八年級數(shù)學下冊課件(人教版)勾股定理

17.1勾股定理第1課時情景導入

相傳2500年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？情景導入A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個古老的定理吧！探索新知1知識點勾股定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時給出的.

弦股勾圖1探索新知ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2(1)觀察圖2-1

正方形A中含有

個

小方格，即A的面積

是

個單位面積.正方形B的面積是

個單位面積.正方形C的面積是

個單位面積.99918探索新知ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2

分“割”成若干個直角邊為整數(shù)的三角形=18(單位面積)S正方形c探索新知ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2(2)在圖2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少個小方格？

它們的面積各是多少？(3)你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個正方

形A，B，C的面積之間有

什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積.探索新知ABCacbSa+Sb=Sc觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想：兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2探索新知┏a2+b2=c2acb直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理(畢達哥拉斯定理)探索新知定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學表達式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.探索新知分清斜邊和直角邊．因為在Rt△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問題．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.導引：探索新知(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝解：探索新知總

結(jié)

利用勾股定理求直角三角形的邊長的方法：一般都要經(jīng)過“一分二代三化簡”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長及兩邊之間的關(guān)系式代入a2＋b2＝c2（假設(shè)c是斜邊）；三化簡．典題精講1

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.(1)(2)(3)解：典題精講下列說法中正確的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三邊長，則a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C23

若一個直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2

B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C典題精講如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為(

)A．5B．6C．8D．10C4典題精講如圖，將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點A′與點A重合，點C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長為(

)A．3B．6C．3D.A5探索新知2知識點勾股定理與面積的關(guān)系

在一張紙上畫4個與圖所示的全等的直角三邊形，并把它們剪下來．如圖所示，用這四個直角三角形進行拼擺，將得到一個以a+b為邊長的大正方形和以直角形斜邊c為邊長的小正方形．探索新知歸納

觀察圖形，容易得到大正方形的邊長為

a+b，所以大正方形的面積是(a+b)2．又因為大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的正方形拼成的，所以大正方形的面積又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c為邊的直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．探索新知例2觀察如圖所示的圖形，回答問題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形

P的面積為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積為________；(2)如圖②，分別以直角三角形ABC的三邊長為直徑向三角形外作三個半圓，則這三個半圓形的面積之間的關(guān)系式是________；(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3和4，分別以直角三角形的三邊長為直徑作半圓，請你利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．探索新知(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得

DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面積＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)陰影部分的面積＝兩個小半圓形的面積和＋直角三角

形的面積－大半圓形的面積，由(2)可知兩個小半圓形

的面積和＝大半圓形的面積，所以陰影部分的面積＝

直角三角形的面積．導引：探索新知(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓

形的面積為S3，三角形的面積為S△，

則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：探索新知總

結(jié)

與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上的圖形面積．本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細觀察所給圖形，面積與邊長、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．典題精講1

如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.SE＝(122＋162)＋(92＋122)

＝400＋225

＝625.解：典題精講2如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊或直徑，分別向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形個數(shù)是(

)

A．1B．2C．3D．4D典題精講3如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為(

)A．3B．4C．5D．7D典題精講如圖，已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC，BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個月牙形陰影部分的面積之和為S1，△ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系為(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能確定4C易錯提醒在△ABC中，邊AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長是(

)A．42B．32C．42或32D．不能確定C本題應分△ABC為銳角三角形和△ABC為鈍角三角形兩種情況討論．解本題時常常容易忽略其中一種情況而出錯．易錯點：考慮問題不全面而漏解.小試牛刀如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是線段BC上的動點(不含端點B，C)，若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有(

)A．5個B．4個C．3個D．2個C1小試牛刀在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C2如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB＝4，BD＝5，則點D到BC的距離是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A3典題精講四個全等的直角三角形按如圖所示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH，已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM＝2EF，則正方形ABCD的面積為(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S4C小試牛刀5如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD＝

