云南省2024年7月普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題

機(jī)密★考試結(jié)束前【考試時(shí)間：2024年7月12日，上午，共100分鐘】云南省2024年春季學(xué)期期末普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定位置按規(guī)定要求作答，答在試卷上一律無(wú)效．參考公式：如果事件A、B互斥，那么．如果事件A、B相互獨(dú)立，那么．球的表面積公式：，體積公式：，其中R表示球的半徑．柱體的體積公式：，其中S表示柱體的底面面積，h表示柱體的高．錐體的體積公式：，其中S表示錐體的底面面積，h表示錐體的高．選擇題（共66分）一、選擇題：本大題共22個(gè)小題，每小題3分，共66分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)的位置上填涂．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榧希?，則.故選：D2.函數(shù)的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以的最大值為，此時(shí).故選：C3.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)編織球體工藝品．若這種球體的半徑為10cm，則這種球體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意，這種球體的表面積為.故選：D.4.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.5.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式可求解.【詳解】.故選：A.6.已知平面向量，，則（）A. B. C.1 D.5【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】.故選：C.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】.故選：A.8.已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及特殊值法逐項(xiàng)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A，根據(jù)不等式的性質(zhì)知，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：A.9.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量加法的三角形法則,得到.故選：C.10.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】對(duì)于，這里，其圖象開口向下，對(duì)稱軸為.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上不為增函數(shù).故A錯(cuò)誤.對(duì)于函數(shù)，這里.根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞增，故B正確.是周期函數(shù)，它的周期是.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上不為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤.也是周期函數(shù)，周期為.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上不為增函數(shù).故D錯(cuò)誤.故選：B.11.如圖，在正方體中，直線與直線BD（）A.異面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】法一：根據(jù)異面直線的概念判斷即可.法二：利用反證法可證明直線與直線異面.【詳解】法一：由圖形可知，直線與直線不同在任何一個(gè)平面，這兩條直線為異面直線.法二：（反證法）假設(shè)直線與直線不異面，則直線與直線共面，設(shè)直線與直線確定的平面，又不共線，所以確定平面，所以平面與平面重合，從而可得平面，與平面矛盾，所以直線與直線異面.故選：A12.（）A.5 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】由換底公式進(jìn)行求解.【詳解】.故選：C.13.甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動(dòng)員參加射擊項(xiàng)目選拔賽，每人10次射擊成績(jī)的平均數(shù)（單位：環(huán)）和方差如下表所示：甲乙丙丁8.599.59.90.2510.650.09根據(jù)表中數(shù)據(jù)，若從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，則應(yīng)該選（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的意義分析求解.【詳解】從數(shù)據(jù)來(lái)看丁的平均成績(jī)最高，方差最小，因此丁成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定，應(yīng)選擇丁.故選：D.14.若，則x的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】由，解得，則x的取值范圍為.故選：A.15.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)，則.故選：C.16.的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理解三角形.【詳解】中，由正弦定理，得.故選：B17.函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零列不等式求解即可.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.18.函數(shù)在上的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，故選：B.19.若，，，則（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，而，所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，所以.故選：B.20.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】由，，得，所以.故選：D.21.某公司10名員工參加崗位技能比賽，獲獎(jiǎng)情況如下：等級(jí)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)人數(shù)（單位：人）361現(xiàn)從這10名員工中任選1名員工參加經(jīng)驗(yàn)交流活動(dòng)．若每位員工被選到的概率相等，則選到獲一等獎(jiǎng)員工的概率為（）A.0.1 B.0.3 C.0.5 D.0.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概率知識(shí)求得正確答案.【詳解】根據(jù)古典概型的知識(shí)可知，所求概率為.故選：B22.的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若，，，則（）A. B. C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可求解.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，所以由余弦定理可得：，所?故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角形中知道兩邊及夾角的余弦值求第三邊直接利用余弦定理求解.非選擇題（共34分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．請(qǐng)把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上．23.已知函數(shù)是奇函數(shù)．若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得正確答案.【詳解】依題意，是奇函數(shù)，所以故答案為：24.某地區(qū)的高中學(xué)校分為A、B兩類，A類高中學(xué)校共有學(xué)生6000人，B類高中學(xué)校共有學(xué)生2000人．現(xiàn)按A、B兩類進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該地區(qū)的高中學(xué)校抽取學(xué)生40人進(jìn)行調(diào)查研究．設(shè)抽到該地區(qū)A類高中學(xué)校學(xué)生x人，則__________．【答案】30【解析】【分析】由分層抽樣中各層樣本數(shù)的確定方法求解即可.【詳解】由題意，.故答案為：30.25.若，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可求最小值.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.26.若函數(shù)的最小正周期為，則常數(shù)__________．【答案】【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知余弦型函數(shù)求周期問題，直接利用周期公式求解.三、解答題：本大題共3個(gè)小題，第27題5分，第28題6分，第29題7分，共18分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟．27.甲、乙兩人獨(dú)立地參加本次普通高中化學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試，他們的考試成績(jī)互不影響．甲的化學(xué)成績(jī)得滿分的概率為，乙的化學(xué)成績(jī)得滿分的概率為．（1）求甲、乙兩人的化學(xué)成績(jī)都得滿分的概率；（2）求甲、乙兩人至少有一人的化學(xué)成績(jī)沒有得滿分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解即可；（2）利用對(duì)立事件的概率公式直接求解即可.【小問1詳解】由題意，甲、乙兩人的化學(xué)成績(jī)都得滿分的概率為.【小問2詳解】由題意，甲、乙兩人至少有一人的化學(xué)成績(jī)沒有得滿分的概率為.28.如圖，在直三棱柱中，D是線段BC的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題設(shè)易得，，進(jìn)而結(jié)合線面垂直的判定定理求證即可；（2）利用等體積法求解即可.【小問1詳解】證明：在直三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又D是線段BC的中點(diǎn)，且，所以，因?yàn)椋矫?所以平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，則，則，所以三棱錐的體積為.29.已知b、c是常數(shù)，函數(shù)，，．函數(shù)的零點(diǎn)是、