(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級寒假講義11 矩形的性質(zhì)與判定+隨堂檢測（教師版）

第頁11矩形的性質(zhì)與判定知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一矩形的定義●●定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.【注意】（1）由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.（2）矩形必須具備兩個(gè)條件：①它是一個(gè)平行四邊形；②它有一個(gè)角是直角，這兩個(gè)條件缺一不可.（3）矩形的定義既可以作為矩形的性質(zhì)運(yùn)用，又可作為矩形的判定運(yùn)用.知識點(diǎn)二矩形的性質(zhì)知識點(diǎn)二矩形的性質(zhì)●●性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對角線相等.幾何語言：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.◆1、矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).◆2、矩形是軸對稱圖形，鄰邊不相等的矩形有兩條對稱軸，分別是對邊所在中點(diǎn)連線的直線.◆3、矩形的四個(gè)角都是直角，常把矩形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決，同時(shí)，矩形被兩條對角線分成兩對全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時(shí)，也常常用到等腰三角形的性質(zhì).◆4、矩形的面積=長×寬，矩形的面積=被對角線分成的四個(gè)面積相等的小三角形（等腰三角形）面積之和.知識點(diǎn)三直角三角形斜邊上的中線知識點(diǎn)三直角三角形斜邊上的中線◆1、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.幾何語言：∵在Rt△ABC中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OB=AO=CO=AC.◆3、直角三角形的這條性質(zhì)與直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的中位線定理都是證明線段倍分關(guān)系的重要依據(jù)．“三角形的中位線定理”適用于任何三角形；“直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)適用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性質(zhì)”僅適用于含30°角的特殊直角三角形.知識點(diǎn)四知識點(diǎn)四矩形的判定●矩形的判定方法：方法一：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，

∴四邊形ABCD是矩形.方法二：對角線相等的平行四邊形是矩形；幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD，

∴四邊形ABCD是矩形.方法三：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；幾何語言：∵∠A=∠B=∠C=90°,

∴四邊形ABCD是矩形.◆思路總結(jié)：判定一個(gè)四邊形是矩形要分兩種情況：一是在平行四邊形的基礎(chǔ)上判定矩形，只要證出有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等即可；二是在四邊形的基礎(chǔ)上判定矩形，可以直接證出三個(gè)角是直角或先證出四邊形是平行四邊形，再進(jìn)一步證明有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等.題型一利用矩形的性質(zhì)求線段長題型一利用矩形的性質(zhì)求線段長【例題1】如圖，矩形ABCD的對角線AC＝4，∠BOA＝120°，則AB的長是（）A．3 B．2 C．23 D．4【分析】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，再根據(jù)鄰角互補(bǔ)求出∠AOD的度數(shù)，然后得到△【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO=12∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∴AD＝AO＝2，∴AB=3AD＝23，故選：C解題技巧提煉在利用矩形的性質(zhì)計(jì)算線段長度時(shí)，常常與特殊三角形的性質(zhì)和勾股定理結(jié)合起來應(yīng)用.【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，連接EF，則△AEF的周長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因?yàn)镋．F分別是AO．AD中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，∵BD=AB2+AD2=6∵E．F分別是AO，AD中點(diǎn)，∴EF=12OD=52，AE=52，AF【變式1-2】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，則DE的長為（）A．22?2 B．22?1 C．3?【分析】在Rt△ABE中可求得BE的長，由角平分線的定義和平行的性質(zhì)可證得BC＝BE，則可求得AD的長，則可求得DE的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，∵AB＝2，∠ABE＝45°，∴AE＝AB＝2，∴BE=AB2∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB，∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，∴∠BEC＝∠ECB，∴BC＝BE＝22，∴AD＝22，∴DE＝AD﹣AE＝22?2，故選：A【變式1-3】已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm【分析】根據(jù)已知條件以及矩形性質(zhì)證△ABE為等腰三角形得到AB＝AE，注意“長和寬分別為15cm和10cm”說明有2種情況，需要分類討論．【解答】解：如圖，∵矩形ABCD中，BE是角平分線．∴∠ABE＝∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB＝∠EBC．∴∠AEB＝∠ABE∴AB＝AE．當(dāng)AB＝15cm時(shí)：則AE＝15cm，不滿足題意．當(dāng)AB＝10cm時(shí)：AE＝10cm，則DE＝5cm．故選：B．【變式1-4】在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分線BE交AD所在的直線于點(diǎn)E，若DE＝2，則AD的長為．【分析】當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得AE＝AB＝3，可得AD的長；當(dāng)點(diǎn)E在AD的延長線上時(shí)，同理可求出AD的長．