《電磁場與電磁波 》課件第3章

第3章恒定電流的電場3.1電流和電流密度

3.2歐姆定律

3.3焦耳定律

3.4恒定電流的基本方程

3.5恒定電場的邊界條件

3.6恒定電場與靜電場的比較

3.1電流和電流密度

3.1.1電流通常所說的電流是指電荷的宏觀定向運動，即大量電荷的定向運動形成電流。在金屬導(dǎo)體中，運動的是帶負(fù)電的自由電子，其運動的方向與電場強度方向相反。但習(xí)慣上總是把電流看成是正電荷的運動，并且規(guī)定正電荷運動的方向為電流的方向。也就是說，電流的方向總是沿著電場強度的方向，從高電位流向低電位。在導(dǎo)電溶液中，正、負(fù)離子各自向相反的方向運動。固態(tài)或液態(tài)導(dǎo)體(或統(tǒng)稱為導(dǎo)電媒質(zhì))中的電流都稱為傳導(dǎo)電流。在真空或氣體中，大量電荷在電場作用下的定向運動形成的電流，稱為運流電流，如電真空器件中的電流就屬于這一類。本章主要討論的是傳導(dǎo)電流。電流的大小用電流強度來描述。電流強度的定義是：單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體任一橫截面的電荷量。

如果在時間Δt內(nèi)流過導(dǎo)體任一橫截面的電量是Δq，則時變電流強度的定義是（3-1）

而恒定電流的電流強度的定義是

（3-2）

式中的q是在時間t內(nèi)流過導(dǎo)體任一橫截面的電荷。I是個常量。電流強度一般簡稱為電流。電流強度是一個標(biāo)量，它是MKSA單位制中的四個基本量之一，它的單位是安培(A)。

3.1.2電流密度在通常的直流電路中，一般只考慮某一導(dǎo)線中的總電流。但在某些情況下，在導(dǎo)體內(nèi)部各點，單位時間內(nèi)流過單位截面的電荷可能不同，流動的方向也各有差別，即電流的分布是不相同的。為了表示導(dǎo)體橫截面上電流分布的情況，引入另一個物理量——電流密度J。

電流密度J是一個矢量，其方向是在導(dǎo)體中某點上正電荷運動的方向(即電流方向)，它的數(shù)值等于通過該點單位垂直面積上的電流強度。如圖3-1所示，設(shè)在導(dǎo)體中某點取一個與電流方向垂直的面積元ΔS，通過該面積元的電流是ΔI，則該點電流密度的數(shù)值是

（3-3）

式中J表示傳導(dǎo)電流密度，其單位是安培/米2（A/m2）。因為電流是在一定體積中流動的，所以J也稱為體電流的面密度或體電流密度，簡稱電流密度。如果所取面積元的法線方向en與電流方向不垂直而成任意角度θ，則通過該面積元的電流是

圖3-1電流密度J通過導(dǎo)體中任意截面S的電流強度I與電流密度矢量J的關(guān)系是

（3-4）

電流密度矢量J在導(dǎo)體中各點處有不同的方向和數(shù)值，從而構(gòu)成一個矢量場，稱為電流場。這種場的矢量線稱為電流線。電流線上每點的切線方向就是該點的電流密度矢量J的方向。從式(3-4)可以看出，穿過任意截面S的電流等于電流密度矢量J穿過該截面的通量，如圖3-2所示。

圖3-2電流密度通量有時電流分布在導(dǎo)體表面一個很薄的區(qū)域內(nèi)，稱這種電流為面電流，如圖3-3所示。這時，與電流方向垂直的橫截面積S近似為零，面積元ΔS變?yōu)榫€元Δl。為了描述面電流在橫截面上的分布，取面電流密度JS的定義為（3-5）

面電流密度JS的方向仍然是正電荷運動的方向，也就是該點的電流方向。JS的單位是安培/米(A/m)。

對于電流在細(xì)導(dǎo)線中流動的情況，當(dāng)不需要計算細(xì)線中的場時，就可將電流看成是線分布。線電流密度Jl就是電流強度I，方向為電流的方向el，即（3-6）

