高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：解析幾何（解答題10種考法）專練（解析版）

專題05解析幾何(解答題10種考法)

22

[+右=1(〃>6>0)

1.(2023?福建廈門(mén)?廈門(mén)一中校考模擬預(yù)測(cè))已知A,6分別是橢圓C：/b2'的右頂點(diǎn)和

上頂點(diǎn)，以同=逐，直線N8的斜率為

⑴求橢圓的方程；

(2)直線〃/”8,與x,>軸分別交于點(diǎn)M,N,與橢圓相交于點(diǎn)c,D.

(i)求A°CM的面積與△O0N的面積之比；

(ii)證明：1時(shí)+|皿為定值.

【答案】⑴4

⑵(i)1(ii)證明見(jiàn)解析

fy2

【解析】(1);A、8是橢圓/十爐―1(">">°),的兩個(gè)頂點(diǎn)，且1叫=后，

直線48的斜率為一5,由留砌,8(0,6),得第=77壽=石,

b-0b

k7=--=—=—1

又0-aa2,

解得a=2,6=1,

2

了21

—i-y-l

橢圓的方程為4；

1

設(shè)直線/的方程為"一寸+加，則屈（2加,0）,N（0,%）,

1

y=——x+m

2

,22

=1

1--4----1-'V消去人

聯(lián)立方程

整理得了2—2蛆+2加2—2=0,A=4m2-8（m2-4）=32-4m2>0得加2<&

2

設(shè)。（再，%），。（X2，%）,...西+%2=2加，xix2=2m-2

,S4OCM=。2利必|S/\ODN=』〃配I

（|）2,2

Sg|2%||2*網(wǎng)|_》2

=1

*4ODN國(guó)

；.AOCM的面積與△ODN的面積之比為1；

（ii）證明"CM「+⑷2=（無(wú)I_2m）2+K+（尤2-2m）2+貨

22

=x；—4mXj+4m2+f一；玉+mI+x2~4mx2+4m2+_g%2+m

525

=—--xyx2-5m（X[+4）+104

=5m2-1（2w2-2）-10m2+10/712=5

\CM^+\MDf=5

22

C:—+^=1（/）＞0）口口「

2.（2023?全國(guó)?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓6b2的左右焦點(diǎn)分別為。是

橢圓的中心，點(diǎn)M為其上的-點(diǎn)滿足M周閭=5,Ml=2.

⑴求橢圓C的方程;

（2）設(shè)定點(diǎn)T&°）,過(guò)點(diǎn)7的直線/交橢圓C于P，°兩點(diǎn)，若在C上存在一點(diǎn)A,使得直線4P的斜率與直線

的斜率之和為定值，求，的范圍.

“2T

【答案】⑴63

（2）t>V6或/v-V6

1Ml=%|咋J=2,在月中，設(shè)ZFMF=0

【解析】（1）設(shè)X2

|片閶2=1+^2-2^7^COS^=4C2

2

為cos6=1+]-4c又MC=g（^MFX

+MF2

22

--------2-------------,,

片+4+2「GCOS。）=^-+^--。2

MF2+2MF-MF2

22

,苗。2=工+殳一°2（…）-2/_C2=2O2_C2_5=4

222

2〃—C1=9,va2-6,/.c2=3,.\b2=3

二十匚1

所以橢圓°的方程為：63

（2）設(shè)'（％，%），'（再，必），°（工2/2）,直線/的方程為x=+

|22

土+匕=1

63-（22+2）/+2^+/2-6=0

x=Ay+t

2at2-6

2也=--，%%=不演二%必+%,%2=%%+t

4/2/—63

4+x2儲(chǔ)+2'%/-萬(wàn)+2

(%-乂)?(％-X2)+(%-%)國(guó)一再)

設(shè)/一再x0-x2(后一占卜(%一9)

2%%-%（為+%）+24必％+。-X。）（乂+%）

210%幾2+（2/x0—12）4+4yo（x?！?/p>

若P為常數(shù)，貝產(chǎn)%-12=0,

2工0%4%-0-7)_2%

2

即6=%,而此時(shí)N一6)2(x0-/)-，

—y[h<x。<A/6,—V6<一<>/6rzy—

又t,即"J6或，<一而，

/±±曰[

綜上所述，，>遙或,<一《,存在點(diǎn)I’"『人使得直線NP的斜率與直線的斜率之和為定值

2yo

xo~f

22

C：4+1=l(a>b>0)

3(2023?陜西商洛?陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓a-Zr的左、右頂點(diǎn)分別為

48,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)尸在C上運(yùn)動(dòng)，且A/BP面積的最大值為8.

