2024-2025學(xué)年北京市宣武區(qū)高二上冊11月期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市宣武區(qū)高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共1小題）1．若向量，，則向量與A．不共線 B．垂直 C．平行 D．以上都不對二、多選題（本大題共1小題）2．直線的一個方向向量（

）A． B．C． D．三、單選題（本大題共8小題）3．直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．4．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．5．已知橢圓方程為：，則該橢圓的長軸長為（

）A．4 B．2 C． D．6．如圖，在長方體中，是棱上一動點(diǎn)，，則等于（

）A．1 B． C．4 D．7．如圖，過點(diǎn)P分別作平面，，截圓柱得到橢圓，，.其中，橢圓，所在的平面分別與上底面、下底面所成的銳二面角相等，設(shè)橢圓，，的離心率分別為，，，它們的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．圓上的點(diǎn)P到直線的距離為d，點(diǎn)P和在變化過程中，d的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．49．定義一個集合，集合中的元素是空間中的點(diǎn)，任取，，，存在不全為0的實(shí)數(shù)，，，使得（其中為空間直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)）.若，則的一個充分條件為（

）A． B．C． D．10．已知曲線，則下列說法正確的有幾個（

）（1）關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）只有兩條對稱軸；（3）曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離是1；（4）曲線所圍成圖形的總面積小于；A．1 B．2 C．3 D．4四、填空題（本大題共5小題）11．直線與直線之間的距離為.12．已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，則.13．如圖，空間四邊形中，6條棱長都為，且，，則（用，，表示）.

14．如圖，把橢圓的長軸AB分成4等份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，3個點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則.15．已知圓和定點(diǎn)，動點(diǎn)在圓上，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則下面說法正確的是．①點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是4；②若是等腰三角形，則其周長為10；③點(diǎn)的軌跡是一個圓；④的最大值是．五、解答題（本大題共6小題）16．已知圓C的圓心在y軸上，若直線與圓C相切于點(diǎn).(1)求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過原點(diǎn)的直線l被圓C截得的弦長為4，求直線l的方程.17．如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，對角線，相交于O，，.(1)求證：平面；(2)若，，，棱的中點(diǎn)為D，以棱CD，所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）.①直接寫出，的坐標(biāo)；②求異面直線與所成角的余弦值.18．在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，過點(diǎn)且斜率為k的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求軌跡C的方程；(2)求斜率k的取值范圍；(3)當(dāng)時，求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo).19．如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，，.(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：直線平面；(2)若平面平面，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為，求直線與底面所成角的正弦值.20．已知橢圓的離心率為，其長軸的左、右兩個端點(diǎn)分別為，，短軸的上、下兩個端點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)P是橢圓上不同于，的一個動點(diǎn).①直線、與y軸分別交于兩點(diǎn)，求證：為定值；②直線、分別與直線交于，判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)并說明.21．設(shè)，已知由自然數(shù)組成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定義數(shù)表：，其中，設(shè)，令是，，…，中的最大值．(1)若，，且，求，，及；(2)若，集合，，…，中的元素個數(shù)均相同，若，求的最小值；(3)若，，集合，，…，中的元素個數(shù)均為3，且，求證：的最小值為3．

