz2.求函數(shù)z=In(1+x2+y2)當(dāng)x=1,y=2時(shí)的全微分.解因?yàn)?5所以3.求函數(shù)當(dāng)x=2,y=1,Ax=0.1,Av=-0.2時(shí)的全增量和全微分.門解因?yàn)殚T54.4.求函數(shù)z=e當(dāng)x=1,y=1,△x=0.15,△y=0.1時(shí)的全微分解因?yàn)閐z=e-0.15+e·0.1=0.25e所以取x=1,y=2,△x=0.02,△y=-0.03可得90/317當(dāng)x=6,y=8,△x=0.05,△y當(dāng)R=4,h=20,△R=△h=0.1時(shí)，試求利用上述二值來計(jì)算斜邊長(zhǎng)度時(shí)的絕對(duì)誤差.和相對(duì)誤差.所以三角形面積的近似值為2127.82m2,所以三角形面積的近似值為2127.82m2,*11.利用全微分證明：兩數(shù)之和的絕對(duì)誤差等于它們各自的絕對(duì)誤差之和.*12.利用全微分證明：乘積的相對(duì)誤差等于各因子的相對(duì)誤差之和；商的相對(duì)誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對(duì)誤差之和.由此可得相對(duì)誤差：解2.設(shè)z=u2lnv,ī,v=3x-2y,求5解。解(3)u=f(x,xy,xyz).解證明35,解令u=xy,v=y,則z=f(u,v)。96/317和97/317解zx=fi'y2+?'.2xy=y2fi'+2xyfz',zy=fi'2xy+f?'x2=2xyfi'+x2fz';=y4f?"+4xy3fi?"+2yf?"+4x2y2f2?",Zx=2yfi'+y2[fi”·2xy+fi2":x2]+2xf2'+2xy[zi"?2xy+22"x2]=2yfi'+2xy3fii"+x2y2fi2"+2xf2'+4x2y2f2i"+2x3yf22"=2yfi'+2xy3fi"+5x2y2fi?"+2xfz'+2x3yf22",2EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(=),2)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(2a),yi)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(+),4)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(2x),x2)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(fi"2),yfi)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(x),")EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(i2"),x3)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(x21),yh)EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(2?),x)"EQ\*jc3\*hps56\o\al(\s\up29(y),”)+f2"c2](4)z=f(sinx,cosy,e+).Zy=fz'(-siny)+f3'e+=-sinyf?'+e+f3',=-sinycosxfi2"+e+cosxfi?'+e+f'-e+sinyf32'+e2(x+f33'Zwy=-cOsyf?'-siny[f22":(-siny)+f23".eX+y]+e+f'+e+[f3z":(-siny)+f33'-e+]5353…證明因?yàn)?■■則?2?圈圈,4.設(shè)則cc所以5.設(shè)2sinx+2y-3z)=x+2y-3z,證明證明設(shè)F(x,y,z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z,則2解因?yàn)榱ψC明因?yàn)?.設(shè)e-xyz=0,Fx=-yz,F=e-xy,555D5331。EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up5(1),.)3手手即32證明由方程組證明由方程組可確定兩個(gè)一元隱函練習(xí)8-6解解x'(t)=1-cost,y(t)=sint,。,2.求曲線;即,所求的切線方程為3。即16x+9y-z-24=0..5n=(Fx,Fy,F?)=(2ax,2by,2cz)=(ax,by,cz).n=(Fx,Fy,F?)=(2x,4y,2z)=2(x,2y,z).員。所求切平面方程為即即戶戶■。?3.求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線線方向的方向?qū)?shù).,5處的內(nèi)法向量為2所以5,又因?yàn)橛忠驗(yàn)樗訧=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12),并且5522所以為又885尸所以gradf(0,0,0)=3i-2j-6k,尸gradf(1,1,1)=6i+3j.