(1)求C的方程;

(2)若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)°(L°),交C于M,N兩點(diǎn)，直線分別交直線、=4于。，￡兩點(diǎn)，試問(wèn)△/助

與A/QE的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

【答案】⑴164

4

⑵與"QE的面積之比為定值3

【解析】（1）由題意得2a=2x26,即。=26①.

當(dāng)點(diǎn)尸為C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，4BP的面積取得最大值,

—x2bxQ=8二

所以2,即“r人=8②.

聯(lián)立①②，得0=4,6=2.

（2）

△/BZ）與的面積之比為定值.

由⑴可得”（一2，。），*2,。），

由題意設(shè)直線/：工=叼+1，"（％，/）川（工2，%）

x=my+1,

位+E=1/2\2

聯(lián)立1164一'得（4"+1b+8即一12=0

則A=64m2+48（4加2+1）>0

8m12

%+>2=--2^，必>2=一/一

4m+114m+1,

孫%=箝1+%）

所以2^

y=—^--（x+2）

直線4M的方程為%+2,

令x=4,得尤1+2,即（X]+2J

小4,工、

同理可得<，X2-2）.

故A4BD與"QE的面積之比為

s△四:四辦

_4必|_4必卜2-2）|_14M（"必T）

=4x心必％-必

SQAQE3叢|%（』+2）||力（町+3）"沙必+3%

13

]（必+》2）一必

/必+]%4

二4x=4x

39~~

5（%+%）+3%3

4

即△/應(yīng)>與A2°E的面積之比為定值§.

22

￡:三+《=1（°>6>0）——

4.（2023?山西大同?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓a6的離心率為2,且直線、=芯+6是

拋物線。2：/=人的一條切線.

（1）求橢圓G的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)3J的動(dòng)直線上交橢圓C1于48兩點(diǎn)，試問(wèn)：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以

NB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T?若存在，求出？的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

r2

G：--HV=]

【答案】（1）2

（2）存在；（°』）

fy=x+b

【解析】（1）由i/=4x得x?+（26-4）x+/=°

直線V=x+6是拋物線Cz：V=4x的一條切線.所以A=Onb=l

cV2r-X221

—=—na=72Ci:---1-y=1

a2,所以橢圓2

(2)

當(dāng)直線上與％軸平行時(shí)，以45為直徑的圓方程為

當(dāng)直線￡與歹軸重合時(shí)，以為直徑的圓方程為f+/=1

所以兩圓的交點(diǎn)為點(diǎn)（°』）猜想：所求的點(diǎn)7為點(diǎn)（°」）.

證明如下.當(dāng)直線工與x軸垂直時(shí)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（°」）

,1

y—kx—

當(dāng)直線上與X軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線L為：3

k1112左

y=kx--X.+x=——-——

,312-18F+9

x22_i_-16

由|萬(wàn)+'一得（z1842+9卜2―126-16=0,設(shè)工（西,必），2（%，%）則18丁+9

-=xx

"?竊=(再/1一1卜(%2,%-=+(必一1)(%1)i2+網(wǎng)

則I

16-16412k16

+一=(1+F)-----x

918左2+9318k2+99

所以而，無(wú)，即以N2為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（°」）

所以存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T.

》-—I

5.（2023?江蘇南京?南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓E的方程為48，左、右頂點(diǎn)分別為

/（-2,0）,網(wǎng)2,0）,點(diǎn)尸為橢圓￡上的點(diǎn)，且在第一象限，直線/過(guò)點(diǎn)P

⑴若直線/分別交x,y軸于C,。兩點(diǎn)，若PD=2,求尸C的長(zhǎng)；

⑵若直線/過(guò)點(diǎn)（T"）,力交橢圓￡于另一點(diǎn)。（異于點(diǎn)/,B）,記直線4P與直線8。交于點(diǎn)試問(wèn)點(diǎn)

“是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說(shuō)明理由.

