高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題08 立體幾何中的體積表面積問題(解析版)

第三篇立體幾何專題08立體幾何中的體積表面積問題常見考點(diǎn)考點(diǎn)一體積問題典例1．已知長(zhǎng)方體，，分別為和的中點(diǎn)，．(1)求三棱錐體積；(2)求證：平面平面．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由平面，可得結(jié)合題干條件，即得解；（2）先證明平面，平面，結(jié)合面面平行的判斷定理，即得證(1)由題意可知：平面，，為的中點(diǎn)，，，，；(2)∵ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體∴AD//BC且AD=BC∵點(diǎn)E、F分別為CC1和BB1的中點(diǎn)∴EF//BC且EF=BC∴AD//EF且AD=EF∴四邊形ADEF是平行四邊形∴AF//DE∵平面，平面∴平面又，分別是線段，的中點(diǎn)平面，平面平面又平面平面．變式1-1．在五面體EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．(1)求證：AC⊥BF；(2)若三棱錐A﹣BCE的體積為，求線段AB的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)AB＝4【解析】【分析】（1）取AB中點(diǎn)O，連CO，通過證明FC⊥面ABCD，得到FC⊥AC，再結(jié)合AC⊥BC可得答案；（2）利用可得答案.(1)證明：取AB中點(diǎn)O，連CO．∵AD＝DC＝BC＝AB，AB∥CD，∴四邊形AOCD為菱形，∴CO＝OA＝OB，∴△OCB為正三角形，∴AC⊥BC，∵正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直，∴FC⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴FC⊥AC．BC∩FC＝C，∴AC⊥面BCF，∵BF?面BCF，∴AC⊥BF．(2)解：設(shè)BC＝x，則AB＝2x，由勾股定理得AC＝，由（1）可知ED⊥面ABCD，故，即，解得x＝2．∴AB＝4．變式1-2．如圖，在三棱錐中，平面平面BCD，，O為BD的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)4.【解析】【分析】（1）證明平面BCD，原題即得證；（2）過點(diǎn)E作交BD于N.過點(diǎn)N作交BC于點(diǎn)M，連接ME，求出，即得三棱錐的體積.(1)證明：∵，O為BD中點(diǎn)，∴，因?yàn)槠矫鍭BD，平面平面BCD，且平面平面，∴平面BCD，∵平面BCD，∴.(2)解：過點(diǎn)E作交BD于N.過點(diǎn)N作交BC于點(diǎn)M，連接ME，因?yàn)榍矣桑?）知平面BCD，所以平面BCD，∵平面BCD，∴在△BCD中，∵，∴，因?yàn)?，∴，∴平面MNE∴∴為所求的二面角的平面角，∴，∴∵，，∴，因?yàn)椋?，∵，?∴，∴.∴∴.變式1-3．如圖①，在平面五邊形SBCDA中，ADBC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，將△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如圖②，且E為PD的中點(diǎn).(1)求證：CE平面PAB；(2)若PA=PB=6，AB=4，求三棱錐A-BCE的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）設(shè)F為PA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)B，證明四邊形BCEF為平行四邊形，然后根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）設(shè)O為AB中點(diǎn)，連接PO?OD，過E作EHPO交OD于點(diǎn)H，然后根據(jù)進(jìn)行求解即可.(1)證明：設(shè)F為PA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)B，∵E為PD的中點(diǎn)，∴EFAD且EF=AD，又∵ADBC且AD=2BC，∴EFBC且EF=BC，∴四邊形BCEF為平行四邊形，∴CEBF，又∵BF平面PAB，CE平面PAB，∴CE平面PAB；(2)如圖，設(shè)O為AB中點(diǎn)，連接PO?OD，過E作EHPO交OD于點(diǎn)H，∵PA=PB=6，AB=4，∴PO⊥AB，即，又∵平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD，又∵EHPO，∴EH⊥底面ABCD，∴EH是三棱錐E-ABC的底面ABC上的高，且，又∵ADBC，AD⊥AB，BC=AB，∴AB⊥BC，S△ABC=AB?BC×4×4=8，所以.VA-BCE=VE-ABC=?S△ABC?EH=×8×.考點(diǎn)二表面積問題典例2．如圖所示正四棱錐，，，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，求：（1）正四棱錐的表面積；（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求的值：若不存在，試說明理由．【答案】（1）；（2）存在，2.【解析】【分析】（1）根據(jù)棱錐的表面積的計(jì)算公式即可求出結(jié)果；（2）分析可得在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足．證得平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證出結(jié)論.【詳解】（1）正四棱錐中，，，側(cè)面的高，正四棱錐的表面積．（2）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足．理由如下：取中點(diǎn)為，因?yàn)椋瑒t，過作的平行線交于，連接，．在中，有，平面，平面，平面，由于，．又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，變式2-1．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，為棱上一點(diǎn)，底面．(1)證明：；(2)若，，過作平面，垂足為，求三棱錐的側(cè)面積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理證明，結(jié)合由線面垂直判定定理證明平面，由此可證；(2)由面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理平面，由此求三棱錐的各個(gè)側(cè)面的面積，由此可求其側(cè)面積.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，所以．在矩形中，，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）解：因?yàn)?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．又平面平面，平面，所以．因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)．連接，，，易知，所以的面積為．又的面積為，故三棱錐的側(cè)面積為變式2-2．已知圓柱的底面半徑為，上底面圓心為，正六邊形內(nèi)接于下底面圓，（1）試用表示圓柱的表面積和體積;（2）若圓柱體積為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1），；（2）..【解析】【分析】（1）根據(jù)，可求得圓柱得高h(yuǎn)，再根據(jù)圓柱得表面積和體積公式即可得出答案；（2）根據(jù)圓柱體積為，求出r，計(jì)算出和，由，利用等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）連接，設(shè)圓柱得高為h，因?yàn)椋瑒t，，所以，圓柱的表面積為；體積；（2）連接，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意知，，，，，所以，，，由，，，即點(diǎn)到平面的距離為.變式2-3．如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，為底面圓周上一點(diǎn).（1）若弧的中點(diǎn)為，求證：平面；（2）如果面積是9，求此圓錐的表面積及三棱錐-體積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）表面積；的最大值為9【解析】【分析】（1）證明即可；（2）由條件可得，，然后由的面積是9求出，當(dāng)是弧中點(diǎn)時(shí)，三棱錐-體積的最大，最后利用相關(guān)公式可算出答案.【詳解】（1）∵是底面圓的直徑，∴∵弧的中點(diǎn)為，∴又，共面，∴又平面，平面，∴平面（2）設(shè)圓錐底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，∵圓錐的軸截面為等腰直角三角形，∴，由，得∴圓錐的表面積易知當(dāng)是弧中點(diǎn)時(shí)，三棱錐-體積的最大，且最大值為：鞏固練習(xí)練習(xí)一體積問題1．如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)如圖，連接BD，根據(jù)題意可得DE⊥CD，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得DE⊥平面，進(jìn)而即可證明面面垂直；(2)結(jié)合(1)和線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得平面，取的中點(diǎn)G，連接GF，進(jìn)而可得平面，求出、、，利用三棱錐的體積公式計(jì)算即可.(1)如圖，連接BD.在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以為正三角形，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB.因?yàn)锳B//CD，所以DE⊥CD.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，而，且，平面，所以DE⊥平面.又因?yàn)槠矫鍰EF，所以平面DEF⊥平面.(2)由（1）知.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.而，且，平面，所以平面.如圖，取的中點(diǎn)G，連接GF.因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，所以平面.由條件知，，，，所以三棱錐的體積.2．如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，點(diǎn)O，M，E分別是AD，PC，BC的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】（1）證明平面后可得面面垂直；（2）利用棱錐體積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換后計(jì)算．(1)是正方形，分別為中點(diǎn)，則，又，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；(2)平面平面ABCD，，平面，平面平面，所以平面，是中點(diǎn)，所以．3．如圖所示的直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD上的點(diǎn)，且BE=2EC，DF=2FC，，G在棱上，為上底面的中心，平面EFG.(1)求的值；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）連接，，則，連接AC，BD，設(shè)，連接，易知，再根據(jù)平面EFG，利用線面平行的性質(zhì)定理得到求解；（2）利用等體積法，由求解.(1)解：如圖所示，連接，，因?yàn)闉樯系酌娴闹行?，所以，連接AC，BD，設(shè)，連接，則，設(shè)，由BE=2EC，DF=2FC，可得，因?yàn)槠矫鍱FG，所以平面EFG，又因?yàn)槠矫妫浧矫嫫矫鍱FG=HG，則，所以.(2)因?yàn)椋杂桑?）的證明可知，可知CG=1，又由BE=2EC及BC=2，可知，所以，所以三棱錐的體積為.4．如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，滿足，是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，得到且，證得且，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面．

