天津市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題含解析

Page20天津市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題本試卷總分150分，考試用時120分鐘.一.選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，，再依據(jù)并集的定義求解即可．【詳解】，，，故選：．2.若、、為非零實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】本題可依據(jù)充分條件以及必要條件的判定得出結(jié)果.【詳解】若，則，故“”是“”的充分條件，令，，，滿意，但不滿意，故“”不是“”的必要條件，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)值的正負(fù)性進(jìn)行推斷即可.【詳解】因為，，，所以，故選：B4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性以及的值來確定正確選項.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以解除C、D項，，所以解除B項．故選：A5.已知、分別為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，，，依據(jù)雙曲線的定義求得，進(jìn)而得到，即可求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在上，且滿意，可得，，，由雙曲線的定義可知，即，又由，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只須要依據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．6.設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，求得的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，沖突.所以，，故，則，所以，，，因此，.故選：B.7.直線被橢圓截得最長的弦為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立直線方程和橢圓方程，解方程可得兩根，運用弦長公式，結(jié)合配方法，以及二次函數(shù)的最值求法，可得答案【詳解】解：聯(lián)立直線和橢圓，可得，解得或，則弦長，令，則，當(dāng)，即，取得最大值，故選：B8.設(shè)函數(shù)，若時，的最小值為，則（）A.函數(shù)的周期為B.將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)C.當(dāng)，的值域為D.函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)共有6個【答案】D【解析】【分析】由條件求出的最小正周期，由此推斷A，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)推斷B，C，D.【詳解】由題意，得，所以，則，所以選項A不正確；對于選項B：將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)是為偶函數(shù)，所以選項B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，則，所以的值域為，選項C不正確；對于選項D：令，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)共有6個，D正確，故選：D.9.設(shè)函數(shù)，.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先將的零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點問題，分段函數(shù)中的不好處理，要變形為在各自區(qū)間上的交點問題，經(jīng)過畫圖分析，比較斜率等最終求得結(jié)果.【詳解】令，則，當(dāng)時，，即，即函數(shù)與的交點問題，其中恒過.當(dāng)時，，即，即函數(shù)與的交點問題.

分別畫出函數(shù)在各自區(qū)間上的圖象:

當(dāng)與相切時，有且僅有一個零點，此時，化簡得:，由得:(舍去)

當(dāng)直線的斜率，大于等于直線的斜率時，有且僅有一個零點，把代入中，解得:，則，綜上，的取值范圍是.

故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.10.已知復(fù)數(shù)滿意，則______.【答案】【解析】【分析】先由求出復(fù)數(shù)，再代入求解即可.【詳解】由，得，所以，故答案為：.11.已知圓與直線相切，則_________【答案】3【解析】【詳解】試題分析：因為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓必坐標(biāo)為，半徑為，由題意得：解得：，所以答案應(yīng)填：3.考點：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓的位置關(guān)系.12.已知，則________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式，化簡求得所求表達(dá)式的值.詳解】故答案為：【點睛】本小題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.13.直線與雙曲線：（，）的一條漸近線平行，過拋物線：的焦點，交于，兩點，若，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)拋物線的焦點弦長求出直線的斜率，從而得出雙曲線漸近線的斜率，再利用即可求出雙曲線的離心率.【詳解】∵拋物線的方程為：，∴的焦點為，∵直線與雙曲線的一條漸近線平行，∴直線的斜率存在，設(shè)直線斜率為，則直線的方程為：，由，消去，化簡得（），設(shè)，，，到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為，，則，，，，由拋物線的定義，，解得，又∵雙曲線：（，）漸近線方程為，∵直線與雙曲線的一條漸近線平行，∴，∴雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知，，且，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】將化為，利用換底公式和對數(shù)運算的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式“”的妙用求解即可.【詳解】由換底公式和對數(shù)運算的性質(zhì)，原式，∵，∴，∴原式，∵，，∴，，∴，，∴由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴原式.∴當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為.故答案為：.15.在中，，在所在平面內(nèi)的一點滿意，當(dāng)時，的值為______取得最小值時，的值為______.【答案】①.5②.【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可求得當(dāng)時，的值；將轉(zhuǎn)化為的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得對應(yīng)的值【詳解】以C為原點，分別以CA、CB所在直線為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則，令，，，則，，由，可得，解之得,當(dāng)時，則，，,則，則,，則當(dāng)取得最小值時，故答案為：5；三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.如圖，在平面四邊形中，對角線平分，的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，的面積為2，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再依據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式即可得到，從而求出；（2）由三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出，依題意，最終利用余弦定理得到方程，解得即可；【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以所以所以【小問2詳解】解：因為的面積，所以，即，所以，由余弦定理得，所以，因為平分，所以，所以，所以，所以，所以17.如圖，在五面體中，四邊形為正方形，平面，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用線面平行判定定理去證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法去求直線與平面所成角的正弦值；（3）利用向量法去求平面與平面夾角的正弦值.【小問1詳解】在△中，過點N作交CF于H，連接AH，又，則，又，則則四邊形為平行四邊形，則又平面，平面，則平面；【小問2詳解】四邊形為正方形，平面，則兩兩垂直以F為原點，分別以所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，則，令，則，，則設(shè)直線與平面所成角為則故直線與平面所成角的正弦值為；【小問3詳解】由（2）可得，設(shè)平面一個法向量為，則，則，令，則，，則又平面的一個法向量為則設(shè)平面與平面夾角為，則，則平面與平面夾角的正弦值18.已知橢圓的左、右焦點為，P為橢圓上一點，且，．（1）求橢圓的離心率；（2）已知直線交橢圓于兩點，且線段的中點為，若橢圓上存在點，滿意，試求橢圓的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，以及，建立關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)，由（1）可知，可設(shè)橢圓方程，依據(jù)，可得，設(shè)將其與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理和點滿意橢圓方程，可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【小問1詳解】解：因為，所以，即，則，解得．【小問2詳解】解：設(shè)，由，得，所以，所以設(shè)，即由于在橢圓上，則，，①由，得，即由在橢圓上，則,即，即，②將①代入②得：，③線段中點為，設(shè)可知，所以，其中，解得，所以，方程為又，④將④代入③得：，經(jīng)檢驗滿意，所以橢圓的方程為.19.已知等差數(shù)列的前項和為，且，.數(shù)列的前項和為，滿意.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)，求證：.【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的求和公式與通項公式列式求出首項和公差，可得數(shù)列的通項公式；依據(jù)可求出數(shù)列的通項公式；（2）依據(jù)進(jìn)行裂項求和可求出；（3）依據(jù)基本不等式進(jìn)行放縮得，再依據(jù)錯位相減法求和可證不等式成立.【小問1詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由，得，即，解得，所以，由得，得，當(dāng)時，，所以，所以，即，又，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.綜上所述：數(shù)列、的通項公式分別是：，.【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以.【小問3詳解】由（1）知，，所以，所以，所以，設(shè)，則，所以，所以，所以，所以.20.已知函數(shù)，，曲線在處的切線的斜率為.（1）求實數(shù)的值；（2）對隨意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根從小到大依次為、、、、，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由已知可得出，即可求得實數(shù)的值；（2）由題意可知對隨意的恒成立，驗證對隨意的恒成立；在時，由參變量分別法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，可得出的取值范圍，綜合即可得解；（3）令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用零點存在定理可知，求得，證明出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：因為，則，由已知可得，解得.【小問2詳解】解：由（1）可知，對隨意的，恒成立，即對隨意的恒成立，當(dāng)時，則有對隨意的恒成立；當(dāng)時，，則，令，其中，且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，