高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)填空題壓軸題十六大題型專練（范圍：第四、五章）（解析版）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)填空題壓軸題十六大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1指數(shù)式的給條件求值問題1．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎猘+a?1=3，則a3【解題思路】根據(jù)立方和公式及完全平方公式化簡(jiǎn)求解.【解答過程】因?yàn)閍+a所以a+a?12所以a3故答案為：1872．（23-24高一下·云南·期中）已知xx2+x+1=a（a≠0且a≠12），則x【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得x+1x=【解答過程】由xx2+x+1=a且a≠0知x≠0，于是從而x4由于a≠12，因此故答案為：a23．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知a=?827,b=1771，則【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)求值即可.【解答過程】a=a因?yàn)閍=?827故答案為：944．（23-24高一上·廣西玉林·期中）已知x12+x?1【解題思路】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，根據(jù)平方關(guān)系即可求得結(jié)果.【解答過程】由x12+即x+x又因?yàn)閤+x即72=即x?x?1=所以x2故答案為：±215題型2題型2解指數(shù)不等式5．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)y=fx+1是偶函數(shù)，且在區(qū)間?∞,?1上是增函數(shù)，則不等式f?2【解題思路】由y=f(x+1)與y=f(x)圖象的平移關(guān)系，可得f(x)的對(duì)稱性與單調(diào)性，利用單調(diào)性解抽象不等式即可.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx+1是偶函數(shù)，且在區(qū)間?而函數(shù)f(x)圖象可由函數(shù)f(x+1)向右平移1個(gè)單位得到，故函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且在區(qū)間?∞由f?2x得?2x>?8，即2不等式f?2x故答案為：?∞6．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）若m∈R,fx=3x,x≥03?x【解題思路】首先得出fx的奇偶性、單調(diào)性，進(jìn)一步結(jié)合已知列出關(guān)于m【解答過程】顯然fx當(dāng)x>0時(shí)，f?x=3??x當(dāng)x=0時(shí)，fx所以fx當(dāng)x≥0時(shí)，fx=3x單調(diào)遞增，所以當(dāng)所以fm?2所以滿足fm?2≥fm+3的m故答案為：?17．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）不等式2x2?2x?3<123x?3與不等式【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，結(jié)合一元二次不等式解法進(jìn)而得到答案.【解答過程】因?yàn)閥=2x則2x2?2x?3即x2+x?6<0，解得因?yàn)?3＜x＜所以?3+2=?a?3×2=b此時(shí)x2+ax+b<0，即x2故a?b=7故答案為：7.8．（23-24高一上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex?e?x【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次不等式的性質(zhì)，可得答案.【解答過程】由于fx=e由ffx>則ex?e?x>?1，e所以x>ln5?1故答案為：ln5題型3題型3指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用9．（23-24高二上·浙江·期末）函數(shù)fx=2ax2?2x?1在區(qū)間1,+【解題思路】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行分情況討論得出a的取值范圍.【解答過程】解：函數(shù)fx=2ax由于y=2t是單調(diào)遞增，函數(shù)fx所以tx=ax當(dāng)a>0時(shí)，不符合題意；當(dāng)a=0時(shí)，tx當(dāng)a<0時(shí)，tx=ax故需要滿足1a綜上：a≤0.故答案為：a≤0.10．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函數(shù)f(x)=1①f(x)在定義域上單調(diào)遞增；②f(x)存在最大值；③不等式f(x)≤13的解集是④f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.【解題思路】根據(jù)給定的函數(shù)，分析單調(diào)性判斷①；利用指數(shù)函數(shù)值域判斷②；解指數(shù)不等式判斷③；探討函數(shù)圖象的對(duì)稱性判斷④即得.【解答過程】函數(shù)f(x)=11+e?x的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=e?x在由于e?x>0，則1+e?x>1不等式f(x)≤13，即11+e?x≤13，整理得由于f(x)+f(?x)=11+e?x+所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.