【解答】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∵DE＝2，∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AD的延長線上時(shí)，同理AE＝3，∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案為：5或1．【變式1-5】如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）A．125 B．65 C．24【分析】首先連接OP，由矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面積，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA?PE+OD?【解答】解：連接OP，∵矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，∴OA＝OD＝2.5，∴S△ACD=12S矩形ABCD＝6，∴S△AOD=12∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA?PE+12OD?PF=12×2.5×PE+12解得：PE+PF=125．故選：題型二利用矩形的性質(zhì)求角度題型二利用矩形的性質(zhì)求角度【例題2】如圖，分別在長方形ABCD的邊DC，BC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，則∠DAE＝（）A．45° B．30° C．15° D．60°【分析】長方形內(nèi)角為90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因?yàn)锳E平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．【解答】解：在長方形ABCD中，∠BAD＝90°∵∠BAF＝60°∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°又AE平分∠DAF所以∠DAE=12∠DAF＝15°故選：解題技巧提煉矩形內(nèi)求角度的問題主要是利用矩形的性質(zhì)和結(jié)合題中的條件求解，有時(shí)要利用等腰三角形的性質(zhì).【變式2-1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，DF⊥AC于F點(diǎn)，若∠ADF＝3∠FDC，則∠DEC的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．55°【分析】根據(jù)∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根據(jù)矩形性質(zhì)求出ED＝EC，推出∠BDC＝∠DCE，求出∠BDC，即可求出答案．【解答】解：設(shè)∠ADF＝3x°，∠FDC＝x°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴x+3x＝90，x＝22.5°，即∠FDC＝x°＝22.5°，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠DCE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝2EC，BD＝2ED，AC＝BD，∴ED＝EC，∴∠BDC＝∠DCE＝67.5°，∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°故選：B．【變式2-2】如圖，四邊形ABCD是長方形，F(xiàn)是DA延長線上一點(diǎn)，CF交AB于點(diǎn)E，G是CF上一點(diǎn)，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，則∠ACD的度數(shù)是．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠F＝∠ECB＝20°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，故答案為：30°．【變式2-3】如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E，使CE＝BD，連結(jié)AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度數(shù)．【分析】由矩形的性質(zhì)得AC＝BD，而CE＝BD，則AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，則∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E＝36°，即可求得∠E＝18°．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠E，∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E，∵∠ACB＝36°，∴2∠E＝36°，∴∠E＝18°，∴∠E的度數(shù)是18°．題型三利用矩形的性質(zhì)求面積題型三利用矩形的性質(zhì)求面積【例題3】如圖，在長方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接ED，若ED＝5，EC＝3，則長方形的面積為（）A．22 B．24 C．26 D．28【分析】直接利用勾股定理得出DC的長，再利用角平分線的定義以及等腰三角形的性質(zhì)得出BE的長，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC=ED2∵AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴BC=BE+EC＝4+3=7∴長方形的面積為：4×7＝28．故選：D．解題技巧提煉求矩形的面積問題，主要是利用矩形的性質(zhì)求出矩形的長和寬，再根據(jù)面積的計(jì)算公式求解即可，有時(shí)與勾股定理結(jié)合起來用.【變式3-1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，BD＝4，則矩形ABCD的面積是．【分析】根據(jù)題意和矩形的性質(zhì)，可以得到AC的長，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的長，從而可以求得矩形ABCD的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，BD＝4，∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴AB＝2，BC=AC2∴矩形ABCD的面積是：2×23=43，故答案為：43【變式3-2】如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，則矩形ABCD的面積為．【分析】由三角形中位線定理求出OA＝2，由勾股定理求出AD的長，則可得出答案．【解答】解：∵O為BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，∴OE=12∵OE＝1，∴DC＝2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°，∵OA＝2，∴BD＝2OA＝4，∴AD=BD2∴矩形ABCD的面積＝AD?DC＝23×2=43．故答案為：4題型四利用矩形的性質(zhì)證明題型四利用矩形的性質(zhì)證明【例題4】如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠AOB＝60°，求證：△OBE是等腰三角形．