(1)grad(u+v)=gradu+gradv;解=gradu+gradv.(2)grad(wv)=vgradu+ugradv;解=vgradu+ugradv.解解解解解解方程組解解方程組求得駐點(diǎn)為(2,-2),由于A=fx(2,-2)=-2<0,B=fa(2,-2)=0,C=f(2,-2)=-2,AC-B2>0,f(2,-2)=8.2.求函數(shù)f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的極值.解解方程組解解方程組得。fm(x,y)=-2(4y-y2),fo(x,y)=4(3-x)(2-v),f(x,y)=-2(6x-x2).fx=0,fy=24,fy=0,AC-B2=-242<0,fx=0,fo=-24,fy=0,AC-B2=-242<0,fx=-8,fy=0,fy=-18,AC-B2=8x18>0,又A<0,所以f(3,2)=3655s3.求函數(shù)f(x,y)=e2(x+y2+2y)的極值.因?yàn)樵邳c(diǎn),,.3得唯一可能的極值點(diǎn)。解方程組,即■解設(shè)球面方程為解設(shè)球面方程為x2+y2+z2=a2,(x,y,z)是它的各面平行于坐標(biāo)面的內(nèi)接長(zhǎng)方體在第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn)，則此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為2x,2y,2z,體積為令F(x,y,z)=8xyz+2(x2+y2+z2-a2).得唯一駐點(diǎn)由題意可知這種長(zhǎng)方體必有最大體積，所以當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都時(shí)其體積最大.10.拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最短距離.解設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z),則原點(diǎn)到橢圓上這一點(diǎn)的距離平方為d2=x2+y2+z2,其中x,y,z要同時(shí)滿足z=x2+y2和x+y+z=1.令F(x,y,z)=x2+y2+z2+Ai(z-x2-y2)+h?(x+y+z-1).解方程組得駐點(diǎn),z=2F√3.它們是可能的兩個(gè)極值點(diǎn)，由題意這種距離的點(diǎn)處所以d?=√9+5√3為最長(zhǎng)距離；d?=√9-5√31.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的在點(diǎn)連續(xù)是f(x,y)在該點(diǎn)可微分的條件。解充分；必要.解充分；必要.解必要；充分.解必要；充分.解充分解充分.解充分解充分.解函數(shù)的定義域?yàn)閧解函數(shù)的定義域?yàn)閧(x,y)|0<x2+y2<1,y2≤4x}4.證明極不存在.所以不存在.5.設(shè),求fx(x,y),fy(x,y).因此3解3解ssee5;解2解nn解=efi+xe2fll+e'fl+xe'f+fy·解得du=e=“cosvdx+e-"sinvdy,dv=-e?"sinvdx+e-“cosvdy.又由z=uv得=v(e“cosvdx+e-“sinvdy)+u(-e-“sinvdx+e-“cosvdy)從而13.求螺旋線x=acosθ,y=asinθ,z=b0在點(diǎn)(a,0,0)處的切線及法平面方程.解點(diǎn)解點(diǎn)(a,0,0)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為O=0,所以點(diǎn)(a,0,0)處的切向量為a(y-0)+b(z-0)=0,即ay+bz=0.14.在曲面z=xy上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面x+3y+z+9=0,并寫出這法線的方程.解已知平面的法線向量為解已知平面的法線向量為no=(1,3,1).設(shè)所求的點(diǎn)為(xo,yo,zo),則曲面在該點(diǎn)的法向量為n=(vo,xo,-1).由題意知n//no,即于是xo=-3,yo=-1,zo=xovo=3,9于0.因?yàn)橐虼思?最短的點(diǎn). 令令解方程組得,即。切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為;:,33下的最大值的問令;此時(shí)最小體積練習(xí)9-1其中D?={(x,y)|-1≤x≤1,-2≤y≤2};證明即解區(qū)域D解區(qū)域D解區(qū)域D解區(qū)域D與即即9≤x2+4y2+9≤4(x2+y2)+9≤25.即練習(xí)9-2解積分區(qū)域可表示為D:-1≤x≤1,-1≤y≤1.于是解積分區(qū)域可表示為D:0≤x≤2,0≤y≤2-x.于是o解角形閉區(qū)域.y=5D={(x,y)-1≤x≤0,-x-1≤y≤x+1}u{(x,y)|O≤x≤1,x-1≤y≤-x+1}.證明而而故恩所以=4xD=o恩所以=4xD=oD={(x,y)-r≤x≤r,0≤y≤√r2-x2},242-2所以,或所以,可o丘解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D={(x,y)1≤x≤e,O≤y≤Inx},如圖.