故答案為：①③④.11．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則y=x稱為高斯函數(shù).例如：?3.6=?4,3.6=3.已知函數(shù)fx=1【解題思路】依題意可得fx=?12+11+【解答過程】因?yàn)閒x=1因?yàn)閥=1+ex在定義域上單調(diào)遞增，則所以fx=?1當(dāng)x<0時(shí)，ex當(dāng)x=0時(shí)，f0=1當(dāng)x>0時(shí)，ex所以，當(dāng)x>0時(shí)?x<0，則fx=?1,f當(dāng)x<0時(shí)?x>0，則fx=0,f當(dāng)x=0時(shí)，fx綜上所述，y=fx+故答案為：?1,0.12．（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知奇函數(shù)f(x)與偶函數(shù)g(x)的定義域均為R，且滿足f(x)+g(x)=2x+1，若fg(x)?a+1≥32恒成立，則【解題思路】利用函數(shù)奇偶性結(jié)合f(x)+g(x)=2x+1，求出函數(shù)f(x)和g(x)的解析式，由函數(shù)單調(diào)性解不等式fg(x)?a+1≥3【解答過程】奇函數(shù)f(x)與偶函數(shù)g(x)的定義域均為R，且滿足f(x)+g(x)=2則有f(?x)+g(?x)=?f(x)+g(x)=2解得f(x)=2x?函數(shù)y=2x和則f(x)=2x?fg(x)?a+1≥32=f由g(x)=2x+2?x所以a≤2，即a的取值范圍是?∞故答案為：?∞題型4題型4帶附加條件的指、對(duì)數(shù)問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示13．（24-25高一上·上海·期中）若實(shí)數(shù)a>b>1，且logab+logb【解題思路】根據(jù)換底公式及對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化即可得解.【解答過程】因?yàn)閍>b>1，所以0<由loga解得logab=1所以a12=b所以ab故答案為：1.14．（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足2x=433．【解題思路】設(shè)log2x=t,log3y=s【解答過程】設(shè)log2x=t,log故2t+1=4整理得到：2×3故32s,故32s=32故答案為：3.15．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知2x=24y=3，則3y?x【解題思路】首先，將所給指數(shù)冪形式化為x=log23【解答過程】∵2∴x=log23∴1x=log∴3y?xxy故答案為：?1.16．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足logab+logba=52，【解題思路】令t=logab，則由logab+logba=5【解答過程】令t=logab由logab+log所以2t2?5t+2=0，解得t=所以logab=1所以a12=b當(dāng)a12=b由aa=bb，得由2a=ba=b2，又a>0所以a+b=3當(dāng)a2=b時(shí)，由aa=b由a=2ba2=b，又a>0所以a+b=3綜上所述，a+b=3故答案為：34題型5題型5指、對(duì)、冪的大小比較

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示17．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）設(shè)a=0.52.5,b=12log2【解題思路】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.【解答過程】依題意，0.52.5<0.52.1=所以a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故答案為：b>c>a.18．（2024·北京通州·三模）已知a=2?1.1，b=log1413【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定出a,b,c的范圍，即可求解.【解答過程】因?yàn)閍=2b=log14c=log故a<b<c，故答案為：a<b<c.19．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)a=log20.3，b=log120.4，c=【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分別限定出a,b,c的取值范圍即可得出結(jié)論.【解答過程】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知a=log20.3<而b=log12由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及值域可得0<c=0.40.3<所以可得a<c<b.故答案為：a<c<b.20．（23-24高一上·湖北·期末）定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足fx+2為偶函數(shù)，且當(dāng)x1<x2<2時(shí)，fx2【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)求得正確答案.