【答案】⑴20；

⑵點(diǎn)M在定直線x=Y上，理由見(jiàn)解析.

【解析】⑴設(shè)尸（%，％），。（。，%）,

22

迎+至=12\2，

則48①，%+(%-%)=4②,

由①②可得￡=

y（＞＞。，，患=|%-%|即Ur收

=?y°=4i,PC|=2V2.

1^1|

⑵依題可設(shè)直線/的方程為》=叫一1，尸（沖耳），0（%，%）,

x=my-1

22

%+>-1

----1-----1,整理得Q加2+1)/一4〃沙-6=0,

聯(lián)立方程組〔48

A=16m2+24（2加2+1）>0

4m-6

y=~V,(x+2)y=%(x-2)

直線4P的方程為玉+2,直線8°的方程為％-2

、，一先（丫6r_2yIx2-4y1+2x1y2+4y2

y—I4乙）AQ一—~~r

聯(lián)立方程組〔9-2,得（國(guó)+2）%-（迎-2）必，

因?yàn)椋ㄔ?2）%-（工2-2）弘=x1y2+2y2-x2yi+2y1

=（加%T）%+2%—（my,-1）必+2%=3%+%

22―4%+2不%+4%=2必（my2-1）-4y1+2（my1-1）%+4y2=4myty2-6y1+2y2

.丫_4加%%—6y+2%

°-

4m_-6

由“+%=病工1,得%%得2呻%=-3（%+%）.

*=4〃職%-6/+2%=-6（%+%）_6%+2%=_12%-4%=_4

所以03乂+%3%+%3,+%

故點(diǎn)/在定直線x=-4上.

22A

）+勺=1（。>6>0）—p（J3ol

6.（2023?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：a2b2的離心率為2,右焦點(diǎn)為㈠‘九A

B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程;

⑵過(guò)點(diǎn)0°,°）作斜率不為°的直線/,直線/與橢圓C交于P,0兩點(diǎn)，記直線/尸的斜率為匕，直線8。的

%

斜率為公，求證：&為定值；

⑶在（2）的條件下，直線*與直線80交于點(diǎn)M,求證：點(diǎn)M在定直線上.

—Hy=1

【答案】（1）4'

（2）證明見(jiàn)解析

⑶證明見(jiàn)解析

[c百

e=-=—r。

<a2\a=2

【解析】⑴依題可得=6,解得〔0=8,所以

—y=1

所以橢圓C的方程為4-

（2）設(shè)尸?，％）,因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)且斜率不為0,

,2

X+22

所以可設(shè)/的方程為"3+1,代入橢圓方程77+；；一得（「+4）/+2）-3=0,

2t3

其判別式A=4L+12（廣+4）＞。，所以i-E2一三

y+為23

=%t卯1%=一（必+%）

兩式相除得M必3,即2’」

因?yàn)?8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一2,0）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（2，°）,

%%

k==k2

所以'國(guó)+2%+3,%2—2夕2—]

3（—+%）

K="（優(yōu)f=2一第=必+3為=]_

左2%（物+3）3（%+%）1,3%+9%3

左11

（3）由（1）知幻3,設(shè)匕=機(jī)，則e=3加，

所以直線/P的方程為尸妙+2加，直線時(shí)的方程為y=3mx-6my

y=mx+2mJx=4

可得[y=6加

聯(lián)立y=3mx-6m

所以直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（46加）,

所以點(diǎn)放在定直線x=4上.

7.（2023?北京海淀?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線°：（5一"面+（加-2）y2=8（機(jī)eR）.

（1）若曲線C是橢圓，求力的取值范圍.

（2）設(shè)機(jī)=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為4,2（點(diǎn)/位于點(diǎn)2的上方），直線/：了=履+,與曲線C交于不同的

兩點(diǎn)M,N.設(shè)直線/N與直線相交于點(diǎn)G.試問(wèn)點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若

不是，說(shuō)明理由.

U5

【答案】⑴r

（2）在定直線〉=1上，理由見(jiàn)詳解.