圖3-3

面電流密度JS

3.2歐姆定律

實驗證明，導(dǎo)體的溫度不變時，通過一段導(dǎo)體的電流強度I和導(dǎo)體兩端的電壓U成正比，這就是歐姆定律。其表達式為（3-7）

式中的比例系數(shù)R稱為導(dǎo)體的電阻，單位是歐姆(Ω)。R只與導(dǎo)體的材料及幾何尺寸有關(guān)。由一定材料制成的橫截面均勻的線狀導(dǎo)體的電阻R與導(dǎo)體長度l成正比，與橫截面積成反比，即

（3-8）

如果導(dǎo)體的橫截面不均勻，式(3-8)應(yīng)寫成積分式為

（3-9）

這兩個式中的比例系數(shù)σ稱為電導(dǎo)率，單位為S/m（西門子/米=），其值由導(dǎo)體的材料決定。如果導(dǎo)體中σ不隨位置而變，則稱為均勻?qū)w；否則，稱為非均勻?qū)w。通常σ隨溫度而變。表3-1列出了一些常用金屬的電導(dǎo)率。電導(dǎo)率的倒數(shù)稱為電阻率，單位是歐姆·米(Ω·m)。電阻的倒數(shù)稱為電導(dǎo)，用G表示：電導(dǎo)G的單位是1/歐姆=西門子（1/Ω=S）。

表3-1幾種金屬在常溫下的電導(dǎo)率

【例3-1】如圖3-4所示，同心導(dǎo)體球間充滿一種電導(dǎo)率為σ的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，σ遠小于導(dǎo)體球的電導(dǎo)率，計算內(nèi)球表面與外球殼內(nèi)表面之間的電阻R。

解在內(nèi)、外導(dǎo)體球之間取一半徑為r、厚度為dr并與導(dǎo)體球同心的球殼，它的電阻是總電阻為

圖3-4同心導(dǎo)體球

從歐姆定律公式(3-7)可導(dǎo)出載流導(dǎo)體內(nèi)任一點上電流密度與電場強度的關(guān)系。如圖3-5所示，在電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)體內(nèi)沿電流線取一極微小的直圓柱體，它的長度是Δl，截面積是ΔS，則圓柱體兩端面之間的電阻，通過截面ΔS的電流ΔI=JΔS，圓柱體兩端面之間的電壓是根據(jù)式(3-7)有

可得

圖3-5推導(dǎo)歐姆定律的微分形式

在各向同性的導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流密度J和電場強度E的方向相同，都是正電荷運動的方向，J=σE可寫成矢量形式，即(3-10)這就是歐姆定律的微分形式。式(3-7)是歐姆定律的積分形式，它描述的是一段有限長和有限截面導(dǎo)體的導(dǎo)電規(guī)律；而式(3-10)則是描述導(dǎo)體中每一點上的導(dǎo)電規(guī)律。

必須指出:①對于面電流密度而言，JS≠σE，這是因為提出面電流的概念雖然在處理一些具體問題時簡單有效，但它畢竟是一種極端理想化的模型，是將一個很薄的但不等于零的橫截面理想化為厚度為零的幾何線，而這樣極端理想化的模型在實際問題中并不存在；②與傳導(dǎo)電流相對應(yīng)的是運流電流，它是在氣體中形成的電流。運流電流不服從歐姆定律。設(shè)在空間一點，電荷的運動速度是v，該點的電荷密度是ρ，過該點取一垂直于電荷運動方向的面積元dS，并沿電荷運動的方向取長度元dl，則體積元dV=dSdl內(nèi)的電量dq=ρdSdl，這些電荷在dt=dl/v的時間內(nèi)全部流過dS，由電流強度的定義，得則電流密度為

運流電流是電荷運動形成的，電流密度J就應(yīng)與運動電荷的密度ρ以及電荷運動的速度v有關(guān)，即體電流密度（A/m2）

面電流密度

JS=ρSv

線電流密度

運流電流密度的方向就是電荷運動的方向。

3.3焦耳定律

在金屬導(dǎo)體中，電流是自由電子在電場力作用下的定向運動。為推動電荷定向運動，電場力必須不斷地對自由電子作功，使自由電子獲得動能。而自由電子在運動過程中，又不斷地和晶體點陣上的原子碰撞，把獲得的能量傳遞給原子，使晶體點陣的熱運動加劇，導(dǎo)體的溫度升高，這就是電流的熱效應(yīng)。由電能轉(zhuǎn)換而來的熱能稱為焦耳熱。因為這種能量轉(zhuǎn)換消耗了電能，所以這類導(dǎo)電媒質(zhì)又稱為有耗媒質(zhì)。

