湖南省九校聯(lián)盟2024-2025學年高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題

湖南省2025屆高三九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學由常德市一中長沙市一中湖南師大附中雙峰縣一中桑植縣一中武岡市一中湘潭市一中岳陽市一中株洲市二中聯(lián)合命題炎德文化審校?制作命題學校：株洲市二中審題學校：武岡市一中注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可得與，從而進行集合間的運算.【詳解】因為，，所以或，所以，故選：D.2.若（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則化簡可得，即可得解.【詳解】由，得，即，其虛部為，故選：B3.圓的圓心到直線的距離為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】將圓的一般方程化為標準方程，求出圓心，然后代入點到直線的距離公式求解即可.【詳解】化圓的方程為標準方程得，則該圓圓心到直線的距離為.故選：A4.某機器上有相互嚙合的大小兩個齒輪（如圖所示），大輪有50個齒，小輪有15個齒，小輪每分鐘轉10圈，若大輪的半徑為，則大輪每秒轉過的弧長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出大輪每分鐘轉的圈數(shù)，再借助弧長公式計算即得【詳解】由大輪有50個齒，小輪有15個齒，小輪每分鐘轉10圈，得大輪每分鐘轉圈數(shù)為，因此大輪每秒鐘轉的弧度數(shù)為，所以大輪每秒轉過的弧長是.故選：D5.已知平面向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用模的平方求出向量的數(shù)量積，再利用投影向量公式求解即可.【詳解】計算可得，由，兩邊平方化簡，得，將代入，可得在上的投影向量為.故選：B.6.甲?乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束），已知每局比賽甲獲勝的概率為，則甲第一局獲勝并最終以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用獨立重復事件，分析獲勝情況，即可求出概率.【詳解】甲第一局獲勝并最終以獲勝，說明甲?乙兩人在5局比賽中，甲勝了4局，輸了1局，并且輸?shù)舻倪@局為第二局或第三局或第四局，故概率為.故選：C7.已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（）A.4049 B.4047 C.2025 D.2024【答案】A【解析】【分析】根據(jù)計算化簡得出數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，進而得出通項公式即可求解.【詳解】當時，，即，由數(shù)列為正項數(shù)列可知，，又，即數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，即，則，當時，；所以.故選：A.8.已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷與的關系，然后建立等式，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，，所以，所以的圖像關于點0,1對稱，又因為，其中，當且僅當時等號成立，而，所以f′x>0，所以在R上單調(diào)遞增則由，可得，記，則，可得，當且僅當時取等號，故的最大值為.故選：B二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為13B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，那么數(shù)據(jù)的方差為1C.已知隨機事件和互斥，且.則D.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】AC【解析】【分析】選項A,先將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后計算百分位數(shù)即可；選項B，利用方差的性質(zhì)計算即可；選項C，利用獨立事件的概率計算公式計算即可；選項D，利用正態(tài)分布的概念計算即可.【詳解】A選項，數(shù)據(jù)從小到大排列為，由，故第5個數(shù)作為第70百分位數(shù)，即A正確；B選項，樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，所以B選項錯；C選項，因為和互斥，則，可得，所以，C正確；D選項，因為關于對稱，所以錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.B.C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增D.當時，函數(shù)有8個零點【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象的振幅、周期求出和的值，根據(jù)圖象的特殊點和的范圍求出的值，可判斷選項A、B是否正確；根據(jù)求出的解析式及整體替換思想求出的單調(diào)增區(qū)間可判斷C；化簡解析式，將一個函數(shù)的零點個數(shù)問題，轉化為兩個新函數(shù)的交點個數(shù)問題可判斷D.【詳解】對于選項A，由圖知，，得到，則，選項A正確；對于選項B，，又因為，所以，故選項B錯誤；對于選項C，當時，，單調(diào)遞增，所以選項C正確；對于選項D，，整理得，，令，得觀察圖象知，和在上共8個交點，所以Fx在上共有8個零點，故選項D正確.故選：ACD11.已知矩形中，，以所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周形成的面所圍成一個幾何體，則（）A.該幾何體的體積為B.將該幾何體放入一個球內(nèi)，當球的半徑最小時，球的表面積為C.將該幾何體削成一個球，則球的半徑的最大值為D.將該幾何體削成以為軸的圓柱，則圓柱的最大體積為【答案】BCD【解析】【分析】把立體圖形利用軸截面思想轉化為平面圖形來研究，比如求體積的高，求最大圓的半徑，求內(nèi)切圓的半徑，求最大矩形.【詳解】如圖1，以所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成兩個共底面的圓錐，旋轉一周形成一個倒立的相同的幾何體，將其體積記為，這兩個幾何體重疊部分是以圓為底面，為頂點的兩個小圓錐，其體積記為，則所求幾何體體積故A錯誤；該幾何體可以放入的最小的球是以為直徑的球，該球的表面積為，故B正確；C選項中削成的最大的球的軸截面如圖2，設球的半徑為，則，中，，解得（舍）或，故C正確；D選項中，軸截面圖如圖3，設，則圓柱的體積為，故時，體積有最大值，故D正確.