藝考生專題講義22 單調(diào)性的分類討論

考點(diǎn)22導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)梳理討論函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論f′(x)的正負(fù)，由符號(hào)確定f(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性．注意：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．精講精練題型一定義域?yàn)镽【例1-1】設(shè)函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，【解析】的定義域?yàn)?，∵，?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為?！纠?-2】已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】見(jiàn)解析【解析】因?yàn)?，所?令，解得或.若，當(dāng)即或時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)即時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)在上是增函數(shù).若，當(dāng)即或時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)即時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【舉一反三】1.已知函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性?！敬鸢浮恳?jiàn)解析【解析】由題意可求，1.當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，無(wú)極值；2.當(dāng)時(shí)，令，解得,令，解得于是在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；2．若定義在上的函數(shù)，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】見(jiàn)解析.【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得到，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得到，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；3．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】見(jiàn)解析【解析】，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.4．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】見(jiàn)解析【解析】因?yàn)?，所以，?由，得，.①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故在為增函數(shù).②當(dāng)時(shí)，，由得或，由得；所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).③當(dāng)時(shí)，，由得或，由得；所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).5．設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)由題意得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)；當(dāng)時(shí)，；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；題型二定義域非R【例2-1】已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性；【答案】見(jiàn)解析【解析】由已知可知函數(shù)的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，所以在為增函數(shù),當(dāng)時(shí)，,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.【例2-2】已知，求單調(diào)區(qū)間【答案】見(jiàn)解析【解析】該函數(shù)定義域?yàn)?第一步：對(duì)數(shù)真數(shù)大于0求定義域)令，解得(第二步，令導(dǎo)數(shù)等于0，解出兩根)(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，單調(diào)減(第三步，在不在進(jìn)行分類，當(dāng)其不存在得到；第四步數(shù)軸穿根或圖像判斷正負(fù))(2)當(dāng)時(shí)即單調(diào)增，(第五步，x1在區(qū)間時(shí)，進(jìn)行比較大小，當(dāng)?shù)玫降谒牟綀D像判斷正負(fù))①當(dāng)時(shí)，即單調(diào)增，單調(diào)減(當(dāng)?shù)玫剑坏谒牟綀D像判斷正負(fù))②當(dāng)時(shí)，即單調(diào)增，單調(diào)減(得到；第四步圖像判斷正負(fù))綜上可知：，單調(diào)增，單調(diào)減；，單調(diào)增單調(diào)增，單調(diào)減，單調(diào)增，單調(diào)減【舉一反三】【例3】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】見(jiàn)解析【解析】由題意知，的定義域?yàn)?，由，?①當(dāng)時(shí)，令，可得，，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，，令，可得，，得或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為、；③當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的減區(qū)間為；④當(dāng)時(shí)，，令，可得，，得，或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).2.已知函數(shù)討論的單調(diào)性.【答案】見(jiàn)解析【解