答案1．【正確答案】C【詳解】，所以向量與平行.2．【正確答案】CD【詳解】由直線方程可得直線斜率，故直線的一個方向向量為.由向量與向量平行，可知也是直線的方向向量.故選：CD.3．【正確答案】C【分析】令，解得，即可得直線在軸上的截距.【詳解】由題意可知，直線方程為，令，解得，所以直線在軸上的截距為.故選C.4．【正確答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，故，圓方程為.故選：B.5．【正確答案】A【詳解】橢圓方程可化為，故，長軸長為4.故選：A.6．【正確答案】C【詳解】長方體，平面，平面，，，.故選：C.7．【正確答案】C【詳解】解法1：設(shè)橢圓，，的長軸長分別為，短軸長分別為，焦距分別為，由題意得，，則，，，由，得，，故.解法2：根據(jù)橢圓的圓扁程度確定離心率，離心率越大，橢圓越扁，離心率越小，橢圓越圓，由此可得.故選：C.8．【正確答案】A【詳解】由題意得，圓心，半徑，點(diǎn)和在變化過程中，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，圓心到直線的距離為，由得，，故，當(dāng)時，.故選：A.9．【正確答案】B【詳解】由題意知，，三個向量共面，則的一個充分條件即為三個向量不共面，對于A，與共線，所以，，三個向量共面，故A錯誤；對于B，由空間直角坐標(biāo)系易知，，三個向量不共面，故B正確；對于C，，所以，，三個向量共面，故C錯誤；對于D，與共線，所以，，三個向量共面，故D錯誤.故選：B.10．【正確答案】C【詳解】對于（1），不妨設(shè)點(diǎn)在曲線上，則也在該曲線上，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故（1）正確；對于（2），易知也都在該曲線上，所以曲線關(guān)于軸、軸、對稱，故（2）錯誤；對于（3），因?yàn)?，所以，即，所以曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離是1，故（3）正確；對于（4），由（3）得，曲線所圍成的圖形落在圓內(nèi)，且顯然是圓內(nèi)的部分圖形，而圓的面積為，所以曲線所圍成圖形的總面積小于，故（4）正確；綜上：（1）（3）（4）正確，（2）錯誤，故說法正確的有3個.故選：C.11．【正確答案】【詳解】兩直線方程化成一般式得：，距離為.故12．【正確答案】【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，，則，.故答案為.13．【正確答案】【詳解】.故答案為.14．【正確答案】15【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接.由題意得，.由圖形對稱得，.由橢圓定義得，，故，所以.故15.15．【正確答案】②③④【詳解】設(shè)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,所以,因?yàn)樵趫A上,所以,即,即,所以點(diǎn)的軌跡是一個圓,方程為,是以為圓心,為半徑的圓,所以點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是,故①錯誤；因?yàn)?，所?若為等腰三角形，若,則,此時三點(diǎn)共線，不滿足題意，若,則,滿足題意，所以的周長等于，故②正確；由以上過程可知的軌跡是一個圓,方程為,所以③正確；設(shè)，當(dāng)時，，不是最大角，不為時，中，,當(dāng)且僅當(dāng),即時取得等號，所以，故④正確.故②③④.16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）圓的圓心在y軸上且與切于點(diǎn)，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.（2）由直線l過點(diǎn)且被圓C截得的弦長為，根據(jù)圓的弦長公式，可得，即，解得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，此時不滿足條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)①，；②.【詳解】（1）證明：在菱形中，，又，，所以平面，平面，所以，側(cè)面為菱形，對角線，相交于O，所以O(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以平?（2）由（1）可知，，所以，，，所以，又，所以為等邊三角形，所以，的中點(diǎn)為D，，所以，，，，，，故，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.18．【正確答案】(1)；(2)或；(3)或.【詳解】（1）設(shè)，則，所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，故，故軌跡C的方程為；（2）過點(diǎn)且斜率為k的直線l的方程為，聯(lián)立與得，，，解得或，故斜率k的取值范圍是或；（3）時，，聯(lián)立得，，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故或.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，由，得，又，所以，，則四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，故平面；（2）平面平面，由已知得，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，，BC=0,1,0，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z則，即，取，則，，所以.易知底面的一個法向量為，由于二面角的大小為，所以，解得或（舍去），則，設(shè)直線與底面所成的角為，則，所以直線與底面所成角的正弦值為.20．【正確答案】(1)(2)①證明見解析；②過定點(diǎn)【詳解】（1）由題意可得，解得，所心橢圓的方程為；（2）①設(shè)，所以，則，由（1）可得，，則直線的方程為，令，解得，則，則直線的方程為，令，解得，則，所以，所以為定值1；②由①知直線的方程為，令，得，則，則直線的方程為，令，解得，則，又，所以的中點(diǎn)，又，所以圓的半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為，令，得，所以，故以線段為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).21．【正確答案】(1)，(2)4(3)見解析【分析】（1）根據(jù)和即可求解，（2）將問題轉(zhuǎn)化為至少有3個元素個數(shù)相同的非空子集．分別對中的元素個數(shù)進(jìn)行列舉討論，即可求解，（3）由的定義以及，即可結(jié)合，，…，中的元素個數(shù)均為3，進(jìn)行求解.【詳解】（1）根據(jù)和可得，故，（2）設(shè)使得，則，所以．所以至少有3個元素個數(shù)相同的非空子集．當(dāng)時，，其非空子集只有自身，不符題意．當(dāng)時，，其非空子集只有，不符題意．當(dāng)時，，元素個數(shù)為1的非空子集有，元素個數(shù)為2的非空子集有．當(dāng)時，，不符題意．當(dāng)時，，不符題意．當(dāng)時，，令，則，．所以的最小值為（3）由題可知，，記為