故選：BCD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】應用同角三角函數(shù)關系及兩角差正弦公式化簡求出，最后應用兩角和正弦即可求解.【詳解】，.故答案為：2313.已知分別為雙曲線右支與漸近線上的動點，為左焦點，則的最小值為__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義得出，再結合距離和最小及點到直線距離計算得出最小值.【詳解】設雙曲線的右焦點為，漸近線為，則，，當且僅當三點共線時，，的最小值為垂直于漸近線時，所以的最小值為.故答案為：4.14.從中任意選取四元數(shù)組，滿足，則這樣的四元數(shù)組的個數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】70【解析】【分析】根據(jù)題意得到，從而得到四元數(shù)組的個數(shù)相當于從8個元素中選取4個，即可得到答案.【詳解】由題意得，將連同右邊的3個空位捆綁，連同右邊的4個空位捆綁，連同右邊的5個空位捆綁，分別看作一個元素，還剩個元素.四元數(shù)組的個數(shù)相當于從8個元素中選取4個，故這樣的四元數(shù)組的個數(shù)是.故答案為：70四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.在中，分別為角的對邊，.（1）求的值；（2）若的周長為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過正弦定理將角的關系化為邊的關系，根據(jù)兩角和正弦公式即可得解；（2）由（1）得，通過正弦定理將邊的關系化為角的關系，可得，令，則，結合的周長為，可得，最后根據(jù)三角形面積公式得結果.【小問1詳解】由正弦定理得，，，，，又.由得，，所以.【小問2詳解】，由正弦定理，得，令，則，則，解得，的面積.16.如圖，在四面體中，平面為的重心，點在線段上，.（1）證明：；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直去證明線線垂直，中間借助線面平行和線線平行即可；（2）利用空間直角坐標系，借助空間向量運算來求兩平面夾角的余弦值即可.【小問1詳解】如圖，連接并延長交于，連接.為的重心，，又.平面，又，且平面，平面，又平面，.【小問2詳解】如圖，以為軸，為軸，軸建立空間直角坐標系，，.設平面的一個法向量為，則取，則，設平面的一個法向量為，則取，則，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）當時，先把問題轉化為.然后方法一：設（），通過求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極小值（也是最小值）可證結論成立.方法二：進一步把問題轉化為：，設，證明即可.【小問1詳解】，①當時，當時，時，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；②當時，當時，時，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；③當時，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；④當時，當時，時，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.綜上，當時，的遞增區(qū)間是（），遞減區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當時，，由題意可得，只需證明，方法一：令，則，令，易知在上單調(diào)遞增，，故存在，使得，即，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故時，取得唯一的極小值，也是最小值.，所以，即當時，.方法二：不等式等價于，只需證，令，所以，當時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時取得等號，令代替得到，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故存在，使得，所以，當且僅當時取得等號，所以，即當時，.18.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，左?右焦點分別為，過作直線與橢圓交于兩點，且的周長為.設的中點為為坐標原點，直線與直線相交于點.（1）求橢圓的標準方程.（2）是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.（3）求的正弦值的最大值.【答案】（1）（2）存在，或.（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及橢圓定義列方程組計算得出橢圓標準方程；（2）先設直線方程，再聯(lián)立方程得出韋達定理，再結合弦長公式計算化簡求參即可；（3）應用，得出正切值，，最后應用兩角和的正切公式計算求值即可【小問1詳解】由題意，故橢圓的標準方程為.【小問2詳解】顯然的斜率不為0，設的方程為，聯(lián)立，得，，，，直線的方程為，從而，，若為等腰三角形，則，又，存在直線使得為等腰三角形，此時的方程為或.【小問3詳解】由（2）知，，，同理，，當且僅當時取等號，最大值時，取最大值，最大值時有，，即的正弦值的最大值為.【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵點是結合兩角和的正切公式結合值域化簡得出最大值即可.19.若項數(shù)為的有窮數(shù)列滿足：，且對任意的或是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列，，，與數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）設數(shù)列具有性質(zhì)，是中的任意一項，證明：一定是中的項；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，證明：當時，數(shù)列是等比數(shù)列.【答案】（1）數(shù)列，，，具有性質(zhì)，數(shù)列，，，不具有性質(zhì)，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義直接判斷；（2）由數(shù)列具有性質(zhì)，可得不是數(shù)列中的項，所以為數(shù)列中的項，由，所以是數(shù)列中的項，當時，不是數(shù)列中的項，所以一定是數(shù)列中的項；（3）由已知可得，結合（2）可得，所以（*），易知當，是數(shù)列中的項，由，且，可得，因為，由以上可知：且，所以且，所以，可得，即可得證.【小問1詳解】數(shù)列，，，，則，，，，，，，