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx滿足f所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=2因?yàn)楫?dāng)x1<x2<2則fx2?fx1>0，即則fx在2,+由a=f1=f4?1根據(jù)函數(shù)y=lnx在0,+∞由1<54，根據(jù)函數(shù)y=3x在R上單調(diào)遞增，則由函數(shù)fx在2,+∞上單調(diào)遞減可知故答案為：b>a>c.題型6題型6對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示21．（24-25高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=log2?x2+ax+15在【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：gx=?x2+ax+15【解答過程】因?yàn)閥=log2x由題意可得：gx=?x2+ax+15則a2≥4g所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為8,+∞故答案為：8,+∞22．（23-24高三上·江蘇淮安·期中）已知函數(shù)fx=log12?x2+2x?t【解題思路】先根據(jù)定義域求出m,t的值，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=log所以m,m+8為?x所以Δ=22即fx令?x=log12令gx則gx為開口向下，對(duì)稱軸為x=1的拋物線，且g所以x∈?3,1時(shí)，gx單調(diào)遞增；x∈1,5因?yàn)閒x所以函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為1,5故答案為：1,5.23．（23-24高三·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log3(1x+a)(a>0)，對(duì)任意的t∈[14,1]，函數(shù)f(x)【解題思路】判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)在[t,t+1]的最值，由條件列不等式求a的取值范圍.【解答過程】函數(shù)f(x)=log3(因?yàn)楹瘮?shù)y=1x+a在(0,+∞)所以f(x)在區(qū)間(0，?所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，?t+1]上的最大值與最小值分別為f(t)，則f(t)?f(t+1)=log得1t+a≤31令?(t)=2at2+2(a+1)t?1，則?(t)所以?(t)在t∈14，??1上是增函數(shù)，即2a×142所以a的取值范圍為45故答案為：4524．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=loga9?ax,g(x)=logax2?ax（a>0且a≠1），若對(duì)任意.x【解題思路】恒成立存在性共存的不等式問題，需要根據(jù)題意確定最值比大小解不等式.根據(jù)題意可得只需fx【解答過程】根據(jù)題意可得只需fx1min9?a2>0?0<a<1當(dāng)0<a<1時(shí)，此時(shí)fx,gx在各自定義域內(nèi)都有意義，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知fx在1,2上單調(diào)遞減，gx在3,4上單調(diào)遞減，所以fx1min=f當(dāng)1<a<3時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知fx在1,2上單調(diào)遞減，gx在3,4上單調(diào)遞增，所以所以loga9?a2≥綜上：a∈0,1故答案為：0,1∪題型7題型7函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示25．（24-25高一上·浙江·期中）已知f(x)=x2+23x+2,x≤0lnx,x>0，若函數(shù)g(x)=【解題思路】令t=fx，畫出fx的圖象，要使函數(shù)g(x)=[f(x)]2?af(x)?1有5個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)?t=t2【解答過程】令t=fx，畫出f要使函數(shù)g(x)=[f(x)]即函數(shù)?t=t2?at?1有兩個(gè)零點(diǎn)?1<t1當(dāng)?1<t1≤2，t2=?1時(shí)，即??1=a=0當(dāng)?1<t1≤2，t所以??1=a>0?綜上所述：a的取值范圍為0∪

故答案為：0∪26．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）設(shè)函數(shù)fx=3x?1，若關(guān)于x的方程4fx【解題思路】先畫出函數(shù)fx=3x?1的圖象，再結(jié)合題意，令fx=tt≥0，可得關(guān)于t的方程4t【解答過程】如圖，畫出函數(shù)fx

關(guān)于x的方程4f令fx=tt≥0，則關(guān)于t一個(gè)根在0,1上，一個(gè)根為0或一個(gè)根在0,1上，一個(gè)根為1或一個(gè)根在0,1上，一個(gè)根在1,+∞當(dāng)一個(gè)根在0,1上，一個(gè)根為0時(shí)，則3m?2=0，即m=23，此時(shí)方程為4t2?當(dāng)一個(gè)根在0,1上，一個(gè)根為1時(shí)，則4?4m+3m?2=0，即m=2，此時(shí)方程為4t2?8t+4=0當(dāng)一個(gè)根在0,1上，一個(gè)根在1,+∞設(shè)gt則Δ=?4m2綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是mm>2故答案為：mm>227．（24-25高三上·甘肅酒泉·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=3x?x2,x≤02?x?1,x>0，若關(guān)于x【解題思路】把原題分解為fx=?12、fx=3a的實(shí)根個(gè)數(shù)之和為4即可，在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=fx【解答過程】2?fx=?1在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=fx、y=?12

