廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由解得或，因為是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.2.若雙曲線滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即.故選：C.3.設(shè)全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，即，因為.故選：A4.已知四棱錐的體積為4，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】四棱錐的體積，得，直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.5.設(shè)，，分別為函數(shù)，，零點，則，，的大小關(guān)系為().A. B.C. D.【答案】D【解析】因為時，，又因為單調(diào)遞增，所以；若，則，所以時，，即；若，則，所以時，，即.綜上所述，，故選：D.6.已知向量，，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以四邊形為直角梯形.，，，則面積，故選：B.7.已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為().A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，則，因為，所以，又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得，則的最大值為.故選：B.8.一個正八面體的八個面分別標(biāo)有數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字.事件，事件，若事件滿足，，則滿足條件的事件的個數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.24【答案】C【解析】樣本空間，這是一個古典概型，可得，，即，，從而且.由可得事件；又因為，所以1或2.(1)若，則，即，，此時不滿足；(2)若，則，且，又因為，所以或，即或3；①若，，此時或或或，也就是從事件中的四個樣本點中選3個，再加入6這一個樣本點，即有個滿足條件的事件；②若，，同理有個滿足條件的事件；③若，，此時或或或，即從事件的四個樣本點中選1個，再加入5，6，7這三個樣本點，即有個滿足條件的事件；④若，，同理有個滿足條件的事件；綜上所述，滿足條件的事件共計個.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.可以是B.若為純虛數(shù)，則的虛部是2C.D.【答案】AC【解析】當(dāng)時，，選項A正確；若為純虛數(shù)，則，選項B錯誤；易知，選項C正確；由可知，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以點為圓心，2為半徑的圓上，的幾何意義是點到點的距離，可得，選項D錯誤，故選：AC.10.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（）A.B.C當(dāng)時，取得最小值D.記，則數(shù)列前項和為【答案】BCD【解析】設(shè)公差為，因為，則，解得.由得，選項A錯誤；，則，選項B正確，二次函數(shù)性質(zhì)知道時，最小，選項C正確；，所以為等差數(shù)列，，前項和為，選項D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，在上的最大值為B.在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時，D.當(dāng)且僅當(dāng)時，曲線與軸有三個交點【答案】ABD【解析】（1）當(dāng)時，可得則；則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，如圖（a）；當(dāng)時，，選項A正確；圖（a）圖（b）圖（c）圖（d）（2）當(dāng)時，易知①當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，如圖（b）；②當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，如圖（c）；（3）當(dāng)時，易知當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；如圖（d）綜上所述，在上單調(diào)遞增，選項B正確；當(dāng)時，不一定成立，比如時，，選項C錯誤；只有時，的圖象與軸可能有三個交點，此時解得，選項D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空3分.12.在中，，，，則________.【答案】【解析】由正弦定理，得，解得，又，所以，即.故答案為：13.若函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，則的最小值為________.【答案】3【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，因為的圖象與直線有兩個交點，所以的最小值為.故答案為：.14.已知點為橢圓的右焦點，直線與橢圓相交于，兩點，且與圓在軸右側(cè)相切.若經(jīng)過點且垂直于軸，則________；若沒有經(jīng)過點，則的周長為_________.【答案】；【解析】設(shè)，易知長半軸長，離心率；設(shè)與圓相切于點，若垂直于軸，此時與重合，則有，所以，得，此時直線，將代入得，所以.若沒有經(jīng)過點，設(shè)Ax1,y1由橢圓性質(zhì)和題意可知，，所以，.由橢圓方程得，代入上式有.，則，同理，所以的周長.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.某市舉辦一年一度的風(fēng)箏節(jié)，吸引大批游客前來觀賞.為了解交通狀況，有關(guān)部門隨機抽取了200位游客，對其出行方式進(jìn)行了問卷調(diào)查（每位游客只填寫一種出行方式），具體情況如下：出行方式地鐵公交車出租車自駕騎行步行頻數(shù)542738421821用上表樣本的頻率估計概率，低碳出行方式包括地鐵、公交車、騎行和步行：（1）若從參加活動的所有游客中隨機抽取3人，這3人中低碳出行的人數(shù)記為，求和；（2）據(jù)另一項調(diào)查顯示，80%的低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動，60%的非低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動，求今年參加活動的游客明年繼續(xù)參加活動的概率.解：（1）記“低碳出行”為事件，估計.則，，；（2）由（1）知，則有，記“今年參加活動的游客明年繼續(xù)參加活動”為事件，由題意，，所以.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：.解：（1），，則，曲線在點處的切線方程為.（2）解法1：定義域為.①當(dāng)時，，，則，即；②當(dāng)時，.設(shè)，，由于均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，，，即，所以在上單調(diào)遞增，，則，綜上所述，.解法2：定義域為.要證，只需證，只需證，令，，，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，，，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，，綜上所述，，也就是，即17.如圖，四棱錐的底面是邊長為2菱形，，，分別是，的中點.（1）求證；平面；（2）若，，，求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）取的中點為，連接，.點，分別是，的中點，是的中位線，即，，在菱形中，，.，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.（2）連接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，則，所以.即直線，，兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得取由得取.設(shè)平面與平面所成角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為.18.在數(shù)列中，，都有，，成等差數(shù)列，且公差為.（1）求，，，；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）是否存在，使得，，，成等比數(shù)列.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（1）由題意，，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4.則，，，.（2）由題意，.當(dāng)，時，，且滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時，.當(dāng)時，.所以（3）存在時，使得，，，成等比數(shù)列證明如下：由（2）可得，，，假設(shè)，，成等比數(shù)列，則，化簡得，所以，即，此時，所以當(dāng)時，，，，成等比數(shù)列.19.已知集合，，設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)和時，分別判斷函數(shù)是否是常數(shù)函數(shù)？說明理由；（2）已知，求函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率；（3）寫出函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件，并說明理由.解：（1）當(dāng)時，，此時是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)時，，此時不是常數(shù)函數(shù).（2）設(shè)，不妨令..若函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，則則，得，所以，得或，，所以或，，同理或，，或，，則①集合共有13個元素，從中任取3個元素組成集合，共個，而滿足①的集合有，，，，，共5個，則使得函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率為.（3）不妨令，因為，若函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，則得，所