2025高考數(shù)學一輪復習-5.3-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用-專項訓練【含答案】

2025高考數(shù)學一輪復習-5.3-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用-專項訓練【A級基礎(chǔ)鞏固】1.已知向量a=(1,2),b=(x,1),若(a+b)⊥(a-b),則x等于()A.-2 B.±2C.±2 D.22.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,<a,b>=2π3,則a·A.-2 B.-1 C.0 D.23.已知單位向量a,b滿足a·b=0,若向量c=a+3b,則cos<a,c>等于()A.32 B.12 C.344.在水流速度為10km/h的自西向東的河中,如果要使船以103km/h的速度從河的南岸垂直到達北岸,則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小分別為()A.北偏西30°,20km/hB.北偏西60°,102km/hC.北偏東30°,102km/hD.北偏東60°,20km/h5.若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|,則a-b與b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π36.已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若點Q滿足AQ→=2QB→,則QC→A.-109 B.109 C.-1397.已知平面向量a=(3,3),則與a夾角為45°的一個非零向量b的坐標可以為.(寫出滿足條件的一個向量即可)

8.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=.9.在△ABC中,BC的中點為D,設(shè)向量AB→=a,AC(1)用a,b表示向量AD→(2)若向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,<a,b>=60°,求AB→·ADINCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】10.(多選題)若向量a,b滿足|a|=|b|=2,|a+b|=23,則()A.a·b=-2B.a與b的夾角為πC.|a-b|>|a+b|D.a-b在b上的投影向量為-1211.(多選題)已知O為坐標原點,點P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則()A.|OP→1|=|B.|AP→1|=|C.OA→·OP→3=D.OA→·OP→1=12.在△ABC中,滿足AB→⊥AC→,M是BC的中點,若O是線段AM上任意一點,且|AB→|=|AC→|=2,求OA→·13.在如圖所示的平面直角坐標系中,已知點A(1,0)和點B(-1,0),|OC→(1)若θ=3π4,設(shè)點D為線段OA上的動點,求|OC→+(2)若θ∈[0,π2],向量m=BC→,n=(1-cosθ,sinθ-2cosθ),求mINCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【C級應用創(chuàng)新練】14.(多選題)定義一種向量運算“?”:a?b=a·A.a?b=b?aB.λ(a?b)=(λa)?b(λ∈R)C.(a+b)?c=a?c+b?cD.若e是單位向量,則|a?e|≤|a|+115.向量的數(shù)量積可以表示為:以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一,即如圖所示,a·b=14(|AD→|2-|BC→AM=3,BC=10,則AB→·AC→=參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1.解析:a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因為(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,即(1+x)·(1-x)+3=0,解得x=±2.故選C.2.解析:a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×(-123.解析:由單位向量a,b,則|a|=1,|b|=1,即|c|2=(a+3b)2=|a|2+23a·b+3|b|2=4,得|c|=2,又a·c=a·(a+3b)=|a|2+3a·b=1,所以cos<a,c>=a·c|4.解析:如圖,船從點O出發(fā),沿OC→方向行駛才能垂直到達對岸,|OA10,|OB→|=103,則|OC→|=|OA→|2+|OB5.解析:|a+b|=|a-b|=2|a|,等號左右同時平方,得|a+b|2=|a-b|2=4|a|2,即|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2a·b=4|a|2,所以a·b=0且|b|2=3|a|2,所以|a-b|=|a-b|2所以cos<a-b,b>=(a-b)·b所以<a-b,b>=5π66.解析:以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,則B(2,0),C(1,1),D(0,1).又AQ→=2QB→,所以Q(所以QC→=(-13,1),QD→所以QC→·QD→=497.解析:設(shè)b=(x,y),所以a·b=3x+3y=6·x2+y所以x2題意,所以b=(1,0).答案:(1,0)(答案不唯一,滿足b=(x,y),xy=0,且x2+y2≠0的任意一個均可)8.解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+c·a=-92答案:-99.解:(1)AD→=12(AB→+AC→)=所以AD→=12a+(2)AB→·AD→=a·(12=12a2+12a·b=12×32+12×3×2所以AB→·ADINCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】10.解析:因為|a|=|b|=2,|a+b|=23,所以12=|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2a·b+4,解得a·b=2,A錯誤;設(shè)a,b的夾角為α,則cosα=a·b|a||所以a與b的夾角為π3|a-b|=(a-b)2=aa-b在b上的投影向量為b·(a-b)|b|·b|故選BD.11.解析:由題意可知,|OP→1|=|OP→2|=所以|OP→1|=|取α=π4,則P1(22,取β=5π4,則P2(-22,則|AP→1|≠|(zhì)cos(α+β),所以O(shè)A→·OP→3=OP因為OA→·OP→1=cosα,OPsinβsin(α+β)=cos(α+2β),取α=π4,β=π4,則OA→·OPOP→2·OP→3=cos3π4=-22,所以O(shè)A→12.解:由AB→⊥AC→,|AB→|=|AC所以△ABC為等腰直角三角形,以A為原點,AB,AC所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系,如圖所示,所以A(0,0),B(2,0),C(0,2),因為M是BC的中點,所以M(22,2所以可設(shè)O(x,x),0≤x≤22所以O(shè)B→=(2OC→=(-x,-x+2),OA所以O(shè)B→+OC→=(2-2x,所以O(shè)A→·(OB→+OC→)=(-x)(2-2x)+(-x)·(2-2x)=4x24(x-24)2-12,故當x=24時,OA→·(OB→13.解:(1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),由題意知C(-22,2所以O(shè)C→+OD→=(-22所以|OC→+OD→|2=(t-22)2所以當t=22時,|OC→+OD→(2)由題意得C(cosθ,sinθ),m=BC→則m·n=1-cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-cos2θ-sin2θ=1-2sin(2θ+π4因為θ∈[0,π2],所以π4≤2θ+π4所以當2θ+π4=π2,即θ=sin(2θ+π4即m·n取得最小值1-2.所以m·n的最小值為1-2,此時θ=π8INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【C級應用創(chuàng)新練】14.解析:當a,b共線時,a?b=|a-b|=|b-a|=b?a,當a,b不共線時,a?b=a·b=b·a=b?a,故A正確;當λ=0,b≠0時,λ(a?b)=0,(λa)?b=|0-b|≠0,故B錯誤;當a+b與c共線時,則存在a,b與c不共線,(a+b)?c=|a+b-c|,a?c+b?c=a·