2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊期末考試解答題壓軸題50題專練（含答案）

2024高一上學(xué)期期末考試解答題壓軸題50題專練

【人教A版(2019)]

1.(2023上?廣東汕頭?高一校考階段練習(xí))已知4={x|2a-1<x<a+1},B={%I-1<%<3].

(1)若a=-|,求4UC(CRB)；

(2)在①“x€4”是“x€B”的充分不必要條件；②力UB=B；③4CB=0；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在

下面問題中，并進(jìn)行解答.

問題：若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍構(gòu)成的集合P.

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)條件的解答計(jì)分.

2.(2023上上海徐匯?高一上海中學(xué)?？计谥?已知非空實(shí)數(shù)集S,7滿足：任意X6S,均有三CS；任意

yeT,均有=67.

y+1

(1)直接寫出S中所有元素之積的所有可能值；

(2)若T由四個(gè)元素組成，且所有元素之和為3,求T；

(3)若SCT非空，且由5個(gè)元素組成，求SUT的元素個(gè)數(shù)的最小值.

3.(2023下?北京密云?高一統(tǒng)考期末)已知集合5={1,2,…,幾}(riN3且neN*),A={a1：a2,---,am),

且A=S.若對任意的eA,出￡4(1<i<j<m),當(dāng)心+a;-<n時(shí)，存在以E4(1<k<m),使得見+出=

ak,則稱4是S的小元完美子集.

(1)判斷下列集合是否是S={123,4,5}的3元完美子集，并說明理由；

①①={1,2,3}；

②&=億4,5}.

(2)若4={alta2,={1,2,…,7}的3元完美子集，求的+a2+<23的最小值.

4.(2023上?北京平谷?高一統(tǒng)考期末)設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集，稱集合B={|“-訓(xùn)|M1764，且uKv}

為集合A的生成集.

(1)當(dāng)4={1,3,6}時(shí)，寫出集合A的生成集8；

(2)若A是由5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；

(3)判斷是否存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A,使其生成集B={2,3,5,6,10,16},并說明理由.

5.(2023上?北京東城?高一統(tǒng)考期末)對于非空數(shù)集A,若其最大元素為最小元素為"z,則稱集合A

的幅值為北=M-若集合A中只有一個(gè)元素，則。=0.

⑴若4={2,3,4,5},求。；

(2)若4={1,2,3,…,9},4={%,為,cj=44CAj=0(EJ=1,2,3,i豐j),&U&U力3=4求。i+7^2+

北3的最大值，并寫出取最大值時(shí)的一組4,42,43；

(3)若集合N*的非空真子集4,4,43,…,4"兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同，且。1+23+..,+%=55，求”

的最大值.

6.(2023上?上海浦東新?高一?？计谀?已知集合力九={(乂1，刀2,…,/i)Me{-=1,2,…,71)},尤、y6

An,x=(x1,x2,---,xn),y=(yi，y2)--->yn)>其中U、%e=1,2,…，n).定義無。y=勺%+x2y2+

+xnyn,若久。y=0,則稱x與y正交.

(1)若％=(1,1,1,1),寫出①中與了正交的所有元素；

(2)令B={久。y|x,yeAn},若meB,證明：m+n為偶數(shù);

(3)若AU人兀，且A中任意兩個(gè)元素均正交，分別求出n=8,14時(shí)，A中最多可以有多少個(gè)元素.

7.(2023上?北京昌平?高一統(tǒng)考期末)設(shè)有限集合E={1,2,3,…,N},對于集合4UE,A={x1,x2,x3,-,xm},

給出兩個(gè)性質(zhì)：

①對于集合A中任意一個(gè)元素沖，當(dāng)4Kl時(shí)，在集合A中存在元素和Xj(i<使得^^/+芍，貝I稱

A為E的封閉子集；

②對于集合A中任意兩個(gè)元素々，手j),都有々+勺64則稱A為E的開放子集.

⑴若N=20,集合4={1,2,4,6,8,10},B=[x\x=3k+l,k<6,keN*},判斷集合4B為E的封閉子集還

是開放子集；(直接寫出結(jié)論)

⑵若N=100,IEA,100EX,且集合A為E的封閉子集，求小的最小值；

(3)若N6N*,且N為奇數(shù)，集合A為E的開放子集，求機(jī)的最大值.

