二次函數(shù)幾何定義-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專(zhuān)題01二次函數(shù)幾何定義

-知識(shí)導(dǎo)航

1.考向分析：我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，一種特別的曲線，其本身還具有這

樣的性質(zhì)：拋物線上的任意一點(diǎn)到平面中某個(gè)定點(diǎn)和某條定直線的距離始終相等.這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為

拋物線的焦點(diǎn)，這條直線稱(chēng)為拋物線的準(zhǔn)線，本專(zhuān)題將討論一些與拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線相關(guān)的

問(wèn)題.焦點(diǎn)和準(zhǔn)線屬于高中內(nèi)容，高中內(nèi)容下放也是中考中所常見(jiàn)的.

2.定義：二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)4(0,9的

距離與它到定直線y=的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M形成的圖形就叫拋物線d=2py(p>0).

3.模型：

(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)A(0,4)的距離與到定直線y=T的距離相等，請(qǐng)寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)形成的

拋物線的解析式.

解：由題意得：MA=7(%-0)2+(y-4)2=^2+(y-4)2,

過(guò)點(diǎn)M作MB_L直線y=-4,垂足記為B點(diǎn)，貝IMB=|y-(-4)|=b+4|,

MA=MB,即M+(y_q=|y+4|,

兩邊平方，化簡(jiǎn)得：y=工.

16

故M點(diǎn)形成的拋物線的解析式為y=—

-16

（2）若點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,8）,在（1）中求得的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得2+PD最短？若

存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：過(guò)P點(diǎn)做PQJ_直線y=-4,則PA=PQ,故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短.

過(guò)點(diǎn)D作直線y=-4的垂線，與拋物線交點(diǎn)即為P點(diǎn)，垂足為Q,此時(shí)PQ+PD最短,

PA+PQ=PD+PQ=DQ=8,為最小值,

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,'

4.模型總結(jié)：

結(jié)論1：對(duì)于拋物線>="2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為W準(zhǔn)線為直線>=

焦點(diǎn)一般會(huì)用字母F表示.而且二次項(xiàng)系數(shù)很多時(shí)候是工，只是為了焦點(diǎn)坐標(biāo)便于計(jì)算.

4

至于形如、=以2+&C+C的拋物線可化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-/7)2+3然后通過(guò)由y=ax1平移來(lái)確定焦

點(diǎn)和準(zhǔn)線.

證明：設(shè)ZNPF=a,ZMQF=/3,貝|&+￡=180。，

/.ZPFN+ZQFM=90°-^a+90°=90°,

.\FM±FN.

結(jié)論3:取PQ中點(diǎn)E,作EH，x軸交x軸于H點(diǎn)，則PHLQH.

證明：倍長(zhǎng)中線證兩次全等.

4:記MN與y軸交于點(diǎn)G,+^=—

PNQMFG

二、典例精析

例一：如圖，點(diǎn)P為拋物線>=工/上一動(dòng)點(diǎn).

'4

（1）若拋物線丫=!/是由拋物線>=工（尤+2）2-1通過(guò)圖像平移得到的，請(qǐng)寫(xiě)出平移的過(guò)程；

■44

（2）若直線/經(jīng)過(guò)y軸上一點(diǎn)N,且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,-1）,過(guò)點(diǎn)P作PM_LZ于V.

①問(wèn)題探究：如圖一，在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一定點(diǎn)f，使得=恒成立？若存在，求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②問(wèn)題解決：如圖二，若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,5）,求。尸+P尸的最小值.

【分析】

（1）向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位；

（2）①直線I即為拋物線的準(zhǔn)線，所求F點(diǎn)為焦點(diǎn).

考慮特殊位置，當(dāng)P點(diǎn)在頂點(diǎn)時(shí)，可得F點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）或（0,-1）（舍掉）,

以下證明P在拋物線任意位置，均滿足PF=PM：

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為[見(jiàn);病

貝!]"=J（m_0）2+（；m2_]J+1]

=~m?+1，

又PM==lm2+1=，1+1,

4'’44

；.PF=PM,

.,.當(dāng)F點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）時(shí)，PM=PF恒成立.