，求：

(1)CD的長；(2)AB的長．(1)在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝32－

，所以CD＝.(2)在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝42－

，

所以AD＝.所以AB＝AD＋BD＝

＋

＝5.解：小試牛刀6如圖，每個小正方形的邊長為1.求：

(1)線段AD的長度；

(2)四邊形ABCD的面積．(1)因為AD2＝32＋42＝25，

所以AD＝5.(2)S四邊形ABCD＝7×5－×1×7－×2×4－

×1×2－×(1＋5)×3＝17.5.解：小試牛刀7在長方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖所示的方式折疊，使點B與D重合，折痕為EF，求DE的長．設(shè)DE＝xcm，則BE＝DE＝xcm.AE＝AB－BE＝(10－x)cm.在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2＝AE2＋AD2，即x2＝(10－x)2＋42，解得x＝.即DE的長為

cm.解：小試牛刀8如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的長；(2)求△ABC中BC邊上的高．

小試牛刀(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝

＝3.(2)如圖，延長BD至E，使DE＝BD，連接AE.∵D是AC的中點，∴AD＝DC.在△BDC和△EDA中，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴∠DAE＝∠DCB，∴AE∥BC.∵BD⊥BC，∴BE⊥AE.∴BE與△ABC中BC邊上的高相等，

又∵BE＝2BD＝6，∴△ABC中BC邊上的高為6.解：課堂小結(jié)1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角

三角形三邊關(guān)系．2．由勾股定理的基本關(guān)系式：a2＋b2＝c2可得到一些

變形關(guān)系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．17.1勾股定理第2課時情景導入

如圖所示，一棱長為3cm的正方體．把所有的面都分成3×3個小正方形，假若一只螞蟻每秒爬2cm，則它從下底面A點，沿表面爬行至右側(cè)的B點，最少要花幾秒?探索新知1知識點長度的計算問題

如圖所示，從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點距離電線桿底部6m，那么需要多長的鋼索?探索新知歸納

應用勾股定理解決實際問題，首先需要構(gòu)造直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形中第三邊的問題.然后確定好直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理a2＋b2

=c2求出待求的線段長度，即三角形的邊長.勾股定理在生活中有廣泛應用，例如長度，高度，距離，面積，體積等問題都可以利用勾股定理來解答.探索新知可以看出，木板橫著或豎著都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過.門框?qū)蔷€AC的長度是斜著能通過的最大長度.求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2

=AB2+BC2

=12+22=5.AC=≈2.24.因為AC大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過.例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，

寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通

過？為什么？分析：解：探索新知總

結(jié)

實際問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理來解答.探索新知解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB

中，根據(jù)勾股定理，

OB2=AB2-OA2=2.6

2-2.4

2

=1.OB==1.

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.OD

=≈1.77,

BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.

所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外

移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖,一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的

墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿

墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？探索新知總

結(jié)

生活中的一些實際問題常常通過構(gòu)建數(shù)學模型(直角三角形)來求解，勾股定理在生活中應用面廣，建立的模型有時并不是已知兩邊求第三邊，而只是告訴了其中的一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問題．典題精講1

如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點間的距離(結(jié)果取整數(shù)).在Rt△BAC中，BC＝60m，AC＝20m，由勾股定理，得AB＝

＝≈57(m)．答：A，B兩點間的距離約為57m.解：典題精講2

如圖，在平面直角坐標系中有兩點

A(5，0)和B(0，4).求這兩點之間的距離.由點A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因為∠BOA＝90°，所以根據(jù)勾股定理，得AB＝

＝解：典題精講3

如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，小鳥至少飛行(

)A．8米

B．10米

C．12米

D．14米B典題精講在黃岡長江大橋的東端一處空地上，有一塊矩形的標語牌ABCD(如圖所示)，已知標語牌的高AB＝5m，在地面的點E處，測得標語牌點A的仰角(即∠AEB)為30°，在地面的點F處，測得標語牌點A的仰角(即∠AFB)為75°，且點E，F(xiàn)，B，C在同一直線上，求點E與點F之間的距離．(計算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)4典題精講如圖，作FH⊥AE于H.由題意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，設(shè)AH＝HF＝xm，則EF＝2xm，EH＝

