2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.3概率5.3.2事件之間的關(guān)系與運(yùn)算學(xué)案新人教B版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE15．3.2事務(wù)之間的關(guān)系與運(yùn)算【課程標(biāo)準(zhǔn)】了解隨機(jī)事務(wù)的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事務(wù)的并、交運(yùn)算．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算定義表示法圖示事務(wù)的關(guān)系包含關(guān)系一般地，對(duì)于事務(wù)A與事務(wù)B，假如事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B________，這時(shí)稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)______(或______)相等關(guān)系特殊地，假如事務(wù)B包含事務(wù)A，事務(wù)A也包含事務(wù)B，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相等A＝B事務(wù)互斥若A∩B為_(kāi)_______，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥若________，則A與B互斥事務(wù)對(duì)立若A∩B為_(kāi)_____，A∪B為_(kāi)_______，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)若A∩B＝?，且A∪B＝U，則A與B對(duì)立事務(wù)的運(yùn)算并事務(wù)若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)______________，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))________(或________)交事務(wù)若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)____________，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))________(或________)學(xué)問(wèn)點(diǎn)二事務(wù)的互斥與對(duì)立1．給定事務(wù)A，B，若事務(wù)A與B不能________，則稱A與B互斥，記作AB＝?(或A∩B＝?).2．互斥事務(wù)的概率加法公式：若A與B互斥(即A∩B＝?)，則：P(A＋B)＝________．3．若A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)，其含義是：事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生．事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)記為：A.則：P(A)＋P(A)＝________．狀元隨筆互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的區(qū)分與聯(lián)系兩個(gè)事務(wù)A與B是互斥事務(wù)，有如下三種狀況：(1)若事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B就不發(fā)生；(2)若事務(wù)B發(fā)生，則事務(wù)A就不發(fā)生；(3)事務(wù)A、B都不發(fā)生．兩個(gè)事務(wù)A、B是對(duì)立事務(wù)，僅有前兩種狀況．因此，互斥未必對(duì)立，但對(duì)立肯定互斥．基礎(chǔ)自測(cè)1．對(duì)同一事務(wù)來(lái)說(shuō)，若事務(wù)A是必定事務(wù)，事務(wù)B是不行能事務(wù)，則事務(wù)A與事務(wù)B的關(guān)系是()A．互斥不對(duì)立 B．對(duì)立不互斥C．互斥且對(duì)立 D．不互斥、不對(duì)立2．抽查10件產(chǎn)品，記事務(wù)A為“至少有2件次品”，則A的對(duì)立事務(wù)為()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品3．某人打靶兩次，事務(wù)A為只有一次中靶，事務(wù)B為兩次都中靶，則A＋B為_(kāi)_______．4．一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中隨意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個(gè)事務(wù)：事務(wù)A：恰有一件次品；事務(wù)B：至少有兩件次品；事務(wù)C：至少有一件次品；事務(wù)D：至多有一件次品．并給出以下結(jié)論：①A∪B＝C；②B∪D是必定事務(wù)；③A∩B＝C；④A∩D＝C.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①②B．③④C．①③D．②③課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1事務(wù)的關(guān)系推斷[經(jīng)典例題]例1在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義很多事務(wù)．例如，事務(wù)C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事務(wù)C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事務(wù)C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事務(wù)C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事務(wù)C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事務(wù)C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事務(wù)D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事務(wù)D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事務(wù)D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事務(wù)E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事務(wù)F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)依據(jù)上述定義的事務(wù)，回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務(wù)；(2)利用和事務(wù)的定義，推斷上述哪些事務(wù)是和事務(wù)．方法歸納(1)包含關(guān)系、相等關(guān)系的判定①事務(wù)的包含關(guān)系與集合的包含關(guān)系相像；②兩事務(wù)相等的實(shí)質(zhì)為相同事務(wù)，即同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生．(2)事務(wù)間運(yùn)算方法①利用事務(wù)間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事務(wù)間的運(yùn)算；②利用Venn圖，借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練1盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事務(wù)A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球}，事務(wù)B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球}，事務(wù)C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事務(wù)D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}．則：(1)事務(wù)D與事務(wù)A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事務(wù)C與事務(wù)A的積事務(wù)是什么事務(wù)？題型2互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的推斷(數(shù)學(xué)抽象)例2某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參與演講競(jìng)賽，推斷下列每對(duì)事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對(duì)立事務(wù)：推斷的依據(jù)是互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的定義．(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”．方法歸納要推斷兩個(gè)事務(wù)是不是互斥事務(wù)，只須要找出各個(gè)事務(wù)包含的全部結(jié)果，看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生，在互斥的前提下，看兩個(gè)事務(wù)中是否必有一個(gè)發(fā)生，可推斷是否為對(duì)立事務(wù)．留意辨析“至少”“至多”等關(guān)鍵詞語(yǔ)的含義，知道它們對(duì)事務(wù)結(jié)果的影響．必要時(shí)可以把詳細(xì)的事務(wù)列舉出來(lái)，更易于辨別．跟蹤訓(xùn)練2從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A表示“三件產(chǎn)品全不是次品”，B表示“三件產(chǎn)品全是次品”，C表示“三件產(chǎn)品至少有一件是次品”，則下列結(jié)論正確的是()先弄清每個(gè)事務(wù)的狀況，再推斷兩者之間的關(guān)系．A．A與C互斥B．任何兩個(gè)均互斥C．B與C互斥D．