②由①可得PQ+PF=PQ+PM,

過(guò)點(diǎn)Q作QM_Lx軸，與x軸交點(diǎn)即為M點(diǎn)，與拋物線交點(diǎn)為P點(diǎn),

M

止匕時(shí)PQ+PM=QM=6,

故QP+PF的最小值為6.

三、中考真題演練

1.（2023?湖北鄂州?中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究y=62（。>0）型拋物線圖象.發(fā)

現(xiàn)：如圖1所示，該類(lèi)型圖象上任意一點(diǎn)p到定點(diǎn)歹［0,：］的距離P尸，始終等于它到定直線/：>=的

I4〃J4a

距離PN（該結(jié)論不需要證明）.他們稱(chēng)：定點(diǎn)尸為圖象的焦點(diǎn)，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，y=叫做拋物

4a

線的準(zhǔn)線方程.準(zhǔn)線/與y軸的交點(diǎn)為H.其中原點(diǎn)。為尸”的中點(diǎn)，切=20尸=3.例如,拋物線y=2Y,

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：____________,_____________；

4

【技能訓(xùn)練】

（2）如圖2,已知拋物線y=；/上一點(diǎn)「伍,為乂%>0）到焦點(diǎn)尸的距離是它到工軸距離的3倍，求點(diǎn)尸的

坐標(biāo)；

【能力提升】

⑶如圖3,已知拋物線y=的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為/.直線%y=；x-3交y軸于點(diǎn)C,拋物線上動(dòng)

點(diǎn)尸到無(wú)軸的距離為4,到直線機(jī)的距離為請(qǐng)直接寫(xiě)出4的最小值；

【拓展延伸】

該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線，=62（〃>（））平移至>=。（％一切2+左（〃>0）.拋物線

,直線/過(guò)點(diǎn)-0且與x軸平行.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在該拋物

y=a（九-丸P+M"。）內(nèi)有一定點(diǎn)尸h,k+

線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的距離尸1始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)尸的距離（該結(jié)論不需要證明）.例如：拋物線

y=2（X-1）2+3上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F^l,—J的距離等于點(diǎn)P到直線/：y=~的距離.

請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題:

(4)如圖4,點(diǎn)。是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線，=；必-1上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸O+PD取最小值時(shí),

請(qǐng)求出_POL>的面積.

【答案】(1)(0,1),y=T；

(3)—^5—1

【分析】(1)根據(jù)題中所給拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；

(2)利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得年=8%2+2%-1,然后根據(jù)%=：%2,求出%,進(jìn)而

可得吃，問(wèn)題得解；

(3)過(guò)點(diǎn)P作PEL直線加交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作尸G,準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和(1)中結(jié)論可知

PG=PF=4+1,PE=d2,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)尸，P,E三點(diǎn)共線時(shí)，4+4的值最??；待定

系數(shù)法求直線PE的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2君-4,9-4班)，根據(jù)點(diǎn)E是直線電和直線機(jī)的交點(diǎn)，

求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為即可求得4和4的值，即可求得；

(4)根據(jù)題意求得拋物線>=；尤2T的焦點(diǎn)坐標(biāo)為W(0,0),準(zhǔn)線/的方程為、=-2,過(guò)點(diǎn)尸作尸G,準(zhǔn)線/

交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和(1)中結(jié)論可知PG=PF,則PO+PD^PG+PD,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)D,

P,G三點(diǎn)共線時(shí)，尸O+PD的值最小；求得尸[J，-]即可求得尸OD的面積.