如果一段導(dǎo)體兩端的電壓是U，當(dāng)電荷q通過這段導(dǎo)體時，電場力所作的功是有恒定電流I時，在時間t內(nèi)流過的電量由式(3-2)決定，即q=It。因此有

（3-11）

即自由電子在運動過程中，與晶體點陣上的原子碰撞阻礙了電子的定向運動，電阻R就代表了這種阻礙作用。電場力在單位時間內(nèi)所作的功叫做電功率(簡稱功率)，用P表示，即

（3-12）

下面進一步推導(dǎo)焦耳定律的微分形式。如圖3-5所示，在導(dǎo)體中沿電流方向取一長度是Δl、截面積是ΔS的體積元ΔV=ΔlΔS，因電流是恒定的，故熱損耗功率是當(dāng)ΔV→0時，取ΔP/ΔV的極限便是在電流場(或恒定電場)中任一點處單位體積中的熱功率，或者說是在單位時間內(nèi)電流在導(dǎo)體的單位體積中所產(chǎn)生的熱量，用p表示，即

（3-13）

其中p是一個標(biāo)量，稱為熱功率密度，單位是［W／m3］。因為在各向同性的導(dǎo)體中，J與E的方向一致，所以式(3-13)可以表示為（3-14）

式(3-13)或式(3-14)就是焦耳定律的微分形式，它在恒定電流和時變電流的情況下都是成立的。對于體積為V的有耗媒質(zhì)，其損耗功率為

（3-15）

對于長度為l、截面積為S的一段導(dǎo)線，式(3-15)可寫為

對于運流電流，電場力對電荷所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭幽?，而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶體碰撞的熱量。因此，焦耳定律對于運流電流不成立。

3.4恒定電流的基本方程3.4.1電流連續(xù)性方程在電流密度為J的空間里，任取一封閉曲面S，如圖3-6所示，根據(jù)電荷守恒定律，單位時間內(nèi)由S面流出的電荷應(yīng)等于單位時間內(nèi)S面內(nèi)電荷的減少量。設(shè)S面上的法線方向都由里向外，由電流密度J的定義，單位時間內(nèi)由S面流出的電荷是，單位時間內(nèi)S面內(nèi)電荷減少量是。因此，可得到(3-16)

圖3-6電流的連續(xù)性

式中,V是S限定的體積，ρ是自由體電荷密度。式(3-16)就是電流連續(xù)性方程的積分形式。由高斯散度定理，式(3-16)中的面積分可化為體積分；V內(nèi)的電荷，積分是在固定體積V中進行的而與時間無關(guān)。故式(3-16)中的微分號可移入積分號內(nèi)，即或

由于閉合曲面S是任意選的，因此，它所限定的體積V也是任意的。要在任意體積V里，使上述的體積分等于零，被積函數(shù)就必須等于零，即或

（3-17）

這是電流連續(xù)性方程的微分形式。

恒定電流的電流強度是恒定的，電荷的分布也是恒定的。因而，恒定電場中的任一閉合面S內(nèi)都不能有電荷的增減，即。因此，式(3-16)變?yōu)椋?-18）

這就是恒定電流的連續(xù)性方程的積分形式。它的物理意義是，單位時間內(nèi)流入任一閉合面的電荷等于流出該面的電荷，因而恒定電流的電流線是連續(xù)的閉合曲線。由式(3-18)應(yīng)用高斯散度定理可得到恒定電流的連續(xù)性方程的微分形式：

（3-19）

這說明恒定的電流場是一個無源場(或稱管形場)。

將歐姆定律的微分形式J=σE代入式(3-18)可得

如果導(dǎo)體的導(dǎo)電性能是均勻的，σ是常數(shù)，則

（3-20）

由高斯定理可知，式(3-20)表明在導(dǎo)體內(nèi)部的任一閉合面S內(nèi)包含的凈電荷q=0，因而在均勻?qū)w內(nèi)部雖然有恒定電流但沒有電荷，電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。導(dǎo)體內(nèi)部的恒定電場正是由表面上的電荷產(chǎn)生的。由式(3-19)和式(3-20)都可得到

