新教材2025版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第一冊

1．1.1空間向量及其線性運(yùn)算[課標(biāo)解讀]1.理解空間向量的概念.2.駕馭空間向量的線性運(yùn)算.3.駕馭共線向量定理、共面對量定理的應(yīng)用．教材要點(diǎn)要點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念定義在空間，把具有________和________的量叫做空間向量．長度空間向量的________叫做空間向量的長度或________．表示法①幾何表示法：空間向量用________表示．②字母表示法：若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作AB，其模記為|a|或|AB|.狀元隨筆空間向量在空間中是可以隨意平移的．要點(diǎn)二幾類特別向量零向量長度為零的向量單位向量模為________的向量相反向量與a長度________而方向________的向量稱為a的相反向量相等向量方向________且模________的向量共線向量(平行向量)有向線段所在的直線相互________或________的向量狀元隨筆類比平面對量記憶．要點(diǎn)三空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法a＋b(1)交換律：a＋b＝________；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__________減法a－ba－b＝a＋(－b)數(shù)乘λa(1)|λa|＝________；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向________；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb狀元隨筆當(dāng)兩個(gè)以上的空間向量相加時(shí)，可將三角形法則推廣到多邊形法則：n個(gè)向量首尾順次相接，則封閉折線的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段表示的向量就是它們的和，即A0A1留意實(shí)數(shù)與向量的乘積的特別狀況：當(dāng)λ＝0時(shí)，λa→＝0；當(dāng)λ≠0時(shí)，若a＝0，則λa＝0．要點(diǎn)四方向向量在直線l上取非零向量a，把與向量a平行的________稱為直線l的方向向量．也就是說直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定．要點(diǎn)五共面對量1．定義：平行于____________的向量叫做共面對量．2．共面對量定理：假如兩個(gè)向量a，b________，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是________________________________．狀元隨筆向量p與a，b共面的充要條件是在向量a與b不共線的前提下才成立的，若a與b共線，則不成立．基礎(chǔ)自測1.思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)空間兩個(gè)向量的加減運(yùn)算與平面內(nèi)兩向量的加減法運(yùn)算完全一樣．()(2)若向量a，b，c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面．()(3)空間中隨意三個(gè)向量肯定是共面對量．()(4)若P，M，A，B共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使MP＝xMA＋yMB.()2．下列說法正確的是()A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量全部的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．模長為3的空間向量大于模長為1的空間向量D．不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟?．d1，d2都是直線l的方向向量，則下列說法中正確的是()A．d1∥d2B．d1＝d2C．d1與d2同向D．d1與d2反向4．如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，在下列選項(xiàng)中，與CD相等的向量是()A．ABB．AC．B1A5．已知空間四邊形ABCD中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，則CD＝________．題型1有關(guān)空間向量概念的理解例1(1)(多選)下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿意結(jié)合律D．若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量AA'相等的向量有________；與向量A方法歸納推斷空間向量有關(guān)概念問題的策略鞏固訓(xùn)練1下列關(guān)于單位向量與零向量的敘述正確的是()A.零向量是沒有方向的向量，兩個(gè)單位向量的模相等B.零向量的方向是隨意的，全部單位向量都相等C．零向量的長度為0，單位向量不肯定是相等向量D．零向量只有一個(gè)方向，模相等的單位向量的方向不肯定相同題型2空間向量的線性運(yùn)算例2(1)(多選)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為BDA．A1DC．AD-AB(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，①AP；②A1N；③方法歸納空間向量線性運(yùn)算的3個(gè)技巧鞏固訓(xùn)練2如圖，已知空間四邊形OABC，M，N分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG＝2GN，設(shè)OA＝a，OB＝b，OC＝c，試用a，b，c表示向量OG.題型3共線問題例3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F(xiàn)在對角線A1C上，且A1F＝23方法歸納證明空間三點(diǎn)共線的三種思路鞏固訓(xùn)練3如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且CF＝23CB，CG＝題型4共面問題例4已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿意OM＝13(1)推斷MA，(2)推斷M是否在平面ABC內(nèi)．方法歸納解決向量共面的策略鞏固訓(xùn)練4如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為A1D1，D1C1，AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面．易錯(cuò)辨析錯(cuò)把向量與平面平行認(rèn)為線面平行例5已知AB，CD是異面直線，CD?α，AB∥α，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．證明：MN∥α.證明：因?yàn)镃D?α，AB∥α，且AB，CD是異面直線，所以在平面α內(nèi)存在向量a，b使得AB＝a，CD＝b，且兩個(gè)向量不共線．由M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，得MN＝12(MA+AB+BN+MC+CD+DN)＝1所以MN∥α或MN?α.若MN?α，則AB，CD必在平面α內(nèi)，這與已知AB，CD是異面直線沖突．故MN∥α.易錯(cuò)警示易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得本題易由MN＝12(a＋b)干脆得到MN∥α.忽視對MN?α線面平行要求直線必需在平面外，而在利用向量證明線面平行時(shí)，須要說明對應(yīng)的直線和平面之間的位置關(guān)系．1．1.1空間向量及其線性運(yùn)算新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一大小方向大小模有向線段要點(diǎn)二1相等相反相同相等平行重合要點(diǎn)三b＋aa＋(b＋c)|λ||a|相同相反要點(diǎn)四非零向量要點(diǎn)五1．同一個(gè)平面2．不共線存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb[基礎(chǔ)自測]1．(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：零向量的相反向量是本身，故A錯(cuò)；終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故B錯(cuò)；向量不能比較大小，故C錯(cuò)；相反向量是不相等向量，但它們的模長相等，故D正確．答案：D3．解析：由題意，向量d1，d2都是直線l的方向向量，依據(jù)直線的方向向量的概念，可得向量d1，d2是共線向量，即d1∥d2.答案：A4．解析：與CD相等的向量是B1答案：C5．解析：CD＝CB+BA+AD＝CB-AB+答案：－a＋b＋c題型探究·課堂解透例1解析：(1)|a|＝|b|，說明a與b模相等，但方向不確定；對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；依據(jù)相等向量的定義知D正確．故選BD.(2)依據(jù)相等向量的定義知，與向量AA'相等的向量有BB'，CC'，答案：(1)BD(2)BB'，鞏固訓(xùn)練1解析：因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴请S意的，且長度為0，兩個(gè)單位向量的模相等，但方向不肯定相同，故選C.答案：C例2解析：(1)A中，A1D1－A1B中，BC+BB1C中，AD-AB-DD1D中，B1D1-(2)①∵點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn)，∴AP＝AA1+A1D1＋D1P＝AA②∵點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴A1N＝A1A＋AB+BN＝-AA1＋③∵點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn)，∴MP+NC1＝MA1+A1D1+D1P+NC+CC1答案：(1)AB(2)見解析鞏固訓(xùn)練2解析：OG＝OM＝1＝12＝12＝12＝16OA+13OB+13OC例3證明：設(shè)AB＝a，AD＝b，AA∵A1E＝2ED1∴A1E＝23A1∴A1E＝23AD＝23b，A1F＝25(AC-A∴EF＝A1F－A1E＝25a－415b又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－23b－c＋a＝a－∴EF＝25EB，所以E，F(xiàn)，鞏固訓(xùn)練3證明：∵E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴AE＝12AB，則EH＝AH-AE＝12AD-∵FG＝CG-CF＝23CD-∴EH∥FG且|EH|＝34|FG|≠|(zhì)FG又F不在EH上，故四邊形EFGH是梯形．例4解析：(1)∵OA+OB+∴OA-OM＝(OM-OB∴MA＝BM+CM＝－∴向量MA，(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，而它們有共同的起