xm，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5m，∴AE＝2AB＝10m，∴x＋

x＝10，∴x＝5－5，∴EF＝10－10≈7.3(m)，答：點E與點F之間的距離約為7.3m.解：探索新知2知識點最短距離的計算如圖1所示，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面上圓的周長等于18cm.在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(1)自己做一個圓柱，嘗試從點A到點B沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？問題圖1探索新知(2)如圖2所示，將圓柱側(cè)面剪開展成一個長方形，從點A到點B的最短路線是什么？你畫對了嗎？(3)螞蟻從點A出發(fā)，想吃到點B處的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(4)若螞蟻先從點A直接爬到點C，然后再從點C沿地面直徑爬到點B，這樣爬的總路程與沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程比較，哪一條更短些？圖2探索新知歸納

最短路徑問題要轉(zhuǎn)化到平面圖形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.探索新知例3如圖所示的長方體的高為4cm，底面是長為5cm，寬

為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點A出

發(fā)沿長方體的表面爬到頂點B.求：(1)螞蟻經(jīng)過的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復爬行同一

條棱)的最長路程．(1)螞蟻爬行的最短路線可放在平面內(nèi)，根據(jù)“兩點之間，

線段最短”去探求，而與頂點A，B相關(guān)的兩個面展開

共有三種方式，先根據(jù)勾股定理求出每一種方式下螞蟻

爬行的最短路程，從而可知螞蟻經(jīng)過的最短路程．(2)最長路線應該是依次經(jīng)過長為5cm，4cm，5cm，

4cm，3cm，4cm，5cm的棱．導引：探索新知(1)將長方體與頂點A，B相關(guān)的兩個面展開，共有三

種方式，如圖所示．若螞蟻沿側(cè)面爬行，如圖①，

則爬行的最短路程為

若螞蟻沿側(cè)面和上面爬行，如圖②③，

解：

探索新知

則爬行的最短路程分別為

因為

＜4＜3，

所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm.(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以螞蟻沿著棱

爬行的最長路程是30cm.探索新知總

結(jié)

幾何體的表面上兩點間的最短路程問題的解決方法是將幾何體表面展開，即將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，然后利用“兩點之間，線段最短”去確定路線，最后利用勾股定理計算．典題精講如圖，一只螞蟻沿著棱長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，那么最短路徑長為________．1典題精講如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6cm，P是母線BC上一點，且PC＝

BC.一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點P的最短距離是(

)A.cm

B．5cm

C．3cm

D．7cm2B典題精講如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在BC上，BD＝3，DC＝1，點P是AB上的動點，則PC＋PD的最小值為(

)A．4B．5C．6D．73B易錯提醒

如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C

的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A

爬到點B，需要爬行的最短距離是(

)A．5

B．25

C．10＋5

D．35B易錯點：求最短路徑時對立體圖形展開情況考慮不全面

導致錯解.小試牛刀如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(

)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米1C小試牛刀如圖，在長方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動點P滿足S△PAB＝

S長方形ABCD，則點P到A、B兩點距離之和PA＋PB的最小值為(

)A.B.C.D.2D小試牛刀《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為(

)A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)23D小試牛刀4在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面3尺(如圖)．突然一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為6尺，請問水深多少？小試牛刀設(shè)水深h尺．如圖，在Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝(h＋3)尺，BC＝6尺．由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(h＋3)2＝h2＋62.解得h＝4.5.所以水深4.5尺．解：小試牛刀5如圖，圓柱形無蓋玻璃容器，高為18cm，底面周長為60cm，在外側(cè)距下底1cm的點C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口1cm的F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度．小試牛刀將曲面沿AB展開，如圖所示，連接CF，過點C作CE⊥AB于E，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，EF＝18－1－1＝16(cm)，CE＝×60＝30(cm)，由勾股定理，得CF2＝CE2＋EF2＝1156，所以CF＝34cm.即蜘蛛所走的最短路線的長度是34cm.解：小試牛刀5如圖，公路MN和公路PQ在點P處交會，且∠QPN＝30°.點A處有一所中學，AP＝160m．假設(shè)一拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛，周圍100m以內(nèi)(包括100m)會受到噪音的影響．(1)該學校是否會受到噪音的影響？請說明理由．(2)若受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，則學校受到影響的時間有多長？小試牛刀如圖，過點A作AB⊥PN于點B，根據(jù)垂線段最短可知，若AB＞100m，則不受影響；若AB≤100m，則受影響．若受影響，則首先需要找出受影響時拖拉機行駛的路段，再構(gòu)建直角三角形并利用勾股定理求出該路段的長，進而可求出受影響的時間．分析：小試牛刀(1)學校會受到噪音的影響．