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△AOB為等邊三角形．然后根據(jù)角平分線可得△ABE是等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問題．【解答】證明：∵矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB為等邊三角形．∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC，∵AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∴BE＝OB，∴△OBE是等腰三角形．解題技巧提煉與矩形有關(guān)的問題，常與全等三角形和特殊三角形等知識融為一體進(jìn)行探索，利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時(shí)，針對問題列出有用的結(jié)論作論據(jù)即可.【變式4-1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在AB的延長線上找一點(diǎn)E，連接EC，使得EC＝AC．（1）求證：四邊形BDCE是平行四邊形；（2）若AB＝6，BC＝8，求點(diǎn)E到AC的距離．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，由BC⊥AE，EC＝AC，得AB＝EB，則DB＝EC，EB＝DC，即可證明四邊形BDCE是平行四邊形；（2）設(shè)點(diǎn)E到AC的距離是h，由勾股定理求得AC=AB2+BC2=10，再由12×10h=【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，∴BC⊥AE，∵EC＝AC，∴DB＝EC，AB＝EB，∴EB＝DC，∴四邊形BDCE是平行四邊形．（2）解：設(shè)點(diǎn)E到AC的距離是h，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC∵12AC?h=12AE?BC＝S△AEC，∴12×10h=1∴點(diǎn)E到AC的距離為485【變式4-2】如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）若AE+BF＝16，求BC的長．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，由“ASA”可證△AOE≌△COF；（2）根據(jù)△AOE≌△COF，可得AE＝CF，然后利用線段的和差即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∠DAC=∠ACBAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∵AE+BF＝16，∴CF+BF＝16，∴BC＝16．題型五直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)題型五直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)【例題5】如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)E，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的長．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME=12（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，進(jìn)而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得MN．【解答】（1）證明：連接EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中點(diǎn)，∴DM=12BC，EM=12BC，∴∵N是DE的中點(diǎn)，∴MN⊥ED；（2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中點(diǎn)，∴DM=12BC＝BM，∴∠DBM＝∠同理∠MEC＝∠MCE，∵∠ECB+∠DBC＝45°，∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，∴∠EMD＝90°，∵N是DE的中點(diǎn)，DE＝10，∴MN=12解題技巧提煉在直角三角形中，遇到斜邊的中點(diǎn)常作斜邊的中線，從而利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題.【變式5-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連結(jié)DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連結(jié)BF．若AB＝10，則BF的長為．【分析】先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度，結(jié)合題意知線段BF是△CDE的中位線，則BF=12【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，∵CD為中線，∴CD=12∵F為DE中點(diǎn)，BE＝BC，∴點(diǎn)B是EC的中點(diǎn)，∴BF是△CDE的中位線，∴BF=12故答案為：2.5．【變式5-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于點(diǎn)N，BC＝6cm，求△BMN的周長．【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAM＝∠BAM，求出BM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAM＝∠AMN，進(jìn)而得出MN＝AN，最后根據(jù)△BMN＝BM+AB求出答案．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AM是BC上的高，∴∠CAM＝∠BAM，BM=12BC=∵M(jìn)N∥AC，∴∠AMN＝∠CAM，∴∠BAM＝∠AMN（等量代換），∴MN＝AN（等角對等邊），∴△BMN的周長＝BM+BN+MN，＝BM+BN+AN＝BM+AB＝3+8＝11（cm）．答：△BMN的周長為11cm．【變式5-3】如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AB，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE．（1）求證：∠AEC＝∠C；（2）求證：BD＝2AC；（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周長．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AE＝BE，再由等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明；（3）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：∵AD⊥AB，∴△ABD為直角三角形．又∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴AE=1又∵BE=12BD，∴AE＝BE，∴∠B＝又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C．