5-m>0

m-2>0

I,5

5一…一2,解得

【解析】（1）因?yàn)榍€C是橢圓，所以

（2）是在定直線＞=1上，理由如下:

當(dāng)”=4時(shí)，此時(shí)橢圓C：/+2/=8,設(shè)點(diǎn)N（再,乂）,M（9,力）5"±2）與直線/聯(lián)立得

（1+2左2*+16而+24=0

△=（16左丫一4x24（1+2左2）>0-左2>,16k24

Xi+x9=----------------7,X.巧=----r

2,且121+2k2'121+2左2

x+x=-l/ax

所以3-

J/AR/no'//N：y_2=^-----x,lBM:y+2=^-----x

易知/（0,2）、以0-2）,貝u占x?

3

一］（再+X2）+2X2

>一2_（%一2）?%_kxxx2+2X2

y+2（%+2）?再kxx+6x3

12x一］（再+%）+6/

兩式作商得是定值,

故G在定直線歹二1上.

22

E:=-=1(a>0,6>0)

8.(2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模)設(shè)雙曲線b',的左、右焦點(diǎn)分別為耳居,

閨閔=26，且￡的漸近線方程為?"一±5.

(1)求￡的方程;

(2)過(guò)《作兩條相互垂直的直線4和4,與5的右支分別交于4,C兩點(diǎn)和3,。兩點(diǎn)，求四邊形4BCD面

積的最小值.

【答案】(1)4-

32

⑵9

221

E:=一4=l(a>0,6>0)y=±—x

【解析】(1)由題意，得?b~的漸近線方程為a

xbi

y=+——=—

因?yàn)殡p曲線E的漸近線方程為2,所以。2,即。=26,

又因?yàn)閮?nèi)閭=2而工廬=2病7=2石，所以方=1,則。=2,

X?21

—y=1

故E的方程為4

(2)根據(jù)題意，直線'I%的斜率都存在且不為0,

設(shè)直線/"=碓一石）/k一"到其中讓0,

/7閃>!_￡>彳-<k-<A

因?yàn)?,/2均與E的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以L2,k2,所以4

7—y=]（1_4*）%2+8舟2、_20*_4=0

將4的方程與4聯(lián)立,可得''

一8限2-20左24

設(shè)/（X],必）,。（工2，%），則%+尤2i-4k2,X'Xil-4k2

222

\AC\=-^（xj-x2）+-y2）=71+P"|xj-x21=yjl+kJ（尤i+z）2-4占馬

所以

f-8限2Jx*…4A/1+左2_4（1+K）

=A/1+k2

1-4F\l-4k24/一1

1..4（F+1）

用k替換k,可得?4-E,

1..,,141+F4^2+lA2+l

S=-\AC\-\BD\=——J=8-（、/--v

所以ABCD2111124^--l4-H（4A:21-1）（4-F）

A:2=f-l,Ze|—,5|

令”《+1,所以14人

q9?T]_8>32

ABCD~.-4/+25—25.14+""一fln29-9

則t干I2）4,

1J_

當(dāng)力-5,即％=±1時(shí)，等號(hào)成立，

32

故四邊形/BCD面積的最小值為9.

22

C?土-匕=1

9.（2023?湖北襄陽(yáng)?襄陽(yáng)四中校考模擬預(yù)測(cè)）己知雙曲線”/的離心率為夜，點(diǎn)片（-c,°）,

乙?0）分別是其左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)片的直線交雙曲線的右支于P,4兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在第一象限.當(dāng)直線P/的斜

率不存在時(shí)，戶a=2拒.

⑴求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）線段尸片交圓。2：（龍+。）2+/=4/于點(diǎn)瓦記APBB,A/名/，VP4尸1的面積分別為s”.S,求

SS

---1----

E邑的最小值.

【答案】⑴》2一〉2=2c

⑵2^5+2

22

【解析】（1）解：因?yàn)殡p曲線1//的離心率為0,

所以,一之一后，又過(guò)點(diǎn)名的直線產(chǎn)/的斜率不存在時(shí)，忸H=28,

—=2A/2

所以?

解得。=b=6,

22c

所以雙曲線的方程為：x-y=2；

(、盤(pán)_式=1—.―.