因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D={(x,y)|-1≤y≤0,-2arcsiny≤x≤π}U{(x,y)|0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny},所以8.計(jì)算由四個(gè)平面x=0,y=0,x=1,y=1所圍成的柱體被平面z=0及解立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1-x},所求立體的解積分區(qū)域D解積分區(qū)域Dp-h138/317(4){(x,y)|0≤y≤1-x,0≤x≤1}.22解積分區(qū)域D如圖所示.因?yàn)樗越夥e分區(qū)域解積分區(qū)域D如圖所示，并且c9o-ooo《p-2所以所以oop=1解因?yàn)榉e分區(qū)域可表示為D={(x,y)|a≤y≤3a,y-a≤x≤y},所以解在極坐標(biāo)下D={(p,0)|0≤O≤2π,a≤p≤b},所以D16.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線p=20上一段引與直線所圍成，它的面密度為A(x,y)=x2+y2.求這薄片的質(zhì)量.解區(qū)域如圖所示.在極坐標(biāo)下,0≤p≤20},所以所求質(zhì)量為17.求由平面y=0,y=kx(k>0),z=0以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所解此立體在x0y面上的投影區(qū)域D={(x,y)|0≤Okarctank,O≤p≤R}.18.計(jì)算以xOy平面上圓域x2+y2=ax圍成的閉區(qū)域?yàn)榈?，而以曲面z=x2+y2解曲頂柱體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈={(x,y)x2+y2≤ax}.在極坐標(biāo)下,0≤p≤acosθ},所以1.化三重積分解積分區(qū)域可表示為Ω={(x,y,z)|0≤z≤xy,0≤y≤1-x,0≤x≤1},解積分區(qū)域Q可表示為x2+2y2≤z≤2-x2,-√1-x2≤y≤√1-x2于是于是解解證明解積分區(qū)域可表示為解積分區(qū)域可表示為Q={(x,y,z)|0≤z≤xy,0≤y≤x,0≤x≤1},xZ=xyAy0Z55.計(jì)其中Ω為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的四解積分區(qū)域可表示為Ω={(x,y,z)|0≤z≤1-x-y,O≤y≤1-x,O≤x≤1},x+y+z=11于是解積分區(qū)域可表示為于是7.計(jì)其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及拋物柱面y=x2所解積分區(qū)域可表示為8.計(jì)算,其中Ω是由錐面與平面z=h(R>0,h>0)為面積為于是0≤O×2π,O≤p≤1,p2≤z≤√2-p2,解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為5于是解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為于是解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Q可表示為2于是az=√x2+y2ax0解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為于是ZZr=Cosθ于是O0x解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為y解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Q可表示為于是解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為0≤O≤2π,a≤r≤A,并且x2+y2=r2sin2pcos2φ+r2sin2φsin20=r2sin2φ,于是0aAyZZZ6解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為于是0xz=pz=6-p解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域Q可表示為于是Z=r0aFxr=2acosφZaZZ解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域O可表示為于是xZ=p0ZZ解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域Ω可表示為VxyO于是z=√a2-x2-y25a于是25于是的表面積.解令密度為=1,所求質(zhì)心為(2)D是半橢圓形閉區(qū)域所求質(zhì)心為yD薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為z=1z=pyOXZZaAy/x解解y所以立x求Iy;解積分區(qū)域D可表示為于是(2)D由拋物線與直線x=2所圍成，求I和I;解積分區(qū)域可表示為0≤x≤2,-3√x/2≤y≤3√x/2,于是解解由對(duì)稱可知解由對(duì)稱性知x=y=0.