廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學年高一上學期學業(yè)水平測試（12月）數學試題 含解析

南海區(qū)2027屆高一上學期學業(yè)水平測試數學試題本試卷共4頁，19題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必填寫答題卡上的有關項目.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再根據交集含義即可.【詳解】，則.故選：B.2.設命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據含有量詞命題的否定形式，即可判斷.【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，為，.故選：D3.函數的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據指數函數、對數函數的單調性和零點存在性定理即可得到答案.【詳解】根據指數函數、對數函數單調性知，在0,+∞上的單調遞增，又因為f1且函數圖象連續(xù)不間斷，則根據零點存在性質定理知的零點所在的區(qū)間是.故選：C4.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據指對數函數的性質比較大小關系即可.【詳解】由，則，所以.故選：A5.已知函數，則（）A.5 B.0 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據分段函數性質代入計算即可.【詳解】.故選：B.6.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數值的正負可排除選項CD；根據函數的奇偶性可排除選項A；【詳解】當時，，故排除CD；而的定義域為，且，所以是奇函數，所以排除A.故選：B7.人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：dB）與聲音強度（單位：滿足.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為54dB，在有40人的課堂上講課時，老師聲音的強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的10倍，則老師聲音的等級約為（）A.108dB B.81dB C.72dB D.63dB【答案】D【解析】【分析】利用題中給出的函數模型，結合對數的運算性質求解即可.【詳解】設一般兩人小聲交談時聲音強度，則，即，所以，即老師聲音的等級約為63dB.故選：D.8.已知函數是定義在上的奇函數，當時，有恒成立，若，則滿足的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先變形不等式，構造并判斷函數的單調性和奇偶性，再解抽象不等式.【詳解】設，由，可知，，即，設函數，函數在上是增函數，且是奇函數，所以，是上的奇函數，因為，所以，，即，即，則.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.9.下列條件中可以作為“”的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.或【答案】ACD【解析】【分析】轉化為集合之間的包含關系，再對比選項即可.【詳解】設該條件所表示的集合為，因為其是“”的一個必要不充分條件，則.對比選項知ACD，符合題意，B不合題意.故選：ACD.10.已知，為非零實數，且，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】應用特殊值即可判斷A、D；根據基本不等式及指數函數單調性判斷B、C.【詳解】A、D：當時，且，錯；B：由，則，整理可得，對；C：由單調遞增，且，故，對.故選：BC11.若存在兩個不相等的實數，，使，，均在函數的定義域內，且滿足，則稱函數具有性質，下列函數具有性質的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據函數新定義，利用基本不等式得判斷A，根據函數新定義結合特殊值法說明存在即可判斷BD，根據函數新定義，分類討論判斷C.【詳解】對于A選項，定義域為R，且，對任意的、且，，即，A選項中函數不滿足條件；對于B選項，的定義域為R，取，，則，而，即存在，B選項中的函數滿足條件；對于C選項，假設具有性質，則存在，使得，則，即，若同號，則，即，所以，得，顯然不成立；若異號，則，即，將上述方程看作關于的二次方程，解得，此時滿足，C選項中的函數滿足條件；對于D選項，因為，取，所以，，則存在，所以D選項中的函數滿足條件.故選：BCD.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是充分理解性質的定義，結合函數的性質即可得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】6【解析】【分析】根據對數運算法則即可得到答案.【詳解】.故答案為：6.13.已知函數，在上單調遞增，寫出滿足條件的實數的一個值______.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】利用函數單調性和賦值法即可得【詳解】因為函數，在0,+∞上單調遞增，所以2m?3>0m當時，此時，滿足題意故答案為：314.已知函數滿足，若函數與圖象的交點為，，…，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據以及的對稱性，求得的值.【詳解】由于函數滿足，所以函數的圖象關于對稱，設，則，則函數的圖象關于對稱，故和的交點關于對稱，則，設.兩式加，可得，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據兩函數的對稱性再進行求和即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）分別求兩個集合，再根據集合的運算，即可求解；（2）根據，分和兩種情況，列式求得到取值范圍.【小問1詳解】當時，，，得，則，或所以，;【小問2詳解】若，則，當時，，得，當時，，解得：，綜上可知，.16.給定函數，.（1）在同一直角坐標系中畫出函數，的圖象；（2），用表示，中最大者，記為，求不等式的解集.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據對數函數與分段函數的圖像得出答案；（2）根據圖像求出的解析式，然后分類討論求解即可【小問1詳解】【小問2詳解】因為，所以Mx當時，，即，所以，當時，，即，所以，當時，，即，所以，所以不等式的解集為17.已知函數是偶函數.（1）求的值；（2）判斷函數在上的單調性，并用定義加以證明;（3）解不等式.【答案】（1）；（2）單調遞增，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由偶函數的性質有恒成立，即可得參數值；（2）令，應用作差比較大小證明單調性；（3）根據已知（2）有，結合對數函數單調性求解集.【小問1詳解】由題設，即恒成立，所以.【小問2詳解】在上的單調遞增，證明如下：由（1）知，令，則，由，故，故在上的單調遞增，得證.【小問3詳解】由題設及（2）知：，則或，所以或，解集為.18.學校和學校相距20km，現計劃在學校外以為直徑的半圓?。ú缓?，兩點）上選擇一點建造一家污水處理廠.其對學校的影響度與所選地點到學校的距離有關，對學校的影響度與所選地點到學校的距離的平方成反比，比例系數為1；對學校的影響度與所選地點到學校的距離的平方成反比，比例系數為.對學校和學校的總影響度為學校和學校的影響度之和.記點到學校的距離為km，建在處的污水處理廠對學校和學校的總影響度為.統(tǒng)計調查表明：當在的中點時，對學校和學校的總影響度為0.085.（1）將表示成的函數；（2）判斷半圓弧（不含，兩點）上是否存在一點，使得建在此處的污水處理廠對學校和學校的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點到學校的距離，以及總影響度的最小值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據垂直關系可知，，再根據題意，轉化為，再代入數據，即可求解；（2）根據（1）的結果，利用換元法，基本不等式求函數的最值.【小問1詳解】由為直徑，得，所以，由已知得，又當垃圾處理廠是的中點時，對城和城的總影響度為，即時，，代入上式得，解得，所以表示成的函數為：；【小問2詳解】，令，，則，又，當且僅當時，即時，等號成立，所以，當時，等號成立，所以弧上存在一點，該點到城的距離為km時，建在此處的垃圾處理廠對城市和城的總影響度最小為.19.已知正實數集，定義稱為的商集，用來表示集合中元素的個數.（1）若，求集合；（2）若，求的最小值；（3）試判斷與的大小關系，并證明你的結論.【答案】（1）；（2）15；（3），證明見解析.【解析】【分析】（1）根據新定義寫出集合；（2）令，根據定義描述分析得到，結合已知求的最小值；（3）依次分析、得到，再討論，結合及重復元素最多的情況，得到，即可證.【小問1詳解】由，結合商集的定義有；小問2詳解】設，當時，，當時，有個，所以的個數最多為.但是，在這些比值中，有的可能相等，如時，中存在，也可能互不相等，如時，中沒有相同的元素