(2)設(shè)P(xQ),則/b2，且赧=",

22

M=J(X|+C『+J?=J(xt+c)+^—b

所以Va，

由雙曲線定義得M一圈=2a,

所以照|=ex「a,則附=附|-2及=|明

號(hào)_四\PA\|P^|\PA\exx+a2+1

所以每=網(wǎng),同=同.忸可=不7T

_￡+A=A1l+2+l=-+2+2>2.p+2=2不+2

所以，邑2X

當(dāng)且僅當(dāng)4=e時(shí)，等號(hào)成立,

5S

所以W‘2的最小值2J5+2.

22

E:=l（a>0,Z>>0）cn

10.（2023?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線?6的一條漸近線方程為x-Y3y=0,

焦點(diǎn)到漸近線的距離為L(zhǎng)

⑴求E的方程；

⑵過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)廠作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）"、C7）.兩條弦的中點(diǎn)分別為尸、Q,那

么直線尸。是否過(guò)定點(diǎn)?若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明原因；若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).

X22,

—y=1

【答案】（1）3

⑵直線尸。過(guò)定點(diǎn)6°）

【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c'°）,

=旦

依題意漸近線方程為X-0=°,即'-3X,

（2）由（工）可知右焦點(diǎn)/（2，°）,

設(shè)直線狐：％=町+2（〃*0）,《（士,弘），

x=ny+2

由聯(lián)立直線與雙曲線13

-3)/+4ny+1=0士后,A=I2/+12>0,

化簡(jiǎn)得

lx——y+2

又?.?CQ_L48,貝|rnn

_f6n2—2n)

-2n2n

k：3〃2_1?_3_2n

PQ—6而6.而不

3〃2一1H2-3,

,2n(6n2)2n

*e?ln-y=-^~-X—「--r-

P3n-l3n-l

(x-3)

化簡(jiǎn)得

故直線尸。過(guò)定點(diǎn)（3，°）.

C:「+J=l（a＞，＞0）

11.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓。b2）的左、右焦點(diǎn)

分別為耳，月，A,8分別是C的右、上頂點(diǎn)，且=。是c上一點(diǎn)，085。周長(zhǎng)的最大值為8.

（1）求C的方程；

（2）。的弦。E過(guò)耳，直線NE,工。分別交直線x=-4于河，N兩點(diǎn),尸是線段的中點(diǎn)，證明：以尸。

為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

【答案】⑴43

⑵證明見(jiàn)解析.

【解析】1）依題意，/+/=7,

□叔卬周長(zhǎng)，叫+|Z閱+4=|。同+2"|。耳|+.4怛4|+3”4.,當(dāng)且僅當(dāng)及耳。三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,

__I_]

所以/=46=3,所以c的方程43~

（2）設(shè)。（冷必），石（工2，p2）,直線D￡:x=my-1,代入4+3I整理得0加+4”-6毆一9二0

6m-9

A=36/+36（3/+4）＞0,M+%=#百=彳百，

皿產(chǎn)上（＞2）/一4,工］小,且］

易知七-2,令x=-4,得I國(guó)-2人同得I%-2人

小7廣+一］

從而中點(diǎn)II?2

+J；J；=0

(x+4)(x-x1)+L+3f^-^Z7^(-i)

以尸。為直徑的圓為(X21〃

由對(duì)稱性可知，定點(diǎn)必在X軸上,

（工+4）（1_再）-3%必?%=0

項(xiàng)—2X?—2

令k°得,

%+%=M+%=2加%%-35+%）

再一2x2-2myx-3my2—3"為必一3加（必+%）+9

一]8加18加

3加2+43加2+4_-36m

-9加2_18/+936

3m2+43m2+4

所以（x+4）（x-xJ+3孫=0即x+（4—%）x—4七+3%必=0因?yàn)閄]=?2M_]

所以/+（5_叼|）彳_叩1+4=0,gp（x+l）（x-my1+4）=0

解得x=T，所以圓過(guò)定點(diǎn)㈠⑼.

12.(2023?江蘇徐州?校考模擬預(yù)測(cè))已知拋物線E：V=4x,過(guò)點(diǎn)尸(U)作斜率互為相反數(shù)的直線加，”,

分別交拋物線E于48及CO兩點(diǎn).