若關(guān)于x的方程2f則當(dāng)且僅當(dāng)?1<3a<03a≠?12，解得?所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為?1故答案為：?128．（24-25高二上·云南大理·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=log2x,x>014x2+x+2,x≤0，方程fx=a有四個(gè)不同根x1、x2、x3、【解題思路】做出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍，由對(duì)稱性得x1、x2關(guān)系，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的x3從而化簡(jiǎn)代數(shù)式，由雙勾函數(shù)的定義域得出取值范圍.【解答過程】作出函數(shù)fx與y=a由題意可知，直線y=a與函數(shù)fx的圖象有4由圖可知，1<a≤2，因?yàn)槎魏瘮?shù)y=14x由圖象可得x1+x由fx3=f由于0<x3<1<x4，則?從而得x3x4=1，且所以，x4令y=1x32+2令t=1x32，則則gt在4,16單調(diào)遞增，則g故x4x3故答案為：1,2；92題型8題型8弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（23-24高一下·遼寧本溪·期中）中國(guó)扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，是民族文化的一個(gè)組成部分，其中扇面畫有著悠久的歷史.某扇面畫可看成一個(gè)扇環(huán)，其示意圖如圖所示.若∠AOD=2π3,OA=4，且該扇環(huán)的周長(zhǎng)為4+4π

【解題思路】利用扇形弧長(zhǎng)公式結(jié)合題設(shè)條件列出方程，求出小扇型的半徑，利用扇形面積公式計(jì)算大小扇形面積，作差即得扇環(huán)面積.【解答過程】設(shè)OB=r，依題意可得，2π3×r+故該扇環(huán)的面積為12故答案為：4π30．（23-24高一上·浙江寧波·期末）杭州第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽圖形六個(gè)元素組成如圖1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).會(huì)徽的幾何圖形如圖2所示，設(shè)弧AD的長(zhǎng)度是l1，弧BC的長(zhǎng)度是l2，幾何圖形ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2.若S【解題思路】根據(jù)扇形的面積公式及S1【解答過程】設(shè)扇形AOD的面積為S，∠AOD=α，則S1所以SS2=4所以l1故答案為：2.31．（23-24高一上·湖北·期末）以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形弧就是勒洛三角形．如圖，已知中間正三角形的邊長(zhǎng)為2，則該勒洛三角形的面積與周長(zhǎng)之比為1?3π【解題思路】利用扇形的弧長(zhǎng)、面積公式計(jì)算即可.【解答過程】由題意易知以點(diǎn)A,B,C為圓心，圓弧BC,AC,AB所對(duì)的扇形面積各為12中間等邊△ABC的面積為12所以萊洛三角形的面積是2π3×3?2×故面積與周長(zhǎng)之比為1?3故答案為：1?332．（23-24高一下·上海金山·期末）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓，設(shè)OA=1，則陰影部分的面積是π?24【解題思路】設(shè)兩個(gè)半圓交于點(diǎn)O,C,連接OC、BC,可得直角扇形OAB的面積等于以O(shè)A、OB為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和，OC平分∠AOB,可得陰影部分的面積.【解答過程】解：設(shè)兩個(gè)半圓交于點(diǎn)O,C，連接OC、BC,∵14∴直角扇形OAB的面積等于以O(shè)A、OB為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和，由對(duì)稱性可得：OC平分∠AOB,故陰影部分的面積是：S=2×[1故答案為：π?24題型9題型9同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高三上·寧夏銀川·開學(xué)考試）若tanθ=?3，則sin2θ+cos【解題思路】根據(jù)正余弦的齊次式化為正切函數(shù)即可得解.【解答過程】因?yàn)閠anθ=?3所以sin2故答案為：?534．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若0<θ<π,，sinθcosθ=?60【解題思路】先由0<θ<π,sinθcos【解答過程】∵0<θ<∴sinθ>0,∴sin故答案為：171335．