（3-21）

由式(3-18)可以推導(dǎo)出直流電路中的基爾霍夫電流定律。圖3-7中有三個分支電路的交點為M(節(jié)點)，作一任意閉合面S包圍該點，根據(jù)式(3-18)有

因為S面上各處的法線方向向外，而導(dǎo)線中電流密度與電流方向一致，所以上式中右邊第一項的積分值為負(fù)，第二、三項的積分值為正。因此上式的積分結(jié)果是

圖3-7推導(dǎo)基爾霍夫電流定律

推廣到n個支路匯集的節(jié)點上，有

（3-22）

這就是基爾霍夫電流定律。它表示匯集于任意節(jié)點的各支路電流強度的代數(shù)和等于零，流向節(jié)點的電流取負(fù)號，從節(jié)點流出的電流取正號。式(3-16)和式(3-17)是一般情況下的電流連續(xù)性方程，它也適用于時變電流，恒定電流只是時變電流的特殊情況。

3.4.2電動勢由歐姆定律式(3-10)可知，導(dǎo)體中的電流依靠導(dǎo)體中的電場來維持，如果電流不隨時間變化，則稱為恒定電流，相應(yīng)的電場稱為恒定電場。由于導(dǎo)體中的靜電場為零，因而不可能依靠靜電場來維持導(dǎo)體中的電流。要維持導(dǎo)體中的電流，必須依靠一種兩端有電荷堆集的裝置，使之在與它連接的導(dǎo)體上產(chǎn)生一定的電荷分布，從而在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生推動電荷定向運動的電場。如圖3-8（a）所示，導(dǎo)線的兩端A、B分別連接到一個已經(jīng)充了電的平行板電容器的兩個極板上。

A板上的正電荷吸引金屬導(dǎo)線中的自由電子，B板上的負(fù)電荷沿著導(dǎo)線連續(xù)地進行補充，于是導(dǎo)線中出現(xiàn)了電流。隨著時間的增長，電容器兩極板上的電荷逐漸減少到零，電流最后也等于零。實驗證明，充電的電容器雖能貯存一定的電能，但只靠靜電能是不能維持恒定電流的。要在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須有另一種非靜電力不斷地向A、B兩個極板補充正、負(fù)電荷。具有這種補充能力的裝置叫做電源，如圖3-8（b）所示。由化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生電能的是化學(xué)電源，如常用的干電池；由機械驅(qū)動通過電磁感應(yīng)而產(chǎn)生電能的電源則是發(fā)電機。

圖3-8恒定電流的形成

在電源之外的導(dǎo)體中，只存在由電荷所產(chǎn)生的電場，稱為庫侖電場，用E′表示，方向從正電荷指向負(fù)電荷，它與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場性質(zhì)相同；在電源內(nèi)，除了有電荷產(chǎn)生的庫侖電場外，還存在非庫侖電場，稱為局外電場。電源內(nèi)非靜電力與它搬運的電荷量比值定義為局外電場強度，以E″表示，方向是由電源負(fù)極指向正極，即在電源內(nèi)正電荷運動的方向與電源內(nèi)庫侖電場的方向相反。因為在電源外部的導(dǎo)體中，只有庫侖電場，所以歐姆定律的微分形式是

J=σE′（3-23）

在電源內(nèi)部既有庫侖電場，又有局外電場，則

（3-24）

式中E=E′+E″是合成電場強度。

單位正電荷從負(fù)極板通過電源內(nèi)部移到正極板時，非靜電力所作的功稱為電源的電動勢，用E表示，即

（3-25）

電源的電動勢與有無外電路無關(guān)，它是表示電源本身的特征量。電動勢的單位同電位一樣，也是伏特。

既然恒定電荷產(chǎn)生的是庫侖電場，它具有與靜電場相同的性質(zhì)，所以

（3-26）

或

（3-27）式(3-26)中的積分路徑l是通過電源內(nèi)部和外部導(dǎo)線的閉合曲線。同時又因為，除了在電源內(nèi)部以外，在積分路徑的其他部分，E′=0，所以

取電場強度E=E′+E″沿圖3-8(b)中的閉合電路路徑ACBA的線積分，有

（3-28）

因為

而式(3-28)右邊的積分

式中，R1是外部導(dǎo)線的總電阻，R2是電源內(nèi)部的電阻，簡稱為內(nèi)阻，R=R1+R2是整個回路ACBA的電阻。這樣，式(3-28)變?yōu)?/p>