（2）根據(jù)題意先證得平面，得到點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合和錐體的體積公式，即可求解.(1)證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?/p>

(2)解：由直三棱柱中，可得，又由，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，所以點(diǎn)到平面的距離，由，所以三棱錐的體積為．練習(xí)二表面積問題5．如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.(1)求四棱錐S－ABCD的側(cè)面積；(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系依次求解每個(gè)側(cè)面三角形邊長(zhǎng)和面積即可得解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.(1)由題可得：，則，SA⊥底面ABCD，所以，SA平面SAB，平面SAB⊥底面ABCD，交線，所以BC⊥平面SAB，BC⊥BS，，所以四棱錐的側(cè)面積(2)以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)平面SCD的法向量，，取所以取為平面SAB的的法向量所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.6．如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形.(1)設(shè)，，求這個(gè)幾何體的表面積；(2)設(shè)G是弧DF的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據(jù)條件得到面，通過平移將異面直線轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線夾角即可(1)上下兩個(gè)扇形的面積之和為：兩個(gè)矩形面積之和為：4側(cè)面圓弧段的面積為：故這個(gè)幾何體的表面積為：(2)如下圖，將直線平移到下底面上為由，且，，可得：面則而G是弧DF的中點(diǎn)，則由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即為所求，則則直線與直線的夾角為7．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求四棱錐的表面積；(3)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可證明面即可求證；（2）證明，，分別求五個(gè)面的面積之和即可求解；（3）利用三棱錐等體積求出點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，求出的值即可得角.(1)底面是矩形，且，，，分別是線段，的中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)椋悦?，因?yàn)槊?，所?(2)因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)?，，所以面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)槠矫?，面，所以，因?yàn)?，，所以面，因?yàn)槊?，所以，；；；；；所以四棱錐的表面積為.(3)連接，，，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由可得，因?yàn)?，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則