解Zh0xD={(x,y,0)|R≤√x2+y2≤R?,x≥0},EQ\*jc3\*hps55\o\al(\s\up47(閉),y)EQ\*jc3\*hps55\o\al(\s\up47(區(qū)域),222)則有解解(C).D={(x,y)-a≤x≤a,x≤y≤a},D?={(x,y)|0≤x≤a,x≤y≤a},2.計(jì)算下列二重積分：解積分區(qū)域可表示為D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x+1},于是解解yDθRX0因?yàn)樗越夥e分區(qū)域?yàn)镈=D?+D?,其中所以原D?={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y2},D?={(x,y)|1≤y≤2,0≤x≤√2y-y2}y=√xQyD2Xy—D0解積分區(qū)域可表示為…?！?。Q:0≤0≤2π,R,R-\R2-p2≤z≤RJR2-p2所以所以x=55Z所以0x8.求平Cx≥0,y≥0},于是aFxZ亦即解得所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為練習(xí)10-1d=y2A(x,y)ds,dly=x2a(x,y)ds.。:2證明劃分L,使得L?和L?解:=汽，=x(0sxs號(hào)4,因而解解解T=AB+BC+CD,其中BC:x=t,y=0,z=2(0≤t≤3),CD:x=1,y=t,z=2(0≤t≤3),(0≤t≤2π);角88解解所以圓弧的重心為故重心坐標(biāo)為則L:x=a,y=t,t從b?變到b?.于是證明L:x=x,y=0,t從a變到b,所以L?:x=a+acost,y=asint,t從0變到π,L?:x=x,y=0,x從0變到2a.L?(x-a)2+y2=a22axL?0解解T=AB+BC+CA,其中AB:x=x,y=1-x,z=0,x從1變到0,CA:x=x,y=0,z=1-x,x從0變到1,0A4AxByx00x解L:x=3y-2,y=y,y從1變到2,故y0XL?:x=1,y=y,y從1變到2,L?:x=x,y=2,x從1變到4,0x解L:x=2t2+t+1,y=t2+1,t從0變到1,故5.一力場(chǎng)由沿橫軸正方向的常力F所構(gòu)成，試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周x2+y2=R2按逆時(shí)針方向移過位于第一象限的那一段時(shí)場(chǎng)力所作的功.解已知場(chǎng)力為F=(|F,0),曲線L的參數(shù)方程為7.把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線y故y故0把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分練習(xí)10-解解L=L?+L?+L?+L?,故L?2DL?而所以L?L?yO2x解解橢圓9x2+16y2=144的參數(shù)方程為x=4cosθ,y=3sinθ,0≤0≤2π,故3.計(jì)算曲線積向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.,其中L為圓周(x-1)2+y2=2,L的方cL即D:從1變到2,則180/3170D解解P=2xy3-y2cosx,Q=1-2ysinx+BL-A0x故D寸LD故A(1,1)X6.驗(yàn)證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個(gè)xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)證明因?yàn)閭€(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分.定義在整個(gè)xOy平面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分.解因?yàn)樗訮(x,y)dx+Q(x,y)dy義在整個(gè)xOy平面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分.(5)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy.某個(gè)函數(shù)u(x,v)的全微分=y2sinx+x2cosy+C.7.設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為X=x+y2,Y=2xy-8,這變力確證明劃分21為m有心心故dS=√1+z2+z2dxdy=√1+4x2+4y2drdy.因此(3)f(x,y,z)=3z.5.計(jì)其中2是：解將2分解為Z=21+22,其中Z?:z=1,D?:x2+y2≤1,dS=dxdy;因而6.計(jì)算下面對(duì)面積的曲面積分：解有限部分.ds=√1+z2+z2dxdy=√1+x2+y2dxdy.因此zZ24:z=1-x-y,Dy:0≤x≤1,0≤y≤1-x.2Z?