數(shù)學（北京A卷）-學易金卷：2023年高考第一次模擬考試卷 附解析

2023年高考數(shù)學第一次模擬考試卷高三數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．設集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合運算法則計算.【詳解】因為，所以或，則．故選：D．2．已知復數(shù)與在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)的運算，即可求解．【詳解】解：復數(shù)與在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，，故選：D．3．直線與圓相切，則實數(shù)m的值是（

）A．±1 B．±2 C．±4 D．±8【答案】B【分析】直線方程代入圓方程后，由判別式為0求得的值，同時注意方程表示圓時的范圍．【詳解】由，得，∴，，又方程表示圓時，，或，滿足題意．故選：B．4．已知函數(shù)則方程的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考慮和兩種情況，代入解方程得到答案.【詳解】當時，，故，解得或（舍去）；當時，，故，解得或（舍去）.綜上所述：或.故選：B5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調，且對任意實數(shù)均有成立，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質，求出，由是函數(shù)的最大值點，即可求出.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)在上單調，且恒成立，所以，即，解得，又是函數(shù)的最大值點，是函數(shù)的最小值點，所以，又，解得.故選：D.6．記為數(shù)列的前n項和，“對任意正整數(shù)n，均有”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)與的關系，利用作差法，可得充分性，取特殊例子，可得必要性，即得答案.【詳解】當時，則，∴，則“對任意正整數(shù)n，均有”是“為遞減數(shù)列”的充分條件；如數(shù)列為，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，但是不一定小于零，還有可能大于或等于零，所以“對任意正整數(shù)n，均有”不是“為遞減數(shù)列”的必要條件，因此“對任意正整數(shù)n，均有”是“為遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.7．2020年，由新型冠狀病毒（SARS-CoV-2）感染引起的新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）在國內(nèi)和其他國家暴發(fā)流行，而實時熒光定量PCR（RT-PCR）法以其高靈敏度與強特異性，被認為是COVID-19的確診方法，實時熒光定量PCR法，通過化學物質的熒光信號，對在PCR擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達到閾值時，DNA的數(shù)量與擴增次數(shù)n滿足，其中p為擴增效率，為DNA的初始數(shù)量.已知某樣本的擴增效率，則被測標本的DNA大約擴增（

）次后，數(shù)量會變?yōu)樵瓉淼?25倍.（參考數(shù)據(jù)：）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)題意，化簡，得，可得，利用參考數(shù)據(jù)，可得答案.【詳解】因為，所以.由題意，知，得，故被測標本的DNA大約擴增12次后，數(shù)量會變?yōu)樵瓉淼?25倍.故選：C8．若，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【分析】由二項式定理展開左邊的多項式后可得．【詳解】，則．故選：B.9．取兩個相互平行且全等的正n邊形，將其中一個旋轉一定角度，連接這兩個多邊形的頂點，使得側面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“n角反棱柱”.當n=4時，得到如圖所示棱長均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球的性質，結合四角反棱柱的幾何性質、球的表面積公式進行求解即可.【詳解】如圖所示：設上下底面的中心分別為，設該“四角反棱柱”外接球的球心是，顯然是的中點，設的中點為，連接，過做，垂足為，因為，，所以，在直角三角形中，，所以有，于是有，在直角三角形中，，所以該“四角反棱柱”外接球的表面積等于，故選：B10．眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”.整個圖形是一個圓形.其中黑色陰影區(qū)域在軸右側部分的邊界為一個半圓，給出以下命題:①在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色陰影部分的概率是；②當時，直線與白色部分有公共點；③黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點，則的最大值為；④若點，為圓過點的直徑，線段是圓所有過點的弦中最短的弦，則的值為.其中所有正確結論的序號是（

）A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【分析】利用幾何概型的概率公式可判斷①的正誤；計算直線與圓的位置關系以及數(shù)形結合可判斷②的正誤；利用點到直線的距離公式以及數(shù)形結合可判斷③的正誤；求出點、、、的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可判斷④的正誤.【詳解】對于①，設黑色部分區(qū)域的面積為，整個圓的面積為，由對稱性可知，，所以，在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色陰影部分的概率為，故①正確；對于②，當時，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，下方白色小圓的方程為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，如下圖所示：由圖可知，直線與與白色部分無公共點，故②錯誤；對于③，黑色陰影部分小圓的方程為，設，如下圖所示：當直線與圓相切時，取得最大值，且圓的圓心坐標為，半徑為，可得，解得，由圖可知，，故，故③正確；對于④，由于是圓中過點的直徑，則、為圓與軸的兩個交點，可設、，當軸時，取最小值，則直線的方程為，可設點、，所以，，，，，所以，，故④正確.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．函數(shù)的定義域是________．【答案】【分析】根據(jù)題意列出不等式，求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足，解得且，故該函數(shù)定義域為.故答案為：.12．雙曲線，寫出一個與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方程______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)有共同漸近線的雙曲線方程的性質進行求解即可.【詳解】與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線方程可設為，當時，得到雙曲線方程為，顯然該雙曲線與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同，故答案為：13．如圖，一根絕對剛性且長度不變?質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動.沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數(shù)關系，若的函數(shù)圖象如下圖所示，則___________.【答案】【分析】由圖象可知，，可求得的值.【詳解】由，得由得，故.所以故答案為：14．已知函數(shù)，若，則________；若且，則的最小值是______．【答案】