任何兩個(gè)均不互斥題型3事務(wù)的運(yùn)算[經(jīng)典例題]例3如圖是某班級(jí)50名學(xué)生訂閱數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)學(xué)習(xí)資料的狀況，其中A表示訂閱數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，B表示訂閱語(yǔ)文學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，C表示訂閱英語(yǔ)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生．(1)從這個(gè)班隨意選擇一名學(xué)生，用自然語(yǔ)言描述1，4，5，8各區(qū)域所代表的事務(wù)；(2)用A，B，C表示下列事務(wù)：①恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料；②沒(méi)有訂閱任何學(xué)習(xí)資料．狀元隨筆(1)由圖可得出1，4，5，8各區(qū)域所代表的事務(wù)；(2)由事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算求解即可．跟蹤訓(xùn)練3生產(chǎn)某種產(chǎn)品須要2道工序，設(shè)事務(wù)A＝“第一道工序加工合格”，事務(wù)B＝“其次道工序加工合格”，用A，B表示下列事務(wù)：C＝“產(chǎn)品合格”，D＝“產(chǎn)品不合格”．題型4概率公式的應(yīng)用[數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算]例4在數(shù)學(xué)考試中，小明的成果在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，計(jì)算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上的成果的概率；(2)小明數(shù)學(xué)考試及格的概率．狀元隨筆小明的成果在80分以上可以看作是互斥事務(wù)“80分～89分”“90分以上”的并事務(wù)，小明數(shù)學(xué)考試及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”這幾個(gè)彼此互斥事務(wù)的并事務(wù)，又可看作是“不及格”這一事務(wù)的對(duì)立事務(wù)．方法歸納互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)概率的求解方法(1)互斥事務(wù)的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B).(2)對(duì)于一個(gè)較困難的事務(wù)，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)潔的事務(wù)，當(dāng)這些事務(wù)彼此互斥時(shí)，原事務(wù)的概率就是這些簡(jiǎn)潔事務(wù)的概率的和．(3)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，經(jīng)?？紤]其反面，通過(guò)求其反面，轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練4從甲地到乙地沿某條馬路行駛一共200公里，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如表所示：紅燈個(gè)數(shù)0123456個(gè)及6個(gè)以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率；(3)求至多遇到5個(gè)紅燈的概率．方法歸納事務(wù)間的運(yùn)算方法(1)利用事務(wù)間運(yùn)算的定義，列出同一條件下的試驗(yàn)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事務(wù)間的運(yùn)算．(2)利用Venn圖，借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．5．3.2事務(wù)之間的關(guān)系與運(yùn)算新知初探·自主學(xué)習(xí)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一肯定發(fā)生B?AA?B不行能事務(wù)A∩B＝?不行能事務(wù)必定事務(wù)事務(wù)A與事務(wù)B中至少有一個(gè)發(fā)生A∪BA＋B事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生A∩BAB學(xué)問(wèn)點(diǎn)二1．同時(shí)發(fā)生2．P(A)＋P(B)3．1[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：必定事務(wù)與不行能事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，故事務(wù)A與事務(wù)B的關(guān)系是互斥且對(duì)立．答案：C2．解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9種結(jié)果，故它的對(duì)立事務(wù)為含有1或0件次品，即至多有1件次品．答案：B3．解析：A＋B為并事務(wù)即至少有一次中靶．答案：至少有一次中靶4．解析：事務(wù)A∪B：至少有一件次品，即事務(wù)C，所以①正確；事務(wù)A∩B＝?，③不正確；事務(wù)B∪D：至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了全部狀況，所以②正確；事務(wù)A∩D：恰有一件次品，即事務(wù)A，所以④不正確．答案：A課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)若事務(wù)C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務(wù)D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事務(wù)D2包含事務(wù)C4，C5，C6；事務(wù)E包含事務(wù)C1，C2，C3，C4，C5，C6；事務(wù)F包含事務(wù)C2，C4，C6；事務(wù)G包含事務(wù)C1，C3，C5.易知事務(wù)C1與事務(wù)D1相等，即C1＝D1.(2)因?yàn)槭聞?wù)D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.故事務(wù)D2，D3，E，F(xiàn)，G為和事務(wù)．跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)對(duì)于事務(wù)D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A＋B.(2)對(duì)于事務(wù)C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球或3個(gè)紅球，故CA＝A.例2【解析】從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事務(wù)；但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時(shí)，該兩事務(wù)都不發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事務(wù)．(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果，與事務(wù)“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù)．(3)“至少有1名男生”與“全是女生”不行能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥，由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事務(wù)．(4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果，當(dāng)選出的是1男1女時(shí)，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù)．跟蹤訓(xùn)練2解析：由題意可知，事務(wù)A與事務(wù)C不行能同時(shí)發(fā)生，故A與C互斥，選A.答案：A例3【解析】(1)由圖可知：區(qū)域1表示該生數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三種資料都訂閱；區(qū)域4表示該生只訂閱數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩種資料；區(qū)域5表示該生只訂閱了語(yǔ)文資料；區(qū)域8表示該生三種資料都未訂閱．(2)①“恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料”包括：只訂閱數(shù)學(xué)為：ABC；只訂閱語(yǔ)文：ABC；只訂閱英語(yǔ)：ABC，并且這三種事務(wù)互斥，所以“恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料”用A，B，C表示為：ABC+②“沒(méi)有訂閱任何學(xué)習(xí)資料”用A，B，C表示為：AB跟蹤訓(xùn)練3解析：產(chǎn)品合格即兩道工序都合格，所以C＝AB.產(chǎn)品不合格即兩道工序至少有一道工序不合格，所以D＝AB+AB＋例4【解析】分別記小明的成果“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”為事務(wù)B，C，D，E，這四個(gè)事務(wù)彼此互斥．(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)記小明考試及格為事務(wù)A，則不及格為事務(wù)A；方法一小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P(A)＝P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法二小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是P(A)＝0.07，所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P(A)＝1－P(A)＝1－0.07＝0.