/xn=(F,F,F)=(3,2,2√3),于是n=(Fx,Fy,F?)=(2x,2y,1),解由高斯公式解由高斯公式解由高斯公式解由高斯公式4解由高斯公式解由高斯公式解解P=yz,Q=xz,R=xy,解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2,半徑R=3的球面，流向外側(cè).3.求下列向量A的散度：解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy,解P=e,Q=cos(xy),R=cos(xz2),解P=y2,Q=xy,R=xz,5-pzcOsadS,-pzcosβdS,-pzCosydS,之,其中T為橢圓x2+y2=a2,解設(shè)∑為平于是 (1)A=(2z-3y)i+(3x-2)j+解解解解=[xsin(coy)-xy2cos(xz)]i-ysin(cos)j+[y2zcos(xz)-x2cosy]k.3.利用斯托克斯公式把曲面積分化為曲線積分，并計(jì)算積分值，其中A、Z及n分別如下：解設(shè)解設(shè)∑的邊界F:x2+y2=1,z=0,取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程為x=cosθ,y=sinθ,z=0(0≤O≤2π,(2)A=(y-z)i+yzj-xzk,Z為立方體0≤x≤2,0≤y≤2,0≤z≤2的表面外側(cè)去掉xOy面上的那個(gè)底面，n是Σ的單位法向量.解4.求下列向量場(chǎng)A沿閉曲線T(從z軸正向看依逆時(shí)針方向)的環(huán)(1)4=-yi+xj+ck(c為常量解(2)A=(x-2)i+(x3+y2)j-3xy2k,其中I為圓周z=2-√x2+y2,z=0.解有向閉曲線T的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=2sinθ,z=0(0≤≤2π).向量場(chǎng)A沿閉曲線T的環(huán)流量為5.證明rot(a+b)=rota+rotb.b=P?(x,y,z)i+Q?(x,y,z)j+R?(x,y,z)k,解;(D解(C).解(C).解解曲線T的一般方程為其參數(shù)方程為從0變到2π.于是于是而所以其中Z為曲面p=√x2+y2.解場(chǎng)力沿路徑解場(chǎng)力沿路徑L所作的功為令5;Q={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}解解解解解一般項(xiàng)為解一般項(xiàng)為解一般項(xiàng)解一般項(xiàng)為解一般項(xiàng)為解一般項(xiàng)為解一般項(xiàng)為解32是收斂的.練習(xí)11故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.解因?yàn)?.用比值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為因?yàn)樗约?jí)數(shù)發(fā)散.所以級(jí)數(shù)收斂.所以級(jí)數(shù)收斂.所以級(jí)數(shù)收斂.3.用根值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：210/317所以級(jí)數(shù)收斂.解這因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂.解這里因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂.故所給級(jí)數(shù)發(fā)散.條件收斂?解這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)解這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)其中因?yàn)轱@然ua≥ua+1,并且,所以此級(jí)數(shù)是收斂的.解這是交錯(cuò)級(jí)解這是交錯(cuò)級(jí),并且因?yàn)榧?jí)是收斂的，所以原級(jí)數(shù)也收斂，并且絕對(duì)收斂.解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)其中因?yàn)閡n≥Un+1,并,所以此級(jí)數(shù)是收斂的.又因?yàn)槎?jí)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)是條件收斂的..所以級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)1131.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：解故收斂半徑為R=1.所以收斂域?yàn)閇-1,1].解則則則練習(xí)11-4因?yàn)樗运?所以所以所以所以解因?yàn)榧吹膬缂?jí)數(shù).解解即而即即因此解又2故2220/317解由于故故2221/317解解2解5因?yàn)?解因?yàn)?子子所以因此(x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,.·).