圓與圓的位置關(guān)系（1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGE2.5.2圓與圓的位置關(guān)系（1課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系。學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已接觸過(guò)圓與圓的位置關(guān)系，上節(jié)已學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，因此本節(jié)課是對(duì)已學(xué)內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對(duì)于后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個(gè)鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標(biāo)法不僅是研究幾何問(wèn)題的重要方法，也是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過(guò)坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)：1.理解圓與圓的位置關(guān)系，掌握對(duì)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷的兩種方法.2.類比直線與圓研究位置關(guān)系的方法，探究用方程判斷兩圓位置關(guān)系的方法.3.掌握公共弦問(wèn)題及用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的基本方法.核心素養(yǎng)：1.數(shù)學(xué)抽象：圓與圓的位置關(guān)系2.邏輯推理：判斷圓與圓的位置關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：判斷圓與圓的位置關(guān)系4.數(shù)學(xué)建模：圓和圓的方程解決實(shí)際問(wèn)題【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：1.理解圓與圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A與圓位置關(guān)系的判斷方法.2.理解并掌握兩圓公共弦方程及其求法3.會(huì)用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.教學(xué)難點(diǎn)：1.利用圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系.2.理解動(dòng)點(diǎn)軌跡.【教學(xué)過(guò)程】（說(shuō)明：本環(huán)節(jié)包括新授、小結(jié)、布置作業(yè)等）引言：前面兩節(jié)課我們運(yùn)用直線的方程、圓的方程，研究了直線與圓的位置關(guān)系，今天我們類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程，通過(guò)定量計(jì)算研究圓與圓的位置關(guān)系.問(wèn)題1：圓與圓的位置關(guān)系有哪些位置關(guān)系？給同學(xué)們兩個(gè)選項(xiàng)，①和直線與圓位置關(guān)系一致，分為三種位置關(guān)系，相離、相切、相交②相離繼續(xù)分解成外離、內(nèi)含；將相切分解成外切與內(nèi)切.第一種，兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，相離.由于圓是個(gè)封閉的圖形，根據(jù)每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外，或一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一圓內(nèi)兩種情況，分為圓與圓外離、內(nèi)含兩種.第二種，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與圓相切.在此基礎(chǔ)上，圓上除公共點(diǎn)外的其他點(diǎn)，都在另一個(gè)圓的外部或內(nèi)部，針對(duì)這兩種情況，分別稱之為圓與圓外切、內(nèi)切.第三種，兩圓相交，等價(jià)于兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn).追問(wèn)1：如何判斷圓與圓之間的位置的確切關(guān)系呢？定義可以作為兩圓位置關(guān)系的第一種判斷方法.第二種判斷方法是根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，通過(guò)圓心之間距離的改變判斷位置關(guān)系.圓心之間的距離，叫做圓心距.設(shè)|C1C2|=d,以兩圓外切為例，兩圓圓心距等于兩圓半徑和；已知圓心距等于兩圓半徑和，那么兩圓位置關(guān)系外切，它們之間的關(guān)系是充分必要的.即,兩圓內(nèi)切；，兩圓外離；，兩圓內(nèi)含；，兩圓相交.運(yùn)用這種幾何法判斷兩圓位置關(guān)系的步驟及其判斷方法如下:第一步：計(jì)算兩圓的半徑R，r；第二步：計(jì)算兩圓的圓心距O1O2,即d；第三步：根據(jù)d與R，r之間的關(guān)系,判斷兩圓的位置關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過(guò)的知識(shí)、舉例,概括，目前我們只掌握了初中學(xué)過(guò)的幾何法,通過(guò)觀察圖形、觀察公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷.例1已知圓，圓，試判斷圓與圓的位置關(guān)系.思路1：將圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為連心線的長(zhǎng)與兩圓半徑和、兩圓半徑差的絕對(duì)值的大小關(guān)系問(wèn)題，從而判斷兩圓位置關(guān)系.