數(shù)學(xué)課堂探究：2余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求函數(shù)的定義域與正切函數(shù)有關(guān)的定義域問題通常先借助正切函數(shù)的圖象在一個(gè)周期內(nèi)得出x的取值范圍，然后加上周期．【例1】求下列函數(shù)的定義域：(1）y＝；(2）y＝．分析:根據(jù)題意列出不等式，再根據(jù)圖象找出不等式的解集．解：（1)由tanx－≥0，得tanx≥，利用圖象（如圖所示）可知，所求定義域?yàn)椋╧∈Z）．(2）要使函數(shù)y＝有意義，則有即x≠kπ－，且x≠kπ＋（k∈Z）．所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?guī)律總結(jié)利用正切函數(shù)的圖象,可解不等式tanx〉α,其解題步驟是:（1)作出正切曲線y＝tanx在上的圖象；（2）求出在內(nèi)使tanx＝a成立的x的值；(3）利用圖象確定tanx〉a在內(nèi)的解；(4）把解擴(kuò)展到整個(gè)定義域內(nèi)．同理，也可解形如tanx<a及a〈tanx<b的不等式．探究二正切函數(shù)的性質(zhì)1．周期性y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解,y＝Atan（ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解．2．單調(diào)性求y＝Atan(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，只需令kπ－〈ωx＋φ〈kπ＋（k∈Z）解出x即可,但ω<0時(shí)，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為正的,還要注意A的正負(fù)對(duì)單調(diào)性的影響．【例2】求下列函數(shù)的周期：(1）y＝3tan；(2）y＝｜tanx｜．解：(1)因?yàn)棣兀?，且T＝,所以函數(shù)的最小正周期T＝．（2）函數(shù)y＝|tanx|的圖象如圖所示，顯然為周期函數(shù),且T＝π．【例3】求y＝3tan的圖象的對(duì)稱中心．解：由2x＋＝(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．故所求函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為(k∈Z）．溫馨提示正切函數(shù)y＝tanx的圖象是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心有無(wú)數(shù)個(gè)，其坐標(biāo)為(k∈Z)，但它不是軸對(duì)稱圖形．【例4】(1）求函數(shù)y＝tan的單調(diào)區(qū)間；（2）比較tan1，tan2，tan3的大?。治?對(duì)于(1)，由于x的系數(shù)小于零，故應(yīng)將其進(jìn)行變形，化為系數(shù)為正，再根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求解;對(duì)于(2)可利用正切函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較．解：(1）y＝tan＝－tan，則由kπ－<－〈kπ＋得2kπ－<x〈2kπ＋π（k∈Z)，所以函數(shù)y＝tan的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z）．(2)因?yàn)閠an2＝tan（2－π），tan3＝tan(3－π），又因?yàn)椤?〈π,所以－<2－π〈0．因?yàn)?lt;3<π，所以－〈3－π〈0,顯然－<2－π〈3－π〈1〈,且y＝tanx在內(nèi)是增函數(shù)，所以tan（2－π）<tan(3－x）〈tan1，即tan2〈tan3〈tan1．探究三求函數(shù)的值域?qū)τ谛稳鐈＝Atan2x＋Btanx＋C型的函數(shù),可以通過換元法將問題轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的二次函數(shù)求值問題，需要注意的是換元后新元的范圍，一般可結(jié)合函數(shù)圖象或單調(diào)性確定．【例5】求函數(shù)y＝tan2x－2tanx的值域．分析：利用換元法，將原函數(shù)化為二次函數(shù)的形式來(lái)解決．解：令u＝tanx．因?yàn)閨x｜≤，所以由正切函數(shù)的圖象知u∈[－,]．所以原函數(shù)可化為y＝u2－2u，u∈[－，］．因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向上,對(duì)稱軸方程為u＝－＝1，所以當(dāng)u＝1時(shí)，ymin＝12－2×1＝－1．當(dāng)u＝－時(shí)，ymax＝3＋．所以f（x)的值域?yàn)椋郏?，3＋］．反思使用換元法求函數(shù)值域時(shí)，一定要注意換元后自變量的取值范圍．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因作圖不準(zhǔn)確而致錯(cuò)【例6】當(dāng)x∈時(shí)，確定方程tanx－sinx＝0根的個(gè)數(shù)．錯(cuò)解：同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝tanx與y＝sinx在上的圖象如圖所示，兩圖象有5個(gè)交點(diǎn),所以方程tanx－sinx＝0有5個(gè)根．錯(cuò)因分析：沒有比較x∈時(shí),y＝tanx與y＝sinx的大?。猓簩⒎匠套冃螢閠anx＝sinx，作y＝tanx,y＝sinx在上的圖象，則兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是原方程根的個(gè)數(shù)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝tanx與y＝sinx的圖象，根據(jù)圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一平面直角坐標(biāo)系中，首先作出y＝sinx與y＝tanx在內(nèi)的圖象，需明確x∈時(shí)，有sinx〈x〈tanx（利用單位圓中的正弦線、正切線就可證明)，然后利用對(duì)稱性作出x∈時(shí)的兩函數(shù)的圖象，如圖所示,由圖象可知它們有3個(gè)交點(diǎn)．所