(x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,.·).(x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,.).和和2(-π<X<π).同理解因?yàn)榻庖驗(yàn)閒(x)為奇函數(shù)，故an=0(n=0,1,2,…·),而(x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,·).解作奇延拓得F(x):因?yàn)閍n=0(n=0,1,2,…),而故級(jí)數(shù)在x=0處收斂于0.級(jí)數(shù)在x=0處收斂于0.(k=1,2,…);因?yàn)?k=1,2,…)解因?yàn)樗詀?k+1=0(k=1,2,.)練習(xí)11-8解230/317解ao=0(n=0,1,2,.),故bn=0(n=1,2,..·),故ao=0(n=0,1,2,.…),故bn=0(n=1,2,·),故收斂的條件；解因?yàn)榻庖驗(yàn)榻庖驗(yàn)榻庖驗(yàn)榻庖驗(yàn)樽C明因?yàn)楹投际諗?，?。斂?試說明理由.解級(jí)不一定收斂.解解是p級(jí)數(shù).故當(dāng)p>1時(shí)級(jí)是收解因?yàn)榻庖驗(yàn)榻庖驗(yàn)榻庖驗(yàn)?36/317解令解令因?yàn)楣视杀戎祵彅糠ㄖ?jí)收斂，解設(shè)的前n項(xiàng)部分和.所3因所3數(shù)發(fā)散.因?yàn)樗约?jí)數(shù)天均發(fā)散，從而收斂域時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散.解.即口解因?yàn)橛掠陆庖驗(yàn)楣式饨饧?2.將函數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).243/317an=0(n=0,1,2,…),bn=0(n=1,2,…),解三階解三階.解二階解二階.解一階.解一階.y"=CA2ex+C?2?2e^?x.2x-y-xy'+2yy2=0,,艮246/317(3)y=C?sin(c-C?),yk=n=1,y'x==0.解y'=C?cos(x-C?).由yk==1,y'kx==0得5.寫出由下列條件確定的曲線所滿足的微分方程：的變化率與氣壓成正比，所溫度的平方成反比.(2)曲線上點(diǎn)P(x,y)處的法線與x軸的交點(diǎn)為Q,且線段PQ被由條件第PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,0),從而有.56.用微分方程表示一物理命題：某種氣體的氣壓P對(duì)于溫度T解其中k為比例系數(shù).(1)xy'-ylny=0;解分離變量得解分離變量得兩邊積分得為任意常數(shù).解分離變量得兩邊積分得分離變量得兩邊積分得解分離變量得即In(tany)=-ln(tanx)+InC,解分離變量得兩邊積分得或10-=10~+C,解方程變形為e'(e+1)dy=e*(1-e)dx,解分離變量得故通解為sinxsiny=C.解分離變量得即250/317解分離變量得解分離變量得即即或解分離變量得即即或-ln(cosy)=-ln(cosx)-InC,251/317解分離變量得即即或■解分離變量得即即或解分離變量得兩邊積分得即即或Iny=-2lnx+lnC,y=Cx-2.所以特解為3.有一盛滿了水的圓錐形漏漏斗，高為10cm,頂角為60°,漏斗下面有面積為0.5cm2的孔，求水面高度變化的規(guī)律及流完所需的時(shí)間.解設(shè)t時(shí)該已流出的水的體積為V,高度為x,則由水力學(xué)有即因此故水從小孔流出的規(guī)律為令x=0,得水流完所需時(shí)間約為10s.4.質(zhì)量為1g(克)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)，這外力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比.在t=10s時(shí)，速度等于50cms,外力為4gcm/s2,問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少?252/317■試求鐳的量R與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.解由題設(shè)知，InR=-At+C?,又由于當(dāng)t=1600時(shí)，,,從而因此:;254/317.5dx=kat(h-at)dt,。練習(xí)12-3解原方程變?yōu)閯t原方程化為8383將將解原方程變?yōu)閯t原方程化為將將解這是齊次方程.即y=xu,則原方程化為4解這是齊次方程.解這是齊次方程.即y=xu,則原方程化為3解原方程變將代入上式得原方程的通解將解原方程變解原方程變則原方程化為,即分離變量得兩邊積分得將解這是齊次方程.即y=xu,則原方程化為(x2u2-3x2)(udx+xdu)+2x2udx=0,將代入上式得原方程的通解將兩邊積分得將代入上式得原方程的通解y2=2x2(Inx+C).(3)(x2+2xy-y2)dx+(y2+2xy-x2)dy=0,yk=1=1.解這是齊次方程.