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陜西省韓城市司馬遷中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等,其中為虛部單位,則實(shí)數(shù)()A.3 B. C. D.3.將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種4.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.5.設(shè)集合A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z},則A∩B=()A.(﹣1,3] B.[﹣1,3] C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}6.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等,則的值為()A. B. C. D.7.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.8.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.9.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),,若,對(duì)任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)z滿足(其中i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的虛部是()A. B.1 C. D.i12.設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則點(diǎn)的軌跡方程是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在二項(xiàng)式的展開式中,的系數(shù)為________.14.若函數(shù),其中且,則______________.15.一個(gè)算法的偽代碼如圖所示,執(zhí)行此算法,最后輸出的T的值為________.16.已知不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成.在此區(qū)域內(nèi)原有一個(gè)以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個(gè)凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點(diǎn).已知長(zhǎng)為40米,設(shè)為.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1)記四邊形的周長(zhǎng)為,求的表達(dá)式;(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值.18.(12分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來,電子購(gòu)物平臺(tái)成為人們的熱門選擇.為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī),某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案,并在某地區(qū)部分營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后,對(duì)“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè),對(duì)比上一年度的銷售情況,分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額,并按年銷售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組:,分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷售總額增長(zhǎng)10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.(1)請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”;采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn),通過分析上一年度的售價(jià)(單位:元)和日銷量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷費(fèi)用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤(rùn)可以達(dá)到最大.附①:附②:對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)直線(t為參數(shù))與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求最大時(shí),直線l的直角坐標(biāo)方程.20.(12分)已知橢圓E:()的離心率為,且短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)A,C組成的三角形面積為.(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)若點(diǎn)P為橢圓E上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作橢圓E的切線交圓O:于不同的兩點(diǎn)M,N(其中M在N的右側(cè)),求四邊形面積的最大值.21.(12分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.22.(10分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí),同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下:等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624(1)由該題中頻率分布直方圖求測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);(2)其他條件不變,在評(píng)定等級(jí)為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測(cè)試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測(cè)試得分仍低于80分的概率;(3)用分層抽樣的方法,從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再?gòu)倪@10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.3、D【解析】

采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】

由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.5、C【解析】

先求集合A,再用列舉法表示出集合B,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解:∵集合A={y|y=2x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2,3},故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法,以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】,又的實(shí)部與虛部相等,,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.7、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計(jì)算能力.8、A【解析】

先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋?,函?shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.10、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對(duì)應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.11、A【解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

設(shè)坐標(biāo),根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出,從而可利用表示出;由坐標(biāo)運(yùn)算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè),,其中,,即關(guān)于軸對(duì)稱故選:【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算;關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、60【解析】

直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為:,取,則的系數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14、【解析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,在求出,從而求得的值.【詳解】由題意,函數(shù)可化簡(jiǎn)為,所以,所以.故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)值的求解,其中解答中正確化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,準(zhǔn)確求解導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.15、【解析】

由程序中的變量、各語(yǔ)句的作用,結(jié)合流程圖所給的順序,模擬程序的運(yùn)行,即可得到答案.【詳解】根據(jù)題中的程序框圖可得:,執(zhí)行循環(huán)體,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,此時(shí),滿足條件,退出循環(huán),輸出的值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序和算法,依次寫出每次循環(huán)得到的,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基本知識(shí)的考查.16、【解析】

利用絕對(duì)值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡(jiǎn)不等式,求出的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡(jiǎn)不等式有,即而當(dāng)時(shí)滿足題意,解得或所以答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對(duì)值不等式,要注意到絕對(duì)值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來解答本題,注意去絕對(duì)值時(shí)的分類討論化簡(jiǎn)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),.(2)【解析】

(1)由余弦定理的,然后根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)求出,從而求出;(2)求得的表達(dá)式,通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.【詳解】解:(1)連.由條件得.在三角形中,,,,由余弦定理,得,因?yàn)榕c半圓相切于,所以,所以,所以.所以四邊形的周長(zhǎng)為,.(2)設(shè)四邊形的面積為,則,.所以,.令,得列表:+0-增最大值減答:要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系,考查考生的邏輯思維能力,運(yùn)算求解能力,以及函數(shù)與方程的思想.18、(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)①;②元時(shí)【解析】

(1)直接由題意列出列聯(lián)表,通過計(jì)算,可判斷精英店與采用促銷活動(dòng)是否有關(guān).(2)①代入表中數(shù)據(jù),結(jié)合公式求出;②由①中所得的線性回歸方程,若售價(jià)為,單價(jià)利潤(rùn)為,日銷售量為,進(jìn)而可求出日利潤(rùn),結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最值.【詳解】解:(1)由題意知,采用促銷中精英店的數(shù)量為,采用促銷中非精英店的數(shù)量為;沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為,沒有采用促銷中非精英店的數(shù)量為,列聯(lián)表為采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店352055非精英店153045合計(jì)5050100因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”.(2)①由公式可得:所以回歸方程為②若售價(jià)為,單件利潤(rùn)為,日銷售為,故日利潤(rùn),解得.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.故當(dāng)售價(jià)元時(shí),日利潤(rùn)達(dá)到最大為元.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),考查了線性回歸方程的求法,考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時(shí),常用的方法有:函數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法.其中最常用的還是導(dǎo)數(shù)法.19、(1);(2).【解析】

(1)利用消去參數(shù),得到曲線的普通方程,再將,代入普通方程,即可求出結(jié)論;(2)由(1)得曲線表示圓,直線曲線C交于A,B兩點(diǎn),最大值為圓的直徑,直線過圓心,即可求出直線的方程.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù)),可得曲線C的普通方程為,因?yàn)?,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為,即.(2)因?yàn)橹本€(t為參數(shù))表示的是過點(diǎn)的直線,曲線C的普通方程為,所以當(dāng)最大時(shí),直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為,方程為,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系,考查化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】

(Ⅰ)結(jié)合已知可得,求出a,b的值,即可得橢圓方程;(Ⅱ)由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用判別式等于0可得,聯(lián)立直線方程與圓的方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得,利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式,求出,得到,整理后利用基本不等式求最值.【詳解】解:(Ⅰ)可得,結(jié)合,解得,,,得橢圓方程;(Ⅱ)易知直線的斜率k存在,設(shè):,由,得,由,得,∵,設(shè)點(diǎn)O到直線:的距離為d,,,由,得,,,∴∴,∴而,,易知,∴,則,四邊形的面積當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“”.∴四邊形面積的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了由求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性比較強(qiáng),屬于難題.21、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)得,由,且,得到,再利用函數(shù)在上單調(diào)遞減論證.(2)根據(jù)題意,求導(dǎo),令,易知;,易知當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,而,又,由零點(diǎn)存在定理得,使得,,使得,有從而得證.【詳

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