(1)若9=3而，求直線NB的方程;

(2)求證：/CAP=/BDP

【答案】⑴戶,

⑵證明見(jiàn)解析

【解析](工)設(shè)"01'乂)，5(%2/2),...尸(1,1),..產(chǎn)=(1一%2」一%)，24=(七一1,弘T),

J3(l-x2)=x1-1J%]=4-3X2

..PA=3BP.13(1一%)=必T1%=4-3%

?，??，?

又...療=4再，...(4-3%)2=4(4-3%),即3y"8%=-%，

又...￡=4Y2,...4y；-8%=0,%=0或%=2,

當(dāng)%=0時(shí)，/=°,...玉=4,必=4；

當(dāng)歸=2時(shí)，x?=l,...西=1,必=-2,此時(shí)直線的斜率不存在，舍去，

.../(4,4),8(0,0),；.直線的方程為：＞=x.

(2)設(shè)直線/3：尸"(工-1)+1,則直線y=-k(x-l)+lj

設(shè)4%,%)，次%,%),。(工3，%),。(無(wú)4，”)，

」='T)+1

y=k(x-l)+l

94444

2即卜=4xy——y+——4=0凹+%=7%歹2=——4

由y=4x則kk，所以k「k

又」*

|/P|.|3P|=11+5卜x_1)(%=+_(乂+%)+l|=(l+"J+l

\CP\-\DP\

,同理可證：

\AP\\CP\

._\AP\-\BP\=\CP\-\DP\^._\DP\~\BP\；

又...NCPA=NBPD,...△4PCsBPD,...NCAP=NBDP

22

C:二*=l（a>0,b>0）

13.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考三模）已知雙曲線編夕的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為尸，A,

現(xiàn)叫，朋=1,點(diǎn)M在線段相上，且滿足忸"|=網(wǎng)必，直線0加的斜率為1,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求雙曲線C的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)廠的直線/與雙曲線C的右支相交于尸，2兩點(diǎn)，在無(wú)軸上是否存在與尸不同的定點(diǎn)E,使得

忸外.0］二忸0|便尸|恒成立？若存在，求出點(diǎn)石的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

X———

【答案】（1）3

唔,。

⑵存在,

【解析】⑴設(shè)。?"“（。叫，所以尸（G。），，（。⑼,B（0，b）,

因?yàn)辄c(diǎn)〃在線段上，且滿足忸用退阿

V3+1=1

V3b_也

因?yàn)橹本€。加的斜率為1,所以G+1，所以。一

AF=i

因?yàn)閈\,所以解得。=1,b=也，c=2

X———=]

所以雙曲線C的方程為3.

(2)假設(shè)在x軸上存在與廠不同的定點(diǎn)心使得忸斗怛魚(yú)=怪°卜產(chǎn)孔恒成立,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，E在x軸上任意位置，都有忸尸“尸?！衡?""[

當(dāng)直線/的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)“日°),直線/的方程為*=@+2,

一旦3,

直線/與雙曲線C的右支相交于尸，°兩點(diǎn),則33且％*0,

設(shè)尸(士,%)，

//-1

<3

由「=@+2,得（3左2—i）/+i2@+9=0

3左2-1/0,A=36左2+36>0,

12k9

所以

EP_FP

因?yàn)殁?忸。卜怛以，即￡。尸。，所以EF平分NPEQ,嚷+%=0,

_JL+^^=0%?%;0

有再一,x2-t,即立+2-￡ky2+2-t,得2攸必+（27）（必+%）=0,

C79人/12左、八1

所以3片-I\3k--1）,由七0,解得2.

綜上所述，存在與尸不同的定點(diǎn)/使得忸斗園=但"尸|恒成立，且42'°]

22

C:--+=1（。＞Z）＞0）

14.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓??b-的左頂點(diǎn)為A,過(guò)右焦點(diǎn)尸且平行于

了軸的弦尸°=//=3.