【詳解】(1)解：：拋物線y=中。J,

.?.拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線/的方程為y=-l

故答案為：(o,l),y=T；

(2)解：由(1)知拋物線y=的焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(0,1),

?.?點(diǎn)尸(元0，%)(%>0)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍,

?,.代+（%—1）2=3%,整理得：*=8%2+2%-1,

又＜%=*XQ2,

**-4yo=8%2+2y0-1

11

解得：%二萬(wàn)或%=-［（舍去），

?,XQ—,\/2,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為］應(yīng)］;

（3）解：過(guò)點(diǎn)?作PE，直線機(jī)交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作PGL準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知

PG=PF=dl+\,PE=d2,如圖：

若使得4+4取最小值，即Pb+PE—l的值最小，故當(dāng)尸，P,E三點(diǎn)共線時(shí)，PF+PE-}=EF-1,即此

刻4+4的值最?。?/p>

,/直線PE與直線m垂直，故設(shè)直線PE的解析式為y=-2x+b,

將尸（0,1）代入解得：b=l,

二直線PE的解析式為y=-2x+l,

???點(diǎn)尸是直線PE和拋物線y=的交點(diǎn)，

令W%2=—2X+1,解得：七=2石—4,x2——2-\/5—4（舍去），

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2--4,9-4石），

4=9-4若，

點(diǎn)E是直線PE和直線m的交點(diǎn)，

1Q

令—2x+1=—x—3,解得：x=—,

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為但，

dx+d2=|若-1.

即4+4的最小值為|石-L

(4)解：,拋物線y=!尤2_1中。=]_,

44

?11121

4a4a

.??拋物線y=；/-1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(0,0),準(zhǔn)線1的方程為y=-2,

過(guò)點(diǎn)尸作PG_L準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和(1)中結(jié)論可知PG=P尸，則PO+P￡>=PG+P_D,如圖:

若使得PO+尸。取最小值，即PG+PD的值最小，故當(dāng)。，P,G三點(diǎn)共線時(shí)，PO+PD=PG+PD=DG,

即此刻PO+尸。的值最??；如圖：

13

；?點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1,代入y=；尤2-1解得y=-：,

44

即尸

(24)244

199

則尸8的面積為5?8=彳、：*1=3.

24o

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一

次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用新知識(shí)的結(jié)論.

2.某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究〉=以2(°>0)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類(lèi)型

圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,1)的距離ME始終等于它到定直線/：y=-j上的距離MN(該結(jié)

4。4〃

論不需要證明），他們稱(chēng)：定點(diǎn)尸為圖象的焦點(diǎn)，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，y=-3叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.其

中原點(diǎn)。為77H的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=例如，拋物線其焦點(diǎn)坐標(biāo)為E（0,準(zhǔn)線方程為/：

7/7乙乙

（1）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線y=2N的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：,.

⑵【技能訓(xùn)練】

如圖2所示，已知拋物線上一點(diǎn)「到準(zhǔn)線/的距離為6,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

O

（3）【能力提升】

如圖3所示，已知過(guò)拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)B的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線/于點(diǎn)A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求a的值；

（4）【拓展升華】

古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)C將一條線段AB分為

兩段AC和CB,使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段與另一段CB的比例中項(xiàng),即滿足：黑=裝=好二1.后

ABAC2

人把逃二￡這個(gè)數(shù)稱(chēng)為“黃金分割，，把點(diǎn)C稱(chēng)為線段AB的黃金分割點(diǎn).

2

如圖4所示，拋物線y=：x2的焦點(diǎn)尸（0,1）,準(zhǔn)線/與y軸交于點(diǎn)”（0,-1）,E為線段板的黃金分割

點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn).當(dāng)粵=0時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積值.

MF

【答案】⑴（0,1）,丁二一：，

OO

⑵40，4）或（-40,4）

⑶a=!