（3-29）

此式稱為全電路的歐姆定律。如果回路中有n個直流電源和k個電阻元件，則式(3-29)可推廣為

（3-30）

這就是基爾霍夫電壓定律。

3.4.3導(dǎo)體內(nèi)(電源外)恒定電場的基本方程

綜上所述，式（3-18）、式(3-19)、式(3-26)和式(3-27)是電源外的導(dǎo)體中恒定電場的基本方程。為了清楚起見，歸納如下：積分形式

微分形式

J和E的關(guān)系即歐姆定律的微分形式

需說明的是，上面這些公式是將式(3-27)和式（3-28)中的庫侖電場E′改寫為總電場E的結(jié)果，因為在電源之外的導(dǎo)體中，局外電場E″=0，所以E=E′；而積分路線l指的是在電源之外的導(dǎo)體中任取的閉合回路，不再包括電源內(nèi)部和外部導(dǎo)體那樣的閉合回路。由于▽×E=0，因此在恒定電場中也可以引進標(biāo)量電位函數(shù)￠。因為電場強度與電位的關(guān)系仍然是E=－▽￠，把它代人式（3-21），得（3-31）所以，在σ等于常數(shù)的載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)(電源外)，電位函數(shù)￠滿足拉普拉斯方程。

3.5恒定電場的邊界條件

當(dāng)恒定電流通過具有不同電導(dǎo)率σ1和σ2的兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面時，在分界面上，J和E各自滿足的關(guān)系稱為恒定電場的邊界條件。邊界條件可由恒定電場基本方程的積分形式 和 導(dǎo)出，所用方法與靜電場的邊界條件相仿，歸納如下：

（3-32）

或

（3-33）

式(3-32)和式(3-33)表明，電流密度J在通過界面后，它的法向分量Jn是連續(xù)的；電場E在通過界面后，它的切向分量Et是連續(xù)的。反之，由 和Jt=σEt可知，在通過界面后，電場強度的法線方向和電流密度的切向分量是不連續(xù)的，即J1t≠J2t,E1n≠E2n。在恒定電場中引入電位函數(shù)￠，用￠表示的邊界條件為

3.6恒定電場與靜電場的比較

通過前面幾節(jié)的討論，可發(fā)現(xiàn)導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(電源外)與電介質(zhì)中的靜電場(體電荷密度ρ=0的區(qū)域)在許多方面有相似之處。為了清楚起見，列表3-2進行比較。表3-2恒定電場與靜電場的比較

【例3-2】圖3-9所示的兩組同心的金屬導(dǎo)體球，尺寸相同，而且都在內(nèi)外球間加上相同的直流電壓U0。圖3-9（a）中的內(nèi)外球之間均勻地充滿一種電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì)，但σ遠小于金屬球的電導(dǎo)率，圖3-9（b）中的內(nèi)外球之間均勻地充滿一種介電常數(shù)為ε的電介質(zhì)。試求上述兩種情況下的場分布。

解如圖3-9(a)所示，因為內(nèi)外金屬球間充滿導(dǎo)電媒質(zhì)，在直流電壓U0的作用下，將有恒定電流從內(nèi)球通過導(dǎo)電媒質(zhì)流向外球，所以這是一個恒定電場問題。同時，由于金屬球的電導(dǎo)率遠大于內(nèi)外球間的導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率σ，因此導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流線(J線)垂直于金屬球。圖3-9(b)是簡單的靜電場問題，電介質(zhì)中的電位移線也垂直于金屬球。上述兩個場的邊界條件相同，而只需求出其中任何一個場的解，另一個場的解也就可以得到。

圖3-9(b)所示的靜電場可以用高斯定理求解。設(shè)內(nèi)金屬球帶電量+q，外金屬球殼內(nèi)表面帶電量-q，在電介質(zhì)中作一個與金屬球同心、半徑為r的高斯球面，則可求得電位移矢量和電場強度為因為內(nèi)外金屬球之間的電壓U0可表示為

所以

如果取外金屬球殼為電位參考點，則內(nèi)外球間電介質(zhì)中任一點的電位是

根據(jù)表3-2中各物理量的對應(yīng)關(guān)系，將上述各式