【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：曲線與方程

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：曲線與方程一、選擇題1．已知||＝3，A、B分別在y軸和x軸上運(yùn)動，O為原點，＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，則動點P的軌跡方程是()A.eq\f(x2,4)＋y2＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)＋y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,9)＝12．已知兩個定點A(－2,0)，B(1,0)，假如動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于()A．π B．4πC．8π D．9π3．平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點A(3,1)，B(－1,3)，若點C滿足＝λ1＋λ2(O為原點)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點C的軌跡是()A．直線 B．橢圓C．圓 D．雙曲線4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是()A．y2－eq\f(x2,48)＝1(y≤－1) B．y2－eq\f(x2,48)＝1(y≥1)C．x2－eq\f(y2,48)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,48)＝1(x≥1)5．給出以下方程：①2x＋y2＝0；②3x2＋5y2＝1；③3x2－5y2＝1；④|x|＋|y|＝2；⑤|x－y|＝2，則其對應(yīng)的曲線可以放進(jìn)一個足夠大的圓內(nèi)的方程的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．46．圓O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)為兩個定點．直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點的拋物線以直線l為準(zhǔn)線，則拋物線焦點所在的軌跡是()A．雙曲線 B．橢圓C．拋物線 D．圓二、填空題7．直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,2－a)＝1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是____________．8．△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________．9．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點的軌跡．給出下列三個結(jié)論：①曲線C過坐標(biāo)原點；②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于eq\f(1,2)a2.其中，全部正確結(jié)論的序號是____．三、解答題10．已知A、B分別是直線y＝eq\f(\r(3),3)x和y＝－eq\f(\r(3),3)x上的兩個動點，線段AB的長為2eq\r(3)，P是AB的中點．求動點P的軌跡C的方程．11．已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.(1)求橢圓C的方程；(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，eq\f(|OP|,|OM|)＝λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x＝－2交x軸于點A，設(shè)P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO＝∠AOP.當(dāng)點P在l上運(yùn)動時，求點M的軌跡E的方程．詳解答案一、選擇題1．解析：設(shè)A(0，y0)，B(x0,0)，P(x，y)，則由||＝3得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝9，又由于＝(x，y)，＝(0，y0)，＝(x0,0)，由＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)得x＝eq\f(2x0,3)，y＝eq\f(y0,3)，因此x0＝eq\f(3x,2)，y0＝3y，將其代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝9得eq\f(x2,4)＋y2＝1.答案：A2．解析：設(shè)P(x，y)，則|PA|2＝(x＋2)2＋y2，|PB|2＝(x－1)2＋y2，又|PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4，表示圓，∴S＝πr2＝4π.答案：B3．解析：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，∵＝λ1＋λ2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3λ1－λ2,y＝λ1＋3λ2))，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一條直線．答案：A4．解析：由題意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故點F的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支，又c＝7，a＝1，b2＝48，∴點F的軌跡方程為y2－eq\f(x2,48)＝1(y≤－1)．答案：A5．解析：所給出的方程中，①2x＋y2＝0是拋物線，②3x2＋5y2＝1是橢圓，③3x2－5y2＝1是雙曲線，④|x|＋|y|＝2是一個正方形，⑤|x－y|＝2是兩條平行直線，只有②④兩個方程對應(yīng)的曲線是封閉曲線，可以放進(jìn)一個足夠大的圓內(nèi)．答案：B6．解析：設(shè)拋物線的焦點為F，由于A、B在拋物線上，所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線l的距離AM、BN，于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.過O作OP⊥l，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OP是中位線，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|.依據(jù)橢圓的定義知，焦點F的軌跡是一個橢圓．答案：B二、填空題7．解析：(參數(shù)法)設(shè)直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,2－a)＝1與x、y軸交點為A(a,0)，B(0,2－a)，A、B中點為M(x，y)，則x＝eq\f(a,2)，y＝1－eq\f(a,2)，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)8．解析：如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.依據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x＞3)．答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x＞3)．9．解析：由于原點O到兩個定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，而a＞1，所以曲線C不過原點，即①錯誤；由于F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點對稱，所以|PF1||PF2|＝a2對應(yīng)的軌跡關(guān)于原點對稱，即②正確；由于S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinF1PF2≤eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝eq\f(1,2)a2，即面積不大于eq\f(1,2)a2，所以③正確．答案：②③三、解答題10．解：設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P是線段AB的中點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))∵A、B分別是直線y＝eq\f(\r(3),3)x和y＝－eq\f(\r(3),3)x上的點，∴y1＝eq\f(\r(3),3)x1，y2＝－eq\f(\r(3),3)x2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x2＝2\r(3)y，,y1－y2＝\f(2\r(3),3)x.))又|AB|＝2eq\r(3)，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.∴12y2＋eq\f(4,3)x2＝12.∴動點P的軌跡C的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.11．解：(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝1,a＋c＝7，))解得a＝4，c＝3.b2＝a2－c2＝16－9＝7.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.(2)設(shè)M(x，y)，其中x∈[－4,4]．由已知eq\f(|OP|2,|OM|2)＝λ2及點P在橢圓C上可得eq\f(9x2＋112,16x2＋y2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．①λ＝eq\f(3,4)時，化簡得9y2＝112，所以點M的軌跡方程為y＝±eq\f(4\r(7),3)(－4≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．②λ≠eq\f(3,4)時，方程變形為eq\f(x2,\f(112,16λ2－9))＋eq\f(y2,\f(112,16λ2))＝1，其中x∈[－4,4]；當(dāng)0＜λ＜eq\f(3,4)時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分；當(dāng)eq\f(3,4)＜λ＜1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；當(dāng)λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓．12．解：如圖，可得直線l：x＝－2與x軸交于點A(－2,0)，設(shè)P(－2，m)，(1)當(dāng)m＝0時，點P與點A重合，這時OP的垂直平分線為x＝－1，由∠AOP＝∠MPO＝0°，得M(－1,0)；(2)當(dāng)m≠0時，設(shè)M(x0，y0)，①若x0>－1，由∠MPO＝∠AOP得MP∥OA，有y0＝m，又kOP＝－eq\f(m,2)，OP的中點為(－1，eq\f(m,2))，∴OP的垂直平分線為y－eq\f(m,2)＝eq\f(2,m)(x＋1)，而點M在OP的垂直平分線上，∴y0－eq\f(m,2)＝eq\f(2,m)(x0＋1)，又m＝y(tǒng)0