4

⑷癢］或3-若

【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可;

（2）先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,然后代入到拋物線解析式中求解即可；

（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作軸于。，過(guò)點(diǎn)A作AEJ_y軸于E,證明△FDBs△尸”c,推出ED=J-,

6a

^OD=OF-DF=4-，點(diǎn)2的縱坐標(biāo)為』一，從而求出2。=走，證明△AEFsag。凡即可求出點(diǎn)A

12a12a6a

的坐標(biāo)為（-26，2+［）,再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解即可；

（4）如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過(guò)點(diǎn)M作于N,則

先證明△初忸是等腰直角三角形，得到NH=MN,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（冽，工/），則MN=工療+i=_m=HN,

44

求出m=-2,然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出HE=若-1,則同理可求當(dāng)點(diǎn)￡

是靠近H的黃金分割點(diǎn)時(shí)AHME的面積.

【詳解】（1）解：由題意得拋物線y=2N的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程分別為（0,1）,>=-:，

OO

故答案為：（0,：）,y=,

oo

（2）解：由題意得拋物線無(wú)2的準(zhǔn)線方程為y=一;=一2,

???點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離為6,

???點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,

.?.當(dāng)y=4時(shí)，1X2=4,

解得x=±40，

.,.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4及，4）或（一4夜，4）；

（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BOLy軸于。，過(guò)點(diǎn)A作AELy軸于E,

由題意得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸（0,；）直線/的解析式為：y=-

4〃4〃

：.BD//AE//CH,FH=—,

2a

???△FDBSAFHC,

,BD_FD_FB

**HC-FH-FC?

?：BC=2BF,

：.CF=3BF,

.BDFD_FB_1

**HC-FH-FC-3?

：.FD=—

6a

：.OD=OF-DF=—

12a

???點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為——，

12a

—=ax2

12af

（負(fù)值舍去）,

AE//BD,

：.AAEF^ABDF,

AE=坦EF,

AE2+EF2=AF29

4EF2=AF2=16.

：.EF=2,

AE=2c,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2百，2+--）,

4。

**?2H-—12〃,

4a

**?48Q2——1=0>

??.(12Q+1)(4〃—1)=0,

（4）解：如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過(guò)點(diǎn)〃作皿，/于N,則

MNMF

???在放△MNH中,sinZMHN=——=

MHMH2

???NMHN=45。,

???AMNH是等腰直角三角形,

:?NH=MN,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,!療）,

4

192

MN=-m+l=-m=HN9

4

m=—2,

：.HN=2,

?..點(diǎn)E是靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)，

/.“￡=避」“尸=6-1,

2

同理當(dāng)E時(shí)靠近H的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)，EF=避二!■HF=41,

2

/.HE=2-A/5+1=3-75,

???S^ME=gHE-NH=3-下，

綜上所述，S5=2也-2或S,E=3-舊

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性

質(zhì)與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

3.探照燈的內(nèi)部可以看成是拋物線的一部分經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的拋物曲面.其原理是過(guò)某一特殊點(diǎn)的光線，經(jīng)

拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，我們稱(chēng)這個(gè)特殊點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn).若拋物線的表達(dá)式

為〉="2,則拋物線的焦點(diǎn)為（。，；）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，某款探照燈拋物線的表達(dá)式為

y=\x2,焦點(diǎn)為F.

4

（1）點(diǎn)尸的坐標(biāo)是;

（2）過(guò)點(diǎn)廠的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，已知沿射線吊方向射出的光線，反射后沿射線AM射出，AM所

在直線與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）.

①畫(huà)出沿射線陽(yáng)方向射出的光線的反射光線3P；

②所在直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（1）（0』）

（2）①見(jiàn)解析，②（—1,0）

【分析】（1）根據(jù)題意得出;=1,即可確定點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)題意確定AM〃y軸，得出A（4,4）,經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，勿〃y軸，據(jù)

此作出平行線即可；

②設(shè)直線的解析式為了=依+。仕/0）,利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式，然后與y=[/聯(lián)立求

解即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得y=?/,a=l>

44

---=1,

4a

AF（0,l）,

故答案為：（0,1）；

（2）由題意可知拋物線y=的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，

經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，即經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸,