理由：如圖，過點A作AB⊥PN，垂足為點B，

則有∠ABP＝90°.

∵AP＝160m，∠QPN＝30°，∴AB＝

AP＝×160＝80(m)．∵80m＜100m，∴學校會受到噪音的影響．解：小試牛刀

(2)如圖，以A為圓心，100m為半徑作弧，交PN于點C，D(C，D分別在BP，BN上)，連接AC，AD.即當拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處時，學校開始受到噪音的影響，直到拖拉機行駛到點D以外時，學校才不受拖拉機噪音的影響．

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

BC2＝AC2－AB2＝1002－802＝3600.

∴BC＝

＝60(m)．同理BD＝60m.∴CD＝BC＋BD＝60＋60＝120(m)．∴學校受噪音影響的時間為(120÷1000)÷18＝(h)＝24(s)．小試牛刀6如圖，A，B兩村在河邊CD的同側(cè)，兩村到河邊的距離分別為AC＝1km，BD＝3km，且CD＝3km.現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠向A，B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費用為每千米2000元．請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出此時鋪設(shè)水管的總費用．小試牛刀鋪設(shè)水管的費用與水管的長度有關(guān)，所以本題的關(guān)鍵是使點O到點A，B的距離之和最小．此時可考慮作點A關(guān)于直線CD的對稱點，根據(jù)“兩點之間，線段最短”先確定點O的位置，再利用勾股定理進行求解．分析：小試牛刀如圖所示，作點A關(guān)于直線CD的對稱點A′，連接A′B交CD于點O，則點O即為水廠的位置．連接AO，過點A′作A′E⊥BD交BD的延長線于點E，則A′E＝CD＝3km，DE＝A′C＝AC＝1km.∴BE＝BD＋DE＝3＋1＝4(km)．在Rt△A′EB中，A′B＝

＝5(km)．∴OA＋OB＝OA′＋OB＝A′B＝5km.∴總費用為5×2000＝10000(元)．解：課堂小結(jié)1.勾股定理從邊的角度刻畫了直角三角形的重要特征，

應用勾股定理可以求出直角三角形中的直角邊或者

斜邊的長度，在實際應用中要注意：(1)勾股定理的應用是以直角三角形存在(或容易構(gòu)造

直角三角形)為基礎(chǔ)；(2)表示直角三角形邊長的a,b,c不是固定不變的，

c不一定是斜邊的長.課堂小結(jié)2.在直線上找一點，使其到直線同側(cè)的兩點的距離之

和最短的方法：先找到其中一個點關(guān)于這條直線的

對稱點，連接對稱點與另一個點的線段與該直線的

交點即為所找的點，對稱點與另一個點的線段長就

是最短距離之和．以連接對稱點與另一個點的線段

為斜邊，構(gòu)造出一個兩條直角邊已知的直角三角形，

然后利用勾股定理即可求出最短距離之和．情景導入某拍賣行貼出了如下的一個土地拍賣廣告：

如下圖，有面積為560英畝的土地拍賣，土地共分三個正方形，面積分別為74英畝、116英畝、370英畝．三個正方形恰好圍著一個池塘，如果有人能計算出池塘的準確面積．則池塘不計入土地價錢白白奉送．英國數(shù)學家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個問題，你能解決嗎?探索新知1知識點用勾股定理在數(shù)軸上表示數(shù)

我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示

的點嗎？

如果能畫出長為

的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示

的點.容易知道，長為

的線段是兩條直角邊的長都為1的直角三角形的斜邊.長為

的線段能是直角邊的長為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？探索新知

利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，直角邊的長為正整數(shù)2，3的直角三角形的斜邊長為

.由此，可以依照如下方法在數(shù)軸上畫出表示

的點.