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知sinθ?2cosθsinθ+cos【解題思路】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得sinθ=?4【解答過程】由sinθ?2cosθsinθ+所以sin=將tanθ=?4代入計(jì)算可得?63+即sin3故答案為：4713536．（23-24高一上·四川瀘州·期末）若A∈0,π，且sinA+cos【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合sinA+cosA,【解答過程】因?yàn)閟inA+cosA=解得sinA且A∈0,π，可得A∈π2,又因?yàn)閟inA?cosA聯(lián)立方程sinA+cosA=所以3sin故答案為：2.題型10題型10誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示37．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）若tanπ2+α=13【解題思路】首先根據(jù)商數(shù)關(guān)系及其誘導(dǎo)公式求出tanα【解答過程】已知tanπ2+αsin2構(gòu)造齊次式可得：sin2代入tanα=?3，得：tan故答案為：6538．（23-24高一下·河南南陽·期中）已知銳角α滿足6cos2α?cos【解題思路】由方程求出cosα，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后代入cos【解答過程】由6cos2α?cosα?1=0解得cosα=12所以sinπ故答案為：2.39．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知sinα=2m?3m+2，cosα=?m+1m+2，且α【解題思路】由已知可求出m的取值范圍，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出m的值，可求出tanα【解答過程】因?yàn)閟inα=2m?3m+2，cos則2m?3m+2>0?m+1m+2因?yàn)閟in2整理可得2m2?7m+3=0，即2m?1m?3=0所以，sinα=2m?3m+2所以，tanα=因此，sinα+2024故答案為：?740．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知sin(3π＋θ)＝13，則cos(π+θ)cosθcos【解題思路】由已知求得sinθ，再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值.【解答過程】由sin3π+θ=1∴cos=?=1=2故答案為：18.題型11題型11三角函數(shù)的參數(shù)問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示41．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+φ（ω>0，φ≤π2），x=?π8為fx的零點(diǎn)，x=π【解題思路】首先根據(jù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心間的距離，得到關(guān)于ω的關(guān)系式，再驗(yàn)證，即可求解.【解答過程】設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，因?yàn)閤=?π8為f(x)的零點(diǎn)，x=π所以π8??所以ω=22k+1因?yàn)棣?∈π18,當(dāng)ω=2時(shí)，由x=?π8為f(x)的零點(diǎn)可得2×?因?yàn)棣铡堞?因?yàn)閒x=sin(2x+π4)故答案為：2.42．（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+π3的圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱，且fx【解題思路】函數(shù)的對(duì)稱性可求出ω的一個(gè)范圍，再根據(jù)函數(shù)在π36,π8上單調(diào)，可得【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=sin所以πω3+π3=π因?yàn)閒x在π36,即T=2πω當(dāng)ω=192時(shí)，當(dāng)x∈π36,π8所以當(dāng)x∈π36,π當(dāng)ω=132時(shí)，f(x)=sin13x2此時(shí)，函數(shù)fx在π故ω的最大值為132故答案為：13243．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ∈R在區(qū)間π4,π2上單調(diào)，且滿足fπ3【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出周期的范圍，即可解得ω的取值范圍.【解答過程】不妨設(shè)函數(shù)fx的周期為T因?yàn)閒x在區(qū)間π4,π2又fπ3=0，可得π2?又fx在區(qū)間π3,11綜上可得2π3≤T<解得83<ω≤3，即ω的取值范圍為故答案為：8344．（23-24高一下·四川內(nèi)江·期末）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)最大值為2，最小值為0，且函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,3273≤ω<【解題思路】根據(jù)給定條件，依次求出A,B,φ，結(jié)合零點(diǎn)的意義把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=sin(ωx+π【解答過程】由函數(shù)f(x)的最大值為2，最小值為0，得A+B=2?A+B=0，解得A=B=1則f(x)=sin(ωx+φ)+1，由f(0)=32，得sinφ=因此f(x)=sin(ωx+π6)+1則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)和最大值點(diǎn)分別為y=sin(依題意，y=sin(ωx+π當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，ωx+π6∈[π所以ω的取值范圍是73故答案為：73題型12題型12三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示45．