AM〃y軸

：A”所在的直線與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,縱坐標(biāo)為y=：x42=4,

4(4,4),

①經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，

：.BP//y軸

畫(huà)出沿射線EB方向射出的光線的反射光線3尸，如下圖所示:

②設(shè)直線AB的解析式為,=依+。(左/0),把4(4,4)、/(0,1)代入,

「4女+6=4

得,I'

[0=1

[.3

k—_

解得：-4

b=l

3

?,?直線AB的解析式為＞=+1，

4

由題意可知，直線A8與拋物線交于A、8兩點(diǎn),

13

把y=代入y=：x+l

44

整理得/-3x-4=0,

解得：X]=-1,%=4,

:點(diǎn)8在y軸的左側(cè)，

??.B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,

,:BP//y軸，

/-3尸所在直線與％軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-L0)，

故答案為：

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合

問(wèn)題等，理解題意，綜合運(yùn)用一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.已知拋物線方程為丫=依2（。>0）,點(diǎn)尸是拋物線上任意一點(diǎn).

（1）我們稱(chēng)尸［。，2］為拋物線產(chǎn)加（"0）的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，連接線段所，作

PHLI于點(diǎn)、H.

求證：PF=PH；

（2）已知拋物線>=辦2過(guò)點(diǎn)M（T,4）.

①求拋物線的解析式，并求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F；

②將M（T,4）繞焦點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)N,求△機(jī)周長(zhǎng)的最小值；

③直線/：丫=立+機(jī)與拋物線交于A、3兩點(diǎn)，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA±OB.

求證：直線A5過(guò)定點(diǎn).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①y=，點(diǎn)"o,i）；②I1；③見(jiàn)解析

4

【分析】（1）PF2=nf+（am2）2=（am2+—）2,而PH=a"+工=PF,即可求解；

4a4a4a

（2）①將點(diǎn)"的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：4=?（-4）2,解得〃=!，進(jìn)而求解；

②求出N（3,5）,當(dāng)N、P、”三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)APNF周長(zhǎng)最小值=RV+PF+2VP=AW+RV,即可求解；

2

③聯(lián)立y=6+帆與曠=并整理得：x-4kx-4m=0,則XWB=-4"；再證明tanZAOM=tanNOBN,即

4

籌=黑，得到4乙=-16=-4機(jī)，解得加=4,即可求解.

OMBN

【詳解】解：（1）如圖1,設(shè)點(diǎn)P（%a/）,

圖1

貝I]PF2=m2+(am2—--)2=(am2+—)2,貝！|PH=anf+—,

4a4a4Q

而尸尸=am2+—=PH,

4a

(2)①將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：4=?(-4)2,解得〃=!，

4

故拋物線的表達(dá)式為y=-x2,則點(diǎn)尸(0,1)；

4

②如圖2,將圖形MFN向下平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)加(-4,3),對(duì)應(yīng)點(diǎn)N(3,4),

再將該圖形向上平移1個(gè)單位，則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,5),即為題干要求點(diǎn)N的位置，即點(diǎn)N(3,5),

V

圖2

由(1)知，PF=PH,而KV為常數(shù)，故當(dāng)N、1)、”三點(diǎn)共線時(shí)，PF+NP=NH為最小,

此時(shí)APNF周長(zhǎng)最小值=可+尸尸+心="￥+印=(5+1)+'32~|-(5-1)=11;

③如圖3,聯(lián)立、=區(qū)+機(jī)與y=工/并整理得：x2—4kx-4m=C

，則xAxB=-4m,

4

過(guò)點(diǎn)A、3分別作無(wú)軸的垂線，垂足分別為“、N,

Mq^

圖3

ZAOM+ZBON=90°,ZBON-^-ZOBN=90°,

.\ZAOM=ZOBN,

…八nnON

tanZAOM=tanZ.OBN,即---=,

OMBN

2

1%

則即殳二=產(chǎn)，

一4力一4lr2

4B

整理得：xAxB=-16=-4m,解得機(jī)=4,

故直線I的表達(dá)式為y=kx+4,

當(dāng)x=0時(shí)，>=履+4=4,

故直線/過(guò)定點(diǎn)(。，4).

