廣東省茂名市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

廣東省茂名市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．2．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則△ABC歐拉線的方程為（

）A．x+y-4=0 B．x-y+4=0C．x+y+4=0 D．x-y-4=03．已知拋物線的準(zhǔn)線為，則與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．4．如圖，在平行六面體中，底面和側(cè)面都是正方形，，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，則（

）A． B．2 C．4 D．65．在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（

）A．96π B．84π C．72π D．48π6．已知點(diǎn)和圓，圓M上兩點(diǎn)A，B滿足，O是坐標(biāo)原點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線AB的最大距離為（

）A．2 B． C． D．7．已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知矩形ABCD，，，M為邊DC上一點(diǎn)且，AM與BD交于點(diǎn)Q，將沿著AM折起，使得點(diǎn)D折到點(diǎn)P的位置，則的最大值是（

）A． B． C．23 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PA，PB分別與圓C相切于點(diǎn)A，B，則（

）A．圓C上恰有1個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為B．|PA|的最小值是C．|AB|存在最大值D．|AB|的最小值是10．已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為，拋物線以為焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）若，則 當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為若為拋物線上一點(diǎn)，則的最小值為的最小值為911．如圖，三棱臺(tái)中，M是AC上一點(diǎn)，平面ABC，∠ABC=90°，，則（

）A．平面B．平面平面C．三棱臺(tái)的體積為D．若點(diǎn)P在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)（含邊界），且CP與平面所成角的正切值為4，則BP長(zhǎng)度的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線，若，則實(shí)數(shù)a的值為13．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)P，若為等腰三角形，則橢圓C的離心率為.14．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.(1)求四面體ABCD的體積;(2)求平面ABC與平面ABD所成角的正切值.16．已知點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且，其中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).試判斷點(diǎn)到直線的距離是否為定值.若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.17．如圖，在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為菱形，.(1)求證：；(2)若為側(cè)棱上（包含端點(diǎn)）一動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.18．已知雙曲線的漸近線方程為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于、兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn).(1)求雙曲線的方程：(2)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值.19．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角至點(diǎn)．（1）試證明點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式：（2）設(shè)，點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角至點(diǎn)，點(diǎn)再繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角至點(diǎn)，且直線的斜率，求角的值；（3）試證明方程的曲線是雙曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】D【詳解】由題意可得，可得，因此，雙曲線的漸近線方程為.故選：D.2．【正確答案】A【詳解】由，得，則的垂心為，外心為，所以歐拉線的方程為，即.故選：A3．【正確答案】D【詳解】對(duì)于拋物線，，可得，所以，其準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，解得，因此，與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.4．【正確答案】B【詳解】在平行六面體中，，由點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，得，而，因此.故選：B5．【正確答案】B【詳解】在中，，則，中點(diǎn)為的外心，于是平面，取中點(diǎn)，連接，則，而平面PAB⊥平面ABC，平面平面，平面，則平面，，令正的外心為，則為的3等分點(diǎn)，，又平面，則，而，則四邊形是矩形，，因此球O的半徑，所以球O的表面積為.故選：B6．【正確答案】C【詳解】設(shè)滿足的動(dòng)點(diǎn)，則，整理得，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，依題意，點(diǎn)在圓上，圓的圓心，半徑為2，因?yàn)?，所以兩圓相交，則直線方程為，點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)P到直線AB的最大距離為.故選：C7．【正確答案】D【詳解】由題意可設(shè)：，則，令，則，注意到，則，可知的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，可知在內(nèi)的最小值為，則，整理得，解得，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，可知在內(nèi)的最小值為，符合題意；綜上所述.可得橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：D.8．【正確答案】A【詳解】在矩形，，，，由可得由可得，則，即，可知折起后，必有，，平面，故平面，因?yàn)槭谴_定的直線，故對(duì)任意點(diǎn)P，都在同一個(gè)確定的平面內(nèi)，因?yàn)椋芍c(diǎn)P在以點(diǎn)Q為圓心，半徑為的圓上（如圖），由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)PB與該圓相切時(shí)，取到最大值，則也取到最大值，此時(shí),，則的最大值為故選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】圓的圓心，半徑，對(duì)于A，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，因此圓C上恰有1個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于CD，由垂直平分得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD10．【正確答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，故拋物線方程為，由拋物線定義得，A正確；B選項(xiàng)，由于直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去，設(shè)直線，聯(lián)立，得，設(shè)，則由韋達(dá)定理得，故，解得，故直線的斜率為，傾斜角不為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，由拋物線定義得，故，要想求得的最小值，則過點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn)，故的最小值為，最小值為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由題意得，由于，故，，因?yàn)?，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9，D正確.故選AD.11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，令，連接，由，，得，由，得，則，而平面，平面，則平面，A正確；對(duì)于B，由平面，平面，得，而，平面，則平面，在上取點(diǎn)，使得，則，，因此平面，即點(diǎn)在平面上的投影為線段BC上靠近點(diǎn)較近的3等分點(diǎn)，又點(diǎn)不在直線，則過點(diǎn)與平面垂直的直線不在平面內(nèi)，因此平面與平面不垂直，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依題意，，，三棱臺(tái)的體積，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，平面，而平面，則平面平面，過作于，平面平面，則平面，在直角梯形中，，在直角中，，，由與平面所成角的正切值為4，得，，因此點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)圓弧，的最小值為，D正確.