（1）求△,尸°的內(nèi)心坐標(biāo)；

⑵是否存在定點(diǎn)。，使過(guò)點(diǎn)。的直線/交C于M，N,交PQ于點(diǎn)R,且滿足施?而=礪?而？若存在，

求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）14J

（2）存在定點(diǎn)/（4,°）

a2=b2+c2,=a+c=3a=2,b=V3,c=1

【解析】（1）a

22

土+匕=1

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為43,

pfl,112p,-1p（-2,0）AP="PF=）

不妨取I2JI2J，則22.

4

因?yàn)椤?尸。中，AP=AQy所以△/尸。的內(nèi)心在x軸，設(shè)直線尸？平分乙尸0,交x軸于7,則T為

ATAPATAT=^-

△,尸。的內(nèi)心，且萬(wàn)PF3-AT,所以V5+1,貝1JI4）.

（2）???橢圓和弦尸。均關(guān)于x軸上下對(duì)稱.若存在定點(diǎn)，則點(diǎn)。必在x軸上.,?設(shè)

y=k（x-t）

＜《+d=i

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=-x-），ME/J，N（X2，%）,直線方程與橢圓方程聯(lián)立〔43~

（4左2+3）x?-8『僅+4（左2/-3）=o

消去了得

8Et__4產(chǎn)_3）

二48（左2+3—左2戶）＞0,玉+x

A24左2+3'*"-442+3①

則

???點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為L(zhǎng)M、R、N。均在直線/上，MRND^MD-RN

（1+公）（1_再）?—々）=（1+后2）?_項(xiàng)）（工2-1）

、8Et4仔/_3）

2/—（1+/）（M+x,）+2Mx=02t—（1+/）------F2x----------=0

V127124^2+34左2+3整理得才=4,

因?yàn)辄c(diǎn)。在橢圓外，則直線/的斜率必存在..?.存在定點(diǎn)A"。）滿足題意

15（2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)°為坐標(biāo)原點(diǎn)，M（T,0）,N（l,0）,。為線

\PM\_PN

段MN上異于M,N的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足I。叫QN

(1)求點(diǎn)尸的軌跡￡的方程；

(2)點(diǎn)4c是曲線E上兩點(diǎn)，且在X軸上方，滿足/M//NC,求四邊形/跖VC面積的最大值.

22

X-1

【答案】⑴43

⑵3

..\PM\_PN2

【解析】(1)「°叫QN,.?.盧切=2|0必，儼叫=2|?！?/p>

:.\PM\+|PN|=2(\QM\+|°M)=2=4

二尸點(diǎn)軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

22

三+烏=1(。〉6〉0)222

222

設(shè)橢圓方程為。6,貝IJQ=2,C=1,,.b=a-c=3f

22

工+匕=1

二點(diǎn)尸的軌跡E的方程為：43.

(2)連接C。，延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)8,連接BM,AN,CM,

由橢圓對(duì)稱性可知：因引叫又...四邊形為平行四邊形,

:.CN//BM,\CN\=\BM\^S&BOM=S&CON且4M,8三點(diǎn)共線

二.四邊形AMNC的面積S=S/CM+S.COM+S?CON=^^ACM+^^COM+^^BOM=S^ABC,

設(shè)直線48:x=my-l,/（再,%）,8（%,%）（%>0）,

[22

土+匕=1

43

x=my-1得.（3加2+4）>2_6加y-9=0

由

6m9

必+歹2必歹一

3m2+42=3m2+4

sll+m2-^48（3m2+3）120+加之）

?'?\AB\=Vl+m24（"+為了一4%%=

3m2+43m2+4,

又/M//NC,.?.點(diǎn)C到直線43的距離即為點(diǎn)N到直線45的距離,

.?.5=3朋4=1241+機(jī)2

2

d=.3m2+4

???點(diǎn)N到直線AB的距離Vl+m2,

h+1_4_________?------------------

加'IS=12\—^-=12O=4A/3-J-4+-=4A/3-+J

設(shè)3加2+4=%,則3,此4,Y，V3/vtt丫Q2）4,

—1S1——1=—1

又,-4,二.當(dāng)，4,即％=°時(shí)，四邊形NMNC面積取得最大值，最大值為3.

E:=+4=l（a>6>0）

16.（2023?四川成都?成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考三模）設(shè)橢圓6-過(guò)點(diǎn)

且左焦點(diǎn)為百HM.

⑴求橢圓￡的方程；