或；

.【分析】空一：利用代入法，結合分類討論法進行求解即可；空二：利用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調性，結合構造函數(shù)法，利用導數(shù)的性質進行求解即可.【詳解】空一：當時，，當時，；空二：當時，函數(shù)單調遞增，所以，當時，函數(shù)單調遞增，所以，且，當時，設，所以有，且，于是有，，因此有，設，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)有最小值，即，故答案為：或；.【點睛】關鍵點睛：利用構造函數(shù)法進行求解是解題的關鍵.15．已知數(shù)列滿足，設，則下列結論正確的是__________．①；②；③；④若等差數(shù)列滿足，其前n項和為，則，使得【答案】①③④【分析】通過題目給的首項與通項公式，可以算出前幾項，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是一個從第四項開始的周期數(shù)列，然后可以通過計算驗證選項①、③，根據(jù)數(shù)列的實際取值，可以判斷選項②，通過比較和的增長幅度，可以判斷選項④.【詳解】，，，，，，，，，此數(shù)列是從第四項開始的的周期數(shù)列，且滿足，，故①正確；選項②，在數(shù)列中，，，，，，是不存在，故②錯誤；選項③，，故③正確；選項④，等差數(shù)列，，，，其，數(shù)列是從第四項開始的的周期數(shù)列，而，呈指數(shù)被的增長，無窮大，而是一個二次函數(shù)的增長形式，增長幅度相對于指數(shù)而言有限，故，使得，所以選項④正確.故答案為：①③④三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.（本小題13分）在中，，，所對的邊為，，，滿足.(1)求的值；(2)若，，則的周長.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)余弦定理直接求解即可求出角；（2）首先結合（1）可知，然后根據(jù)正弦定理求出，長度，即可求出三角形周長.【詳解】（1）由，，，.（2），，，，根據(jù)正弦定理，得，解得，；因此三角形周長為.17．（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點.（1）證明:平面;（2）在①，②這兩個條件中任一個，補充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連接，交于，連接，根據(jù)可證；（2）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用向量關系可求.【詳解】（1）連接，交于，連接，底面是菱形，為中點，為中點，，平面，平面，平面；（2）選①：以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，底面是菱形，，，，則，設平面的法向量為，則，取可得，設與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角為；選②：以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，取中點，連接，底面是菱形，，，平面，為的中點，，平面，，，，則，設平面的法向量為，則，取可得，設與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角為；18．（本小題13分）為了解學生上網(wǎng)課使用的設備類型情況，某校對學生進行簡單隨機抽樣.獲得數(shù)據(jù)如下表：設備類型僅使用手機僅使用平板僅使用電腦同時使用兩種及兩種以上設備使用其他設備或不使用設備使用人數(shù)171665320假設所有學生對網(wǎng)課使用的設備類型的選擇相互獨立．(1)分別估計該校學生上網(wǎng)課僅使用手機的概率，該校學生上網(wǎng)課僅使用平板的概率；(2)從該校全體學生中隨機抽取3人進行調查，設隨機變量X表示這3人中僅使用電腦的人數(shù)，以頻率估計概率，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設樣本中上網(wǎng)課同時使用兩種設備的人數(shù)是22，用表示上網(wǎng)課僅使用一種設備，表示上網(wǎng)課不僅僅使用一種設備；用表示上網(wǎng)課同時使用三種設備，表示上網(wǎng)課不同時使用三種設備.試比較方差，的大小.（結論不要求證明）【答案】(1)僅使用手機的概率為，僅使用平板的概率為(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）用頻率估計概率，根據(jù)表格計算即可得出答案；（2）學生上網(wǎng)課僅使用電腦的概率，寫出隨機變量的所有取值，求出對應概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望公式計算期望即可；（3）根據(jù)步驟分別求出和的期望，再根據(jù)公式分別求出，，即可得出結論.（1）解：學生上網(wǎng)課僅使用手機的概率為，學生上網(wǎng)課僅使用平板的概率為；（2）解：學生上網(wǎng)課僅使用電腦的概率為，可取，且，，，，，則分布列為：0123；（3）解：，，所以，，，，所以，，所以.19．（本小題15分）已知橢圓的離心率為，短軸長為．(1)求橢圓的方程；(2)設過點的動直線與橢圓交于、兩點（點在軸上方），、為橢圓的左、右頂點，直線，與軸分別點、，為坐標原點，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意，列出關于的方程組，求解即可得答案；（2）由題意，設直線的方程為，，，則，，聯(lián)立，利用韋達定理可得，易得，，由化簡即可得答案.(1)解：由題意，有，解得，，所以橢圓的方程為；(2)解：由題意，點在軸上方且過點，則直線的斜率不為0，設直線的方程為，，，則，，由，可得，，，，

所以，即，由，，所以，則直線的方程為，令，得，所以，所以，則直線的方程為，

令，得，所以，所以，所以．20．（本小題15分）已知函數(shù)，直線與曲線相切．(1)求實數(shù)的值；(2)若曲線與直線有兩個公共點，其橫坐標分別為．①求實數(shù)的取值范圍；②證明：．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）①問題轉化為有2個實數(shù)根，轉化為與有2個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)，即可求解的取值范圍；②構造函數(shù)，，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再結合極值點偏移問題的解決方法，即可證明.【詳解】（1）設切點，，得，，所以，代入直線方程得；（2）①由（1）知，若曲線與直線有兩個公共點，則等價于有2個實數(shù)根，，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，，當趨向于正無窮大時，趨向于0，當趨向于負無窮大時，趨向于負無窮大，則；②，即，等價于，令，，，因為，所以，故，所以在上單調遞增，故,不妨設，故，即，由已知，所以，由①知，當時，單調遞增，故，所以，所以.21．（本小題15分