廣東省汕尾市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕尾市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處.2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.計算復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故選：A.2.已知，，且，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】由，可得：，因，則，即：，解得：.故選：B.3.已知直線，直線，，且，則（）A.1 B.2 C.1或 D.或【答案】C【解析】由直線，直線，因為，可得，解得或.故選：C.4.已知點，動點到點的距離是它到點的距離的2倍，則動點的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)是所求軌跡上的任意一點，因為，且，可得，整理得，即所求軌跡方程為.故選：B.5.現(xiàn)有隨機選出的20個數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下，則（）7243954616673828282879195898102102108114120A.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102 B.該組數(shù)據(jù)的極差為112C.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87 D.該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為102【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對于A，出現(xiàn)次數(shù)最多的是82，所以眾數(shù)是82，故A錯誤；對于B，極差為，故B錯誤；對于C，，第10個數(shù)和第11個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，故C錯誤；對于D，，第16個數(shù)和第17個數(shù)的平均數(shù)為80%分位數(shù)，即，故D正確.故選：D.6.已知橢圓的左、右焦分別為、，過點的直線交該橢圓于、兩點，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】橢圓，，，、在圓上，，，的周長為，，.故選：C.7.若事件滿足，，，則下列說法不正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A中，由，可得，所以A正確；對于B中，由，可得，所以B錯誤；對于C中，由，可得，所以C正確；對于D中，由，所以，所以D正確.故選：B.8.已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相交于兩點（其中點落在第一象限），若，則直線的斜率為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】如圖，因可知點在直線上，設(shè)，則由可得：，即得：.設(shè)直線的方程為，代入中，整理得：，則把代入①整理得：，將其代入②：，解得：，即：.當時，直線的斜率為，此時點落在第一象限，符合題意；當時，直線的斜率為，此時點落在第四象限，不符合題意.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線的左、右頂點分別為，右焦點為，為上異于頂點的動點，則下列說法正確的有（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.點到漸近線的距離為4D.直線與直線的斜率乘積為【答案】BD【解析】由雙曲線知，，，對于A，雙曲線的離心率為，故A錯誤；對于B，雙曲線的漸近線方程為，即，故B正確；對于C，點到漸近線的距離為，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，即，所以，即直線與直線的斜率乘積為，故D正確；故選：BD.10.已知函數(shù)（，）的周期為，若，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.方程在區(qū)間內(nèi)有3個解【答案】ACD【解析】由函數(shù)，因為函數(shù)的周期為，可得，即，又因為，可得，即，因為，可得，所以，所以A正確；又因為，所以函數(shù)不關(guān)于對稱，所以B不正確；由，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以C正確；又由，可得，由方程，即，可得，可得，解得或或，所以D正確.故選：ACD.11.已知圓，圓，則（）A.若圓與圓相交，則B.當時，圓與圓有兩條公切線C.當時，兩圓的公共弦所在直線的方程為D.當時，過直線上任意一點分別作圓、圓切線，則切線長相等【答案】AD【解析】由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，且，對于A中，若圓與圓相交，可得，解得，所以A正確；對于B中，當時，可得，此時兩圓項外切，可得圓與圓有三條公切線，所以B錯誤；對于C中，當時，可得圓，兩圓的方程相減，可得，即兩圓的公共弦所在直線的方程為，所以C錯誤；對于D中，當時，兩圓相外離，過點引圓和圓的切線分別為，由，可得，即，整理得，可得過直線上任意一點分別作圓、圓切線，則切線長相等，所以D正確故選：AD.12.設(shè)拋物線的焦點為，從拋物線上點出發(fā)的光線過點后，從拋物線上的點（異于原點）反射，反射光線經(jīng)過點，則A.直線的斜率為B.和的面積之比為4C.