如圖,在數(shù)軸上找出表示3的點A，則OA=3，過點A作直線l垂直于OA，在l上取點B，使AB=2，以原點O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點C即為表示

的點.探索新知總

結(jié)

類似地，利用勾股定理，可以作出長為

…的線段(圖1).按照同樣方法，可以在數(shù)軸上畫出表示……的點(圖2).

圖1圖2探索新知利用

a＝

可以作出．如圖2，先作出與已知線段AB垂直，且與已知線段的端點A相交的直線l，在直線l上以A為端點截取長為2a的線段AC，連接BC，則線段BC即為所求．如圖2，BC就是所求作的線段．例1如圖1，已知線段AB的長為a，請作出長為

a的

段．(保留作圖痕跡，不寫作法)圖1圖2導引：解：探索新知總

結(jié)

這類問題要作的線段一般是直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理由要作的線段確定兩直角邊的長是解題的關(guān)鍵．典題精講1在數(shù)軸上做出表示的點.如圖所示．作法：(1)在數(shù)軸上找出表示4的點A，則OA＝4；(2)過A作直線l垂直于OA；(3)在直線l上取點B，使AB＝1；(4)以原點O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與

數(shù)軸的交點C即為表示

的點．解：典題精講2如圖，數(shù)軸上的點O，A，B分別表示數(shù)0，1，2，過點B作PQ⊥AB，以點B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交PQ于點C，以原點O為圓心，OC的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)是(

)

A.B.C.D.B典題精講3如圖，點C表示的數(shù)是(

)A．1B.C．1.5D.D典題精講如圖，在長方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)為(

)A．2B.

－1C.

－1D.4C探索新知2知識點用勾股定理解幾何問題例2如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的長．導引：題中沒有直角三角形，可以通

過作高構(gòu)建直角三角形；過點

A作AD⊥BC于D，圖中會出現(xiàn)

兩個直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，這兩

個直角三角形有一條公共邊AD，借助這條公共邊，

可建立起直角三角形之間的聯(lián)系．探索新知解：如圖，過點A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，

AD

在Rt△ABD中，

BD

∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.探索新知總

結(jié)利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法：

作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問題．典題精講1

如圖，等邊三角形的邊長是6.求：(1)高AD的長；(2)這個三角形的面積.(1)由題意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：典題精講如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格”，只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出長度為

的線段________條．28典題精講如圖，每個小正方形的邊長均為1，則△ABC中，長為無理

數(shù)的邊有(

)A．0條

B．1條

C．2條

D．3條C典題精講4如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB易錯提醒如圖，把長方形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點恰好落在AD邊的P點處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長方形ABCD的面積為________．115.2易錯提醒在Rt△PFH中，F(xiàn)H＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.設(shè)△PFH的邊FH上的高為h，則h＝

＝4.8，∴S長方形ABCD＝24×4.8＝115.2.易錯提醒易錯點：忽視題目中條件而求不出答案.解此題時要靈活運用折疊前后對應線段相等，從而求出BC的長，然后再運用面積法求出△PFH中FH邊上的高，本題容易因忽視條件而求不出答案．易錯總結(jié)：小試牛刀如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為(－2，3)，以點O為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點A，則點A的橫坐標介于(

)A．－4和－3之間B．3和4之間C．－5和－4之間D．4和5之間1A小試牛刀如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點A恰好落在對角線BD上F處，則DE的長是(

)A．3B.C．5D.2C小試牛刀如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，則△ABC的周長等于________cm.3小試牛刀4如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，

每個小格的頂點叫做格點．以格點為頂點畫三角形．(1)使三角形的三邊長分別為3，2，

.(2)使三角形的周長為

.小試牛刀(1)如圖①中的△ABC為所求的三角形．(2)如圖②中的△ABC的三邊長分別為

，