（2）證明：由（1）可得AE＝AC，又∵AE=12BD，∴12BD=AC，（3）解：在Rt△ABD中，∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13，∴AB=B∴△ABE的周長＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25．題型六判斷四邊形是矩形題型六判斷四邊形是矩形【例題6】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．求證：四邊形ADCE為矩形；【分析】根據(jù)三個(gè)角是直角是四邊形是矩形即可證明；【解答】證明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．∴∠ADC＝90°，∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAN＝∠CAN．∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°．∴四邊形ADCE為矩形．解題技巧提煉如果已知四邊形的兩個(gè)角是直角，此時(shí)可以選擇“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”證明比較簡單.【變式6-1】檢查一個(gè)門框是否為矩形，下列方法中正確的是（）A．測量兩條對角線，是否相等 B．測量兩條對角線，是否互相平分 C．測量門框的三個(gè)角，是否都是直角 D．測量兩條對角線，是否互相垂直【分析】對角線相等的平行四邊形是矩形或有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形的原理即可突破此題．【解答】解：根據(jù)“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”可以得到測量門框的三個(gè)角，是否都是直角即可檢驗(yàn)該四邊形是不是矩形，故選：C．【變式6-2】四邊形ABCD的對角線AC、BD于點(diǎn)O，下列各組條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90° D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC【解答】解；A、AB＝CD，AD＝BC，可以判定為平行四邊形，又有AC＝BD，可判定為矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以判定為平行四邊形，又有∠A＝∠B，可得到∠A＝90°，可判定為矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、OA＝OC，OB＝OD，可以判定為平行四邊形，又有∠BAD＝90°可判定為矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、A，B，C都錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【變式6-3】如圖，MN∥PQ，直線l分別交MN、PQ于點(diǎn)A、C，同旁內(nèi)角的平分線AB、CB相交于點(diǎn)B，AD、CD相交于點(diǎn)D．試證明四邊形ABCD是矩形．【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，繼而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，進(jìn)而推出AD∥CB，因此四邊形ABCD平行四邊形，再證明∠ABC＝90°，可得平行四邊形ABCD是矩形．【解答】證明：∵M(jìn)N∥PQ，∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，∵AB、CD分別平分∠MAC和∠ACQ，∴∠BAC=12∠MAC、∠DCA=1又∵∠MAC＝∠ACQ，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∵AD、CB分別平分∠ACP和∠NAC，∴∠BCA=12∠ACP、∠DAC=1又∵∠ACP＝∠NAC，∴∠BCA＝∠DAC，∴AD∥CB，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD平行四邊形，∵∠BAC=12∠MAC，∠ACB=1又∵∠MAC+∠ACP＝180°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形．題型七判斷平行四邊形是矩形題型七判斷平行四邊形是矩形【例題7】如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在四邊形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求證：四邊形ABCD是矩形．【分析】連接EO，首先根據(jù)O為BD和AC的中點(diǎn)，得出四邊形ABCD是平行四邊形，在Rt△AEC中EO=12AC，在Rt△EBD中，EO【解答】證明：連接EO，如圖所示：∵O是AC、BD的中點(diǎn)，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，在Rt△EBD中，∵O為BD中點(diǎn)，∴EO=1在Rt△AEC中，∵O為AC中點(diǎn)，∴EO=12AC，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形．解題技巧提煉已知四邊形是平行四邊形時(shí)，判定矩形的方法只需再證有一個(gè)角為直角（定義法），或再證明對角線相等.當(dāng)已知對角線相等時(shí)，只需證這個(gè)四邊形是平行四邊形即可.【變式7-1】如圖，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE．求證：四邊形BECD是矩形．【分析】根據(jù)已知條件易推知四邊形BECD是平行四邊形．結(jié)合等腰△ABC“三線合一”的性質(zhì)證得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”得到?BECD是矩形．【解答】證明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD．∵四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE＝CD，∴四邊形BECD是平行四邊形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴?BECD是矩形．【變式7-2】如圖所示，在?ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，延長AE至點(diǎn)G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）求證：四邊形EGCF是矩形．【分析】（1）由AAS證明△ABE≌△CDF即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AE＝CF，證出EG＝CF，則四邊形EGCF是平行四邊形，由∠GEF＝90°，即可得出四邊形EGCF是矩形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四邊形EGCF是平行四邊形，又∵∠GEF＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．題型八利用矩形的性質(zhì)解決折疊問題題型八利用矩形的性質(zhì)解決折疊問題【例題8】如圖，長方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB'F處，若AB'∥BD，∠1＝26°，則∠BAF的度數(shù)為（）A．