令即y=xu,則原方程化為(x2+2x2u-x2u2)dx+(x2w2+2x2u-x2)(udx+xdu)=0,即即或兩邊積分得將代入上式得原方程的通解x+y=C(x2+y2).3.設(shè)有連結(jié)點(diǎn)0(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲線弧OA,對(duì)于OA上任一點(diǎn)P(x,y),曲線弧OP與直線段OP所圍圖形的面積為x2,求曲線弧OA的方程.,,,,解解原方程變?yōu)榻饨饨饨饨庠匠套冃螢榻饨?:5.解22寸寸解5解y=el*(J2xeldx+C)=e*(2?xe*dx+C),,即,:即或解原方程可變形為解原方程可變形為解原方程可變形為解原方程可變形為即265/317解原方程可變形為即解原方程可變形為解原方程可變形為解原方程可變形為即.即dx=-udu.。兩邊積分得,,解原方程變形為令u=y+sinx-1,則原方程化為將u=y+sinx-1代入上式得原方程的通解解原方程變形為解原方程變形為令u=xy,則原方程化為將u=xy代入上式得原方程的通解即2x2y2lny-2xy-1=Cx2y2(C=2C?).練習(xí)12-即解這里P=a2-2xy-y2,Q=-(x+y)2.因?yàn)榻膺@里P=e,Q=xe"-2y.因?yàn)?69/317解這里P=x2-y,Q=-x.因?yàn)樗源朔匠淌侨⒎址匠?，其通解為即解這里P=y(x-2y),Q=-x2.因?yàn)樗源朔匠滩皇侨⒎址匠?所以此方程是全微分方程，其通解為日口SHp(e20+1)=C.(8)(x2+y2)dx+xydy=0.解這里P=x2+y2,Q=xy.因?yàn)?n,n9所以此方程不是全微分方程.270/317解方程兩邊同時(shí)乘以解方程兩邊同時(shí)乘以得解方程兩邊同時(shí)乘以解方程兩邊同時(shí)乘以得,即2解原方程變形為解原方程變形為兩邊同時(shí)乘并整理得解方程兩邊同時(shí)乘解方程兩邊同時(shí)乘得,即門解原方程變形為解原方程變形為2所以5.其通解為即其通解為即解原方程變?yōu)槠浞e分因子為在方程的兩邊乘以x2得x2y'+2xy=4xInx,即(x2y)=4xlnx,x2y=J4xlnxdx=2x2lnx-x2+C,解積分因子為cosx.y-sinx.y=xcosx,即(cosx.y)=xcosx,解原方程的通解為原方程的通解為解兩邊積分得arctanp=x+C1,即y'=p=tan(x+C1),原方程的通解為y=-1n|cos(x+C?)|+C?.(5)y'=y'+x;p'-p=x,即y=C?Inx+C?.,即2922兩邊積分得arcsinC1y)=±Cix+C?,√Cy2-1=±(Cx+C?)由;即;■故所求特解為C?=-1,y'=±√e2y-1,333即pdp=3√ydy,。55。于是從,In(ev+√e2y-1)=±x+C?.解■■練習(xí)12-7(2)x,2x;解因解因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以e-;e是線性無關(guān)的.(5)cos2x,sin2x;解因?yàn)榻庖驗(yàn)?7)sin2x,cosx.sinx;線性無關(guān)的.(9)lnx,xlnx;解解因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以Inx,xlnx是線性無關(guān)的.(10)e*,e"(a≠b).解解因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以e“,ex是線性無關(guān)的.22.驗(yàn)證yi=COsax及y?=sinox都是方程y'+o2y=0的解，并寫出該方程的通解.yi"+w2yi=-w2cosox+w2coscx=0,并不恒為常數(shù)，所以y?=cOsax與y?=sinax是方程的y=C?cosax+C?sinox.283/317y-4xy{+(4x2-2)y?=2e22+4x2e22-4x·2xe2+(4x2-2)-e2=0,1-.1-.,,的通解.解令解令yi=x?,;因?yàn)榍?1::5因?yàn)?86/317y?(4)-y=e*-e=0,y?(4)-y2=e--e-*=0,y?4)-y?=sinx-sinx=0,并且從而Y=Cie+C?e+C?cosx+C4sinx是方程的通解.y*(4_y*=0-(-x2)=x2,所以y*=-x2是方程y(4y=x2的特解.因此y=Cie*+C?e?*+C?Cosx+C?sinx-x2是方程y(4-y=x2的通解.令kie?+k?e-×+k?cosx+k?sinx=0,kie+k?e--k?cosx-k?sinx=0,kie+k?e×+k?sinx-k?cos解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為其根為r?=1,r2=-2,故微分方程的通解為287/317解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為288/317解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為r?-1=0,即(r-1)(r+1)(r2+1)=0y=C?e?+C?e-*+C?cosx+C?sinx.(8)y?+2y"+y=0;解微分方程的特征方程為解微分方程的特征方程為其根為r1=F2=-i,r3=r4=