解法1：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓，其圓心，；圓，其圓心，.因此圓與圓連心線長(zhǎng),圓與圓半徑和，圓與圓半徑差,所以，所以圓與圓兩圓相交.思路2：將圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為它們有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，而它們有幾個(gè)公共點(diǎn)又由它們的方程組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定；消元，求，從而判斷兩圓位置關(guān)系.解法2：將圓與圓聯(lián)立，得到，得：消元得：因?yàn)榉匠蹋?）的根的判別式，所以方程組有兩兩組實(shí)數(shù)根，所以圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們相交.追問(wèn)2：你能求出兩圓公共弦所在直線方程嗎？解：追問(wèn)3：公共弦所在直線方程與方程（3）一致，這是巧合嗎？從代數(shù)角度看，滿足方程（1）、（2）的方程組的解，必滿足方程（3），我們確定方程組有兩個(gè)解，即兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程（3），兩點(diǎn)確定一直線，因此方程（3）表示的就是兩圓公共弦所在直線方程.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于中間過(guò)程中產(chǎn)生的代數(shù)結(jié)論，進(jìn)行進(jìn)一步思考，發(fā)掘其幾何含義.看似代數(shù)運(yùn)算的中間表達(dá)，但其仍具有幾何意義，提醒學(xué)生在得到代數(shù)結(jié)論時(shí)，向它所表達(dá)的幾何元素這個(gè)方向上進(jìn)行思考.那么結(jié)合圖像，可知，求得的直線方程表示的直線，就是兩圓公共弦所在直線.拓展1：已知圓，圓，試求圓與圓公共弦長(zhǎng).追問(wèn)4：你能比較兩種方法的特征嗎?代數(shù)法：與直線與圓位置關(guān)系問(wèn)題不同的是，當(dāng)消元后的方程，無(wú)法判斷兩圓內(nèi)切還是外切；同樣，當(dāng)時(shí),無(wú)法判斷兩圓外離還是內(nèi)含，只能用來(lái)判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此遇到判斷位置關(guān)系的問(wèn)題還需要其他計(jì)算支撐；優(yōu)點(diǎn)是可以求出公共點(diǎn).幾何法：直觀,容易理解,但只能判斷位置關(guān)系，不能求出交點(diǎn)坐標(biāo).位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圓與圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)01210圓與圓方程聯(lián)立（代數(shù)法）d與R、r的關(guān)系（幾何法）d＞R+rd=R+r|R-r|＜d＜R+rd=|R-r|d＜|R-r|設(shè)計(jì)意圖：不斷比較幾何代數(shù)兩種角度，對(duì)位置關(guān)系問(wèn)題的判斷，使學(xué)生形成遇到位置關(guān)系問(wèn)題，同時(shí)從兩個(gè)角度思考、“翻譯”的習(xí)慣例2已知圓O的直徑AB=4,動(dòng)點(diǎn)M與動(dòng)點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B的距離的倍，試探究點(diǎn)M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關(guān)系.追問(wèn)5：什么是軌跡？軌跡就是一個(gè)幾何圖形，是滿足一定條件的點(diǎn)，常常把圖形看成點(diǎn)的集合或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡.所以求軌跡，就是求一個(gè)幾何圖形.解：以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)化簡(jiǎn)，得，即點(diǎn)M的軌跡是以P(6,0)為圓心，半徑為的圓.兩圓圓心距,圓與圓半徑和，圓與圓半徑差，點(diǎn)M的軌跡與圓O相交.或者利用兩圓的方程聯(lián)立，判斷解的個(gè)數(shù)，（1）式減去（2）式，消去y，得到關(guān)于x的方程12x-8=0，解得，得到，所以點(diǎn)M的軌跡與圓O相交.如果點(diǎn)M的軌跡不是圓，仍可運(yùn)用方法2，通過(guò)聯(lián)立兩個(gè)方程組成的方程組，通過(guò)方程組解的個(gè)數(shù)判斷兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系.拓展2：當(dāng)MA與MB長(zhǎng)度之比是時(shí)，M點(diǎn)的軌跡還是圓么？我們可以繼續(xù)探索.化簡(jiǎn)，得觀察方程的結(jié)構(gòu)，你能猜想出方程表示的點(diǎn)的軌跡是什么圖形么？我們可以猜想，無(wú)論k取何值，M點(diǎn)的軌跡都應(yīng)是圓，如何證明？解：當(dāng)時(shí)，方程為，可知點(diǎn)M的軌跡是線段AB的垂直平分線；當(dāng)時(shí)，方程可化為，點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.設(shè)計(jì)意圖：為進(jìn)一步拓展學(xué)生思維，教學(xué)時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生思考分析，加深認(rèn)識(shí).課堂小結(jié)：判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法:利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較,得到兩圓的位置關(guān)系;(2)代數(shù)法:把兩圓位置關(guān)系的判定完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)