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)f(x)=sin①fx是周期為2②fx在[0,③fx在[0,2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③.【解題思路】根據(jù)周期的定義，以及單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，結(jié)合正弦函數(shù)和余弦型函數(shù)的圖像，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.【解答過程】①：fx+2π=則f(x)是周期為2π②因?yàn)閒(π4)=即f(π4)>f(π2③由f(x)=sinx?|cos作出函數(shù)y=sinx和

由圖象知兩個(gè)函數(shù)在[0,2π故f(x)在[0,2π故正確的編號(hào)為①③．故答案為：①③．46．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知x1,x2是函數(shù)f(x)=2sin①函數(shù)f(x)在0,π3②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=?π③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)④當(dāng)x∈π2,π時(shí)，函數(shù)其中正確命題的序號(hào)是①②④．【解題思路】首先求得ω，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、值域等知識(shí)確定正確答案.【解答過程】由于x1?x2的最小值是所以fx①，0≤x≤π所以函數(shù)f(x)在0,π②，sin?所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=?π③，sin2所以(π,0)不是④，π2所以sin2x?所以fx=2sin2x?π故答案為：①②④.47．（23-24高一上·山西運(yùn)城·期末）關(guān)于函數(shù)fx①fx②函數(shù)fx是周期函數(shù)，且最小正周期為2③函數(shù)fx在區(qū)間π④函數(shù)fx在?⑤函數(shù)fx其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④⑤．【解題思路】利用函數(shù)奇偶性的概念即可判斷①；由f?由x∈π2,由函數(shù)fx是偶函數(shù)，則只需要考慮0,π上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由函數(shù)fx是偶函數(shù)，則考慮x≥0【解答過程】解：①函數(shù)的定義域?yàn)镽，又f?x∴函數(shù)fx②當(dāng)x=?π2時(shí)，f?π2=2，③當(dāng)x∈π2,π時(shí)，④∵函數(shù)fx是偶函數(shù)，∴只需要考慮0,此時(shí)fx=sinx+sin∴fx在?π,⑤∵函數(shù)fx∴考慮x≥0的情況即可，當(dāng)x≥0時(shí)，fx∴fx故答案為：①③④⑤.48．（23-24高一下·江西撫州·期中）已知函數(shù)fx=sinωx?π①fx在0,π②fx在0,π③fx在0,④ω的取值范圍為114其中正確的所有序號(hào)是③④．【解題思路】對(duì)于①②：作出符合題意的圖像，利用圖像否定結(jié)論；對(duì)于④：根據(jù)fx在區(qū)間0,π上的圖象有且僅有2個(gè)最高點(diǎn)，列不等式，解得ω對(duì)于③：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則進(jìn)行判斷.【解答過程】對(duì)于①：作出fx

當(dāng)圖像如圖2所示，符合題意，但是在0,π上的圖象有2個(gè)最低點(diǎn).故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：

當(dāng)圖像如圖3所示，符合題意，但是在0,π上有5個(gè)零點(diǎn).故②錯(cuò)誤；對(duì)于④：令t=ωx?π4，因?yàn)閤∈0,π，所以t∈要使fx在區(qū)間0,π只需52π≤ωπ?π對(duì)于③：當(dāng)x∈0,π8因?yàn)?14≤ω<194，所以3π32≤ωπ8?故答案為：③④.題型13題型13三角恒等變換的綜合應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示49．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知0<α<β<π2，且sinα+β+cosα+β【解題思路】根據(jù)給定條件，利用同角公式求出cos(α+β)，再利用和差角的余弦公式求出cos【解答過程】由0<α<β<π2，得0<α+β<π由sinα+β+cosα+β=0由sinαsinβ=6即cosαcosβ=因此sin(α?β)=?1?(故答案為：?150．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知sinα?