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、圖形的平移和旋轉(zhuǎn)、

新定義等，有一定的綜合性，難度較大.

5.如圖，在頂點(diǎn)為P的拋物線y=a(x-〃)2+左(awO)的對(duì)稱(chēng)軸1上取人供水+上)，過(guò)A作3d交拋

物線于B,C兩點(diǎn)(B在C左側(cè))，點(diǎn)A和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，過(guò)A作〃△/,又分別過(guò)B,C作BE1.機(jī),CO，機(jī)，

垂足為E,D,在這里我們把點(diǎn)A叫拋物線的焦點(diǎn)，BC叫拋物線的直徑，矩形BCDE叫拋物線的焦點(diǎn)矩形.

(1)直接寫(xiě)出拋物線y=^-x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；

4

(2)求拋物線y=：(x-3)2+2的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；

3

(3)已知拋物線y=a(x-/z)2+左色20)的直徑為/,求a的值；

(4)①已知拋物線了=。1+法+。的焦點(diǎn)矩形的面積為2,求a的值；

②直接寫(xiě)出拋物線>=；(尤-3)2+2的焦點(diǎn)矩形與拋物線〉=/一2必+加2+1有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍.

2]

【答案】(1)(0,1),4；(2)(3,3),4；(3)±§；(4)①士不；②1一行〈〃仁1或54/<5+0

【分析】(1)根據(jù)題意可以求得拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；

(2)根據(jù)題意可以求得拋物線y=：(》-3)2+2的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；

(3)根據(jù)題意和拋物線>=。。-〃)2+左(力0)的直徑為；，列方程即求a的值；

(4)①根據(jù)題意和拋物線>=加+法+0=4(*-〃)2+左(分0)的焦點(diǎn)矩形的面積為2,列方程即求。的值；

②根據(jù)⑵中的結(jié)果和圖形可以求得拋物線>=[(龍-3)2+2的焦點(diǎn)矩形與拋物線y=f一2必+加+1有兩個(gè)

4

公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍.

【詳解】(1)：拋物線y=中，卜=。,k=0,

44

1=1

此拋物線焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)是。=0,,縱坐標(biāo)是：石一戶(hù)

4X——

4

；?拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

將>=1代入y=工X?得：x1=2,x2=-2,

4

此拋物線的直徑是：2-(-2)=4；

(2):拋物線y='(x-3)2+2中，a=~,h=3,k=2,

44

,1c1

k_|___—O_i________

此拋物線焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)是/2=3,,縱坐標(biāo)是：4a1

zi4X一

4

???拋物線y=：(x-3>+2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),

將>=3代入y=：(x—3)2+2得：再=5,x2=1,

此拋物線的直徑是：5-1=4；

(3)：拋物線y=a(x-份2+H0)的焦點(diǎn)為A(/>,%+；),

k+-——Q(x—%)+左，

7171

解得：寸〃+麗，9=〃-福，

,1n=1=2

???此拋物線的直徑是:h-\—；~7—

2問(wèn)2m\a\2，

2

解得：a—i—，

2

**?a的值是土—;

2

(4)設(shè)拋物線角軍析式為：y=ax+區(qū)+o=〃(九一〃)2+左wo),

1

①由⑶得，BCf,

焦點(diǎn)為A(/I,k+--),頂點(diǎn)為P(/z,k),

4。

CD=A'A^2AP^2k+--k

4a2\a\

根據(jù)題章.S=BC,CD=----：~~7=——=2

悵依0思.問(wèn)2問(wèn)2/'

解得：〃=±彳，

**?°的值是±7；

2

②當(dāng)1-亞＜mWl或5Vzn＜5+虛時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，