以為直徑的圓與直線相交D.若直線與該拋物線相切，則【答案】AB【解析】對A：由題意知與軸平行，，所以可得，所以直線的斜率為，故A正確；對B：由A知直線斜率，可得直線方程：，與拋物線聯(lián)立,得，解得或，所以，所以，故B正確；對C：由拋物線定義知，設(shè)的中點為,所以以為直徑的圓的半徑為，因為點到直線的距離，所以該圓與直線相切，故C錯誤；對D：由直線，即，得直線過定點，又因為點在拋物線上，所以點為切點，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，得，由直線與拋物線相切，則，即，所以,所以切線方程為,即，所以，故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知拋物線與橢圓有公共的焦點，則________.【答案】2【解析】由知橢圓焦點在軸上，，故橢圓的焦點為，所以，解得.故答案為：2.14.汕尾市某中學(xué)高二年級共有學(xué)生800人，其中男生有580人，為了了解他們的視力狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本，若樣本中共有女生11人，則__________.【答案】40【解析】由分層抽樣可得，解得.故答案：40.15.已知雙曲線（）的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓過點，圓與雙曲線在第一象限交于點，若的面積為9，則該雙曲線的離心率________.【答案】##1.25【解析】如圖，因以為直徑的圓過點，故,即，又圓與雙曲線在第一象限交于點，則,不妨設(shè)，則有：消去解得：，故雙曲線的離心率.故答案為：.16.如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則二面角的余弦值為__________.【答案】【解析】在棱上有兩個點，線段與在這個二面角的兩個面內(nèi)，且，因為，可得，設(shè)二面角的平面角為，則，且，則，即，解得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點，，，直線與軸交于點.（1）求點的坐標；（2）求的外接圓的標準方程.解：（1）由題意，，故直線的斜率，所以直線的方程為.因為點在軸上，令，得，所以點的坐標為.（2）因為的頂點坐標分別為，，，所以，所以的外接圓是以為直徑的圓.又中點為，所以外接圓的圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.18.在中，角，，所對的邊分別是，，，且.（1）求角；（2）若，，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理可得，因為，所以.在中，由余弦定理得.因為，所以.（2）由（1）可知，又，，所以由余弦定理，可得，即，所以，，又，所以.19.如圖，正方體的棱長為2，為的中點，平面與棱相交于點.（1）求點到平面的距離；（2）求證：是的中點.解：（1）在正方體中，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，，所以，又由向量，所以點到平面的距離為.（2）因為，設(shè)，則，可得，由平面與棱相交于點，可得四點共面，所以，即，可得，解得，所以，故是的中點.20.新高考數(shù)學(xué)試題設(shè)置有4道多選題，在每小題給出的A，B，C，D四個選項中，有兩項或者三項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.在某次考試中，根據(jù)過往經(jīng)驗，小明做對第一道多選題的概率為，做對第二道多選題的概率為，做對第三道多選題的概率為，每道答題互不影響.（1）求小明前三道多選題恰好做對兩道的概率；（2）若最后一道多選題正確選項為ABC，小明和小宇對該題目不理解，只能通過隨機選取完成作答，每個選項是否被選到都是等可能的.小明從四個選項中隨機選擇一個選項進行作答，而小宇從四個選項中隨機選擇兩個選項進行作答，求此題作答中，小宇得分比小明得分高的概率.解：（1）記事件表示“小明第道題做對”，，各事件之間相互獨立，事件為“小明前三道多選題恰好做對兩道”，則，，，三個事件為互斥事件，則，故小明前三道多選題恰好做對兩道的概率為；（2）因為最后一道多選題有三個正確的選項，即ABC，記“小宇得分比小明得分高”為事件，則小宇得2分，小明得0分，若從四個選項中隨機選擇兩個選項，則有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6種情況，記“小宇得2分”為事件，事件包含AB，AC，BC3種情況，則，記“小明得0分”為事件，從四個選項中任選一個選項，有A，B，C，D，共4個基本事件，事件包含一個基本事件，所以，易知事件，相互獨立，則，故最后一道多選題小宇得分比小明得分高的概率為.21.在圖甲所示的四邊形中，，，，，沿將進行翻折，使得，得到如圖乙所示的四棱錐.四棱錐的體積為，為邊上的動點（不與端點，重合）.（1）若為的中點，求證：；（2）設(shè)，試問：是否存在實數(shù)，使得銳二面角的余弦值為？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.解：（1）因為在四邊形中，，，，所以，在四棱錐中，，即，，.又平面，平面，，所以平面，即是四棱錐的高，因此，所以.以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.又為的中點，所以，因此，，所以，所以，即.（2）由（1）知，，，設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，所以是平面的一個法向量.因，所以，，所以，所以.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，，所