βcosα?cosα?βsin【解題思路】利用正弦的差角公式先計(jì)算sin?β【解答過程】因?yàn)閟inα?β且β為第三象限角，所以sinβ=?所以sin=?故答案為：7251．（24-25高三上·山東淄博·階段練習(xí)）已知x∈π6,2π3，sin【解題思路】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得cosx?π6【解答過程】由x∈π6,2π因?yàn)?x+π6?2則cos=?2sin故答案為：?2452．（24-25高三上·湖南永州·開學(xué)考試）已知α,β為銳角，且α+2β=2π6+2【解題思路】根據(jù)條件，利用正切的差角公式，得到tan2β+(3?3)tan【解答過程】因α+2β=2π3，得到α=所以tan(π3解得tanβ=1或tan當(dāng)tanβ=2?3時(shí)，tanα當(dāng)tanβ=1時(shí)，得到β=π4所以sin2α+β故答案為：6+題型14題型14由部分圖象求函數(shù)的解析式53．（23-24高三上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B①f(x)關(guān)于點(diǎn)(π6②f(x)關(guān)于直線x=π③f(x)在區(qū)間[π④f(x)在區(qū)間(?5π12正確結(jié)論的序號(hào)為②③.【解題思路】先由圖象求出A,B，接著將點(diǎn)0,2代入函數(shù)f(x)結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)和φ<π2求得φ，再由f(?π6)=1和T4>π6求出ω，進(jìn)而求得函數(shù)f(x)解析式，對(duì)于①，計(jì)算f(π6)≠3即可判斷；對(duì)于②，計(jì)算f(【解答過程】由圖得A=5?12=2，B=將點(diǎn)0,2代入函數(shù)f(x)得2sinφ+3=2，即所以φ=2kπ?π6,k∈所以φ=?π6，故又f(?π6)=2所以ωπ又由圖像可知T4>π所以0<ω<3，所以ω=2，所以f(x)=2sin對(duì)于①，因?yàn)閒(π6)=2sin2×對(duì)于②，因?yàn)閒(π對(duì)于③，令2kπ+π所以函數(shù)f(x)在區(qū)間kπ故當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間π3因?yàn)閇π2,5π對(duì)于④，x∈(?5π12,π所以2sin(2x?π6)+3∈1,3，所以故答案為：②③.54．（23-24高一下·北京·期中）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π

①函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?π②函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=?5③函數(shù)y=f(x)在[?2④該圖象向右平移π6個(gè)單位可得y=2以上結(jié)論正確的是①②④.【解題思路】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖求出函數(shù)f(x)，再逐一判斷各個(gè)命題即可.【解答過程】觀察圖象知，A=2，函數(shù)f(x)的周期T=4(π3?由f(π12)=2，得2×π12因此f(x)=2sin(2x+π3)，而f(?又f(?5π12)=2sin(?當(dāng)x∈[?2π3,?π6]時(shí)，2x+則函數(shù)y=f(x)在[?2函數(shù)y=f(x)圖象向右平移π6個(gè)單位，得f(x?π6所以正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.故答案為：①②④.55．（2024·湖南·一模）已知函數(shù)fx=Asin①f②f③fx在4所有正確結(jié)論的序號(hào)是②.【解題思路】借助圖象可得fx【解答過程】由圖可得A=2+02=1，B=2?02=1，且π3×2+φ=3又φ<π，故φ=5π對(duì)①：2×5π6+5故f5π6對(duì)②：fπ則fx對(duì)③：當(dāng)x∈4π3由函數(shù)y=sinx在故函數(shù)fx在4故正確結(jié)論的序號(hào)是：②.故答案為：②.56．（23-24高三上·甘肅張掖·階段練習(xí)）函數(shù)fx=2sin①若把函數(shù)fx的圖像向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)?x②函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于點(diǎn)4π③函數(shù)y=fx在?④該圖像先向右平移π6個(gè)單位，再把圖像上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=2⑤?x∈?π3,π3，若【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖像，先求出fx【解答過程】由圖像可知：fx的最小正周期T=4×π3∴2×π12+φ=π2+2kπk∈∴fx對(duì)于①，fx的圖像向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得：?x=2sin對(duì)于②，令x=4π3，求得f4對(duì)于③，在?2π3,?π6對(duì)于④，把fx的圖像先向右平移π6個(gè)單位，可得再把圖像上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=2sin對(duì)于⑤，f0=2sinπ3當(dāng)x∈?π3,π∴3?2∴a≥3+2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：①②④⑤.