故選：ACD12．【正確答案】0或1【詳解】直線，由，得，解得或，所以實(shí)數(shù)a的值為0或1.故0或113．【正確答案】33/【詳解】由為等腰三角形，，則有，而，，若，則，，由，得，則，在中，，在中，，，即，整理得，則.故14．【正確答案】【詳解】當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為，即曲線不出現(xiàn)在第三象限；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為，作出曲線的圖形如下圖所示：設(shè)，即，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)在第一象限時(shí)，則，且，解得，由因?yàn)殡p曲線、的漸近線方程均為，當(dāng)直線與直線重合時(shí)，，所以，，故.故答案為.15．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）在四面體ABCD中，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于，由平面ABC⊥平面ACD，平面平面，得平面，在中，，則，于是，在中，，，則，，所以四面體ABCD的體積.（2）由（1）知，平面，平面，則，過作交于，連接，由，得，而平面，則平面，又平面，因此，是平面ABC與平面ABD所成的角，由（1）知，，由，得，所以平面ABC與平面ABD所成角的正切值.16．【正確答案】(1)(2)是定值，且定值為【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，由題意可得，整理可得.所以，點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由題意可知，直線、的斜率存在且都不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，同理可得，則原點(diǎn)到直線的距離為.因此，點(diǎn)到直線的距離為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖所示，取的中點(diǎn)為為菱形，且，所以為等邊三角形，，又為等邊三角形，則，所以平面，又平面平面，所以.（2）如圖所示，在中，，由余弦定理可得，所以，由（1）得平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以在平面?nèi)作，則平面，以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)n=x,y,z是平面的一個(gè)法向量，，，則，即，取得，設(shè)，，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，則在0,1單調(diào)遞增，所以，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為(3)【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)、為雙曲線的頂點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1由對(duì)稱性可知，直線過軸上的定點(diǎn)，聯(lián)立可得，由題意可得，解得，由韋達(dá)定理可得，，則的斜率為，直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，可得，此時(shí)，直線過定點(diǎn).綜上所述，直線過定點(diǎn).（3）因?yàn)?，則，且，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.19．【正確答案】（1）證明見解析；（2）、、；（3）證明見解析；焦點(diǎn)坐標(biāo)為與．【詳解】（1）設(shè)將x軸正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角至點(diǎn)，，則，由任意角的三角比定義，有和所以，將代入，得（2）方法1：設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，由點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式，有與由直線的斜率，得，，或或，，、、．方法2：由三角比的定義，可得點(diǎn)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分