【名師一號】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修4雙基限時(shí)練8

雙基限時(shí)練(八)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝cosx的圖像的對稱軸是()A．x＝kπ，k∈ZB．x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈ZC．x＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈ZD．x＝2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z解析由余弦函數(shù)圖像知．答案A2．函數(shù)y＝1－2coseq\f(π,2)x的最小值、最大值分別是()A.－1,3 B.－1,1C.0,3 D.0,1解析ymin＝1－2＝－1，ymax＝1＋2＝3.答案A3．函數(shù)y＝log2(2cosx－eq\r(3))的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)C．[2kπ－30°，2kπ＋30°](k∈Z)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)答案D4．下列4個(gè)函數(shù)中，既是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)是()A．y＝sin|x| B．y＝|sinx|C．y＝|cos2x| D．y＝cosx解析由四個(gè)函數(shù)的圖像可知．答案B5．函數(shù)y＝cosx－2，x∈[－π，π]的圖像是()解析把y＝cosx，x∈[－π，π]的圖像向下平移2個(gè)單位．答案A6．若函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)，φ∈(0,2π)為偶函數(shù)，則φ＝()A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3,2)π D.eq\f(π,3)解析cos(x＋π)＝－cosx，故選B.答案B二、填空題7．函數(shù)y＝cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)≤x≤\f(5,6)π))的值域?yàn)開_______．解析當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5,6)π))時(shí)，－eq\f(\r(3),2)≤cosx≤1，所以值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))8．函數(shù)y＝cosx－1的對稱中心為________．解析y＝cosx的對稱中心為(kπ＋eq\f(π,2)，0)，由y＝cosx圖像向下平移一個(gè)單位，得到y(tǒng)＝cosx－1的圖像．所以y＝cosx－1的對稱中心為(kπ＋eq\f(π,2)，－1)．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，－1))9．y＝2cosx(0≤x≤2π)的圖像和直線y＝2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則這個(gè)封閉圖形的面積是________．解析由y＝2cosx，x∈[0,2π]上的圖像可知封閉的平面圖形的面積S＝2π×2＝4π.答案4π10．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))與coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))的大小關(guān)系為________．解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)π))＝coseq\f(3,5)π，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4).∵0<eq\f(π,4)<eq\f(3,5)π<π，而y＝cosx在[0，π]上是減函數(shù)，∴coseq\f(π,4)>coseq\f(3,5)π，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π)).答案coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))三、解答題11．求函數(shù)y＝log2cos2x的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間．解由cos2x>0得2kπ－eq\f(π,2)<2x<2kπ＋eq\f(π,2)，即kπ－eq\f(π,4)<x<kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，∴函數(shù)y＝log2cos2x的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)，∵cos2x∈(0,1]∴y＝log2cos2x的值域?yàn)?－∞，0]．由余弦函數(shù)的圖像及函數(shù)的定義域可知，y＝log2cos2x在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ))(k∈Z)單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)單調(diào)遞減．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≥cosx，,cosx，sinx<cosx，))試寫出它的性質(zhì)(四個(gè)以上)．解該函數(shù)的圖像如圖所示，由圖像可知：①函數(shù)的定義域?yàn)镽；②函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))；③函數(shù)的最小正周期為2π；④當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ和x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)函數(shù)取得最大值1；⑤當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)時(shí)函數(shù)取得最小值－eq\f(\r(2),2)；⑥當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＋π<x<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)時(shí)，f(x)<0；⑦當(dāng)且僅當(dāng)2kπ－eq\f(3π,4)<x<2kπ或2kπ＋eq\f(π,4)<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；⑧當(dāng)且僅當(dāng)2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,4)或2kπ＋eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．13．求當(dāng)函數(shù)y＝－cos2x＋acosx－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)的最大值為1時(shí)a的值．解y＝－cos2x＋acosx－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2).設(shè)cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.∴求函數(shù)y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)的最大值為1時(shí)a的值，等價(jià)于求二次函數(shù)y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)(－1≤t≤1)的最大值為1時(shí)a的值．①當(dāng)eq\f(a,2)<－1，即a<－2時(shí)，在t＝－1處，y有最大值，為－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2).由題設(shè)可知－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)＝1，∴a＝－eq\f(5,3)>－2(舍去)．②當(dāng)－1≤eq\f(a,2)≤1，即－2≤a≤2時(shí)，在t＝eq\f(a,2)處，y有最大值，為eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,