題型15題型15函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用57．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin2ωx+①函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=②函數(shù)fx的對(duì)稱中心是π③函數(shù)fx在區(qū)間π④函數(shù)fx的圖象可以由gx=【解題思路】根據(jù)二倍角公式、輔助角公式和T=2πω求得ω=1【解答過程】f(x)=sin又f(x)的最小正周期為π，所以T=2π2ω=π所以f(x)=sin①：f(π所以x=π3是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故②：f(π所以(π12+kπ③：由π12≤x≤5π所以f(x)圖象在[π12,④：g(x)=cos2x+1得y=cos[2(x?π故答案為：①④.58．（24-25高三上·天津武清·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=3①fx的一個(gè)對(duì)稱中心為5②fπ6是③fx在?④把函數(shù)y=cos2x的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向上平移1【解題思路】先利用三角函數(shù)恒等變換有關(guān)公式，把函數(shù)fx=3【解答過程】因?yàn)閒x=3sinx+cosxcosx對(duì)①：由函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)fx的對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為1對(duì)②：因?yàn)閒π6=對(duì)③：由2kπ?π≤2x?π3≤2k所以函數(shù)fx在kπ?令k=0，得函數(shù)fx在?對(duì)④：將函數(shù)y=cos2x的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)π6個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=cos2x?π6=故答案為：②③④.59．（23-24高一上·江西南昌·期末）設(shè)函數(shù)fx①點(diǎn)?512π,0②直線x=π3是函數(shù)③函數(shù)fx的最小正周期是π④將函數(shù)fx向右平移π其中正確結(jié)論的序號(hào)是②③④.【解題思路】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)：?512π,1是對(duì)稱中心，①錯(cuò)誤；2x+π3=π是【解答過程】解：ff?5π12x=π3時(shí)，T=2π函數(shù)fx向右平移π6得到故答案為：②③④.60．（23-24高一下·北京·期中）已知函數(shù)fx=sin①若ω=1，則?π2是函數(shù)的一個(gè)②若ω=1，函數(shù)fx的最小值是?③若ω=2，函數(shù)fx圖象關(guān)于直線x=④若ω=2，函數(shù)fx圖象可由y=2sin2x圖象向右平移【解題思路】當(dāng)ω=1，得fx=2sinx+142?98，從而可對(duì)①②判斷；當(dāng)【解答過程】對(duì)①②：當(dāng)ω=1，fx因?yàn)?1≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx=?1當(dāng)x=?π2時(shí)，f對(duì)③④：當(dāng)ω=2，fx當(dāng)x=3π8，將fx圖象向左平移π4得f故答案為：①②③.題型16題型16三角函數(shù)的應(yīng)用61．（23-24高一下·廣東佛山·期中）“廣佛之眼”摩天輪半徑為50m，成為佛山地標(biāo)建筑之一，被稱作天空之眼摩天輪．如圖，圓心O距地面的高度為60m，已知摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每15min轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，游客在摩天輪的艙位轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙則游客進(jìn)艙10min【解題思路】設(shè)在tmin時(shí)，距離地面的高度為?=Asinωt+φ+bA>0，其中?π<φ<【解答過程】因?yàn)槟μ燧喌陌霃綖?0m，圓心O距地面的高度為60設(shè)在tmin時(shí)，距離地面的高度為?=Asinωt+φ則A+b=110b=60，可得A=50b=60，則由摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每15min轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，可得2πω即?=60+50sin當(dāng)t=0時(shí)，可得60+50sinφ=10，即sinφ=?1，因?yàn)?π<φ<令t=10，可得?=60?50cos所以，游客進(jìn)?10min時(shí)他距離地面的高度為85故答案為：85．62．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）為了估算圣索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B,M,D三點(diǎn)共線）處測(cè)得建筑物頂A?教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測(cè)得教堂頂C的仰角為15°，則計(jì)算圣索菲亞教堂的高度CD為54m