57° B．58° C．59° D．60°【分析】由矩形的性質(zhì)得∠ABC＝90°，AD∥BC，則∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，則∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，∴∠AFB′＝∠DAF，∵AB'∥BD，∴∠B′AM＝∠1＝26°，∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°，∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，∴∠DAF＝32°，∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°，故選：B．解題技巧提煉求解關(guān)于矩形的折疊問題時(shí)往往通過找出折疊部分的線段或角與原圖形之間的關(guān)系，從而得到折疊部分與原圖形或其它圖形之間的關(guān)系，有時(shí)要用到三角形全等、勾股定理等知識.【變式8-1】如圖，在長方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，聯(lián)結(jié)AE，將△AED沿折痕AE翻折，使點(diǎn)D落在邊BC上的D1處，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝度．【分析】利用翻折不變性求出∠DED1即可解決問題；【解答】解：由翻折不變性可知，∠AED＝∠AED1＝76°，∴∠DED1＝152°，∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°，故答案為：28．【變式8-2】如圖，在長方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把長方形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，則AF的長為多少？【分析】首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC的長，再根據(jù)折疊的方法可得△ABC≌△AEC，△ADF≌△CEF，進(jìn)而可得到可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，再設(shè)AF＝xcm，則EF＝DF＝（8﹣x）cm，在Rt△ADF中利用勾股定理可得62+（8﹣x）2＝x2，再解方程即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8cm，AD＝6cm，∴BC＝AD＝6cm，AB＝CD＝8cm，∴AC=AB2矩形紙片沿直線AC折疊，則△ABC≌△AEC，可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝∠D＝90°，在△ADF和△CEF中，∠AFD=∠CFE∠D=∠EAD=CE，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴DF＝設(shè)AF＝xcm，則EF＝DF＝（8﹣x）cm，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得x=254．即：AF的長為2511矩形1.如圖，AC，BD是矩形ABCD的對角線，∠AOB＝40°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．65° D．70°【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，所以O(shè)C＝OD，根據(jù)對頂角相等得到∠AOB＝∠COD＝40°，再利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠ACD的度數(shù)即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝40°，∴∠OCD＝∠ODC＝70°．故選：D．2.如圖，要使平行四邊形ABCD為矩形，則可添加下列哪個(gè)條件（）A．BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可得出結(jié)論．【解答】解：需要添加的條件是AO＝DO，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；故選：D．的長求出AC，得出等邊三角形AOB，即可求出對角線所夾的銳角度數(shù)．3.添加下列一個(gè)條件，能使平行四邊形ABCD成為矩形的是（）A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC【分析】由矩形的判定即可得出結(jié)論．【解答】解：∵有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，∴當(dāng)∠BAD＝90°，平行四邊形ABCD是矩形，故選：C．4.問題背景：如圖，AD是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形．討論交流：小明說：“若AB＝AC，則四邊形ADCE是矩形．”小強(qiáng)說：“若∠BAC＝90°，則四邊形ADCE是菱形．”下列說法中正確的是（）A．小明不對，小強(qiáng)對 B．小明對，小強(qiáng)不對 C．小明和小強(qiáng)都對 D．小明和小強(qiáng)都不對【分析】利用矩形的判定和菱形的判定可直接判斷．【解答】解：若AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∴平行四邊形ADCE是矩形，若∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∴平行四邊形ADCE是菱形，故小明和小強(qiáng)的說法都對，故選：C．5.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，則AE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．2【分析】連接CE，根據(jù)矩形的對邊相等可得AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，根據(jù)矩形的對角線互相平分可得OA＝OC，然后判斷出OE垂直平分AC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：如圖，連接CE，在矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝8，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝x，則DE＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，即AE的長為5．故選：C．6.一個(gè)木匠要制作矩形的踏板．他在一個(gè)對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸兩次，就能得到矩形踏板．理由是有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形．．【分析】根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵在一邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次得到的兩條邊平行，∴得到了一個(gè)平行四邊形，∵與兩邊分別垂直，∴就能得到矩形踏板，故答案為：有一個(gè)角為直角