8.(2023上?北京?高一校考階段練習(xí))設(shè)集合4為非空數(shù)集，定義4+=(x\x=a+b,a,bEAlA-={%|x=\a—

b\,a,bEA).

⑴若集合/=直接寫出集合川及父；

(2)若集合A={xlfx2,x3,x4],Xr<X2<x3<%4且/一=A,求證％1+%4=%2+%3；

(3)若集合Zc(x|0<x<2023/eN}且/+0=0,求/中元素個(gè)數(shù)的最大值.

9.(2023上?浙江湖州?高一期末)已知函數(shù)f(%)=%—2,g{x}=x2—2mx+4(mG/?).

(1)若對任意％GR,不等式g(%)>/(%)恒成立，求m的取值范圍；

(2)若對任意%iW[1,2],存在％2個(gè)[4,5],使得g(%i)=/(%2)，求機(jī)的取值范圍；

(3)若租=一1,對任意幾eR,總存在%oe[-2,2],使得不等式|g(%o)-據(jù)十九|之々成立，求實(shí)數(shù)左的取值范

圍.

10.(2023上?浙江金華?高一?？茧A段練習(xí))(1)已知關(guān)于％的不等式a/+b%+c<0的解集是

{%[%<—2或%>|j,求c/—bx+a>0的解集;

(2)求關(guān)于式的不等式a/一2X+。<0的解集.

11.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知居y,zE(0,+8),且無+y+z=l.

(1)求證：+^>1+y[z—z；

(2)求％2+y2+z2+5xy+4yz+4%z的最大值.

12.(2023上?江蘇?高一階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=ax2+(1-a)%+a-2.

(1)若關(guān)于汽的不等式/(%)2-2有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若不等式/(%)>一2對于實(shí)數(shù)aG時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)久的取值范圍;

(3)解關(guān)于％的不等式：f(x)<a-1,(aE/?).

13.(2023上?遼寧丹東?高一?？茧A段練習(xí))已知不等式2<ax2+bx+c<3的解集為｛%|2<%<3]

⑴若。>。，求6b+5c的值；

(2)若a>0,且不等式a/+(5一3)%-。4。有且僅有9個(gè)整數(shù)解，求a的取值范圍；

(3)若a。0解關(guān)于汽的不等式：ax2+(b-1)%+5<0.

14.(2023上?浙江臺(tái)州?高一校考階段練習(xí))已知函數(shù)y=a/一(q+2)%+2,aeR.

(l)y<3-2%恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，求不等式y(tǒng)>。的解集；

(3)若存在zu>0使關(guān)于％的方程a/一(Q+2)|%|+2=m+'+1有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值.

15.(2022上?福建廈門?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/0)="+]-3,且不等式獷(久)<4的解集為｛久|l<x<6｝

⑴解關(guān)于x的不等式a%2_(ac+b)%+bc<0(cCR)

(2)已知g(%)=Tn%+7-3/n,若對任意的％章[2,3],總存在汽2c(1,4],恰/(久1)二必應(yīng)成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

xi

16.(2023上?江蘇蘇州?高二校考期中)已知一元二次不等式％2-ax+h>0.

(1)若不等式的解集為(一8,2)U(3,+8),求不等式一b%+1V0的解集;

(2)當(dāng)b=a—1時(shí)，求不等式久2—ax+&>0的解集；

⑶當(dāng)b=l時(shí)，求不等式安>°的解集.

17.(2023上?北京朝陽?高一統(tǒng)考期末)設(shè)全集U={l,2,-,n}(n6N*),集合A是U的真子集.設(shè)正整數(shù)t<n,

若集合A滿足如下三個(gè)性質(zhì),則稱A為U的R(t)子集：

@tGX；

(2)VaEA,VbECyA,若ab€U,貝!Jab€4；

&A,XfbEQuA,若a+6eU,則a+

(1)當(dāng)幾=6時(shí)，判斷2={1,3,6}是否為。的R(3)子集，說明理由；

(2)當(dāng)n27時(shí)，若A為U的R(7)子集，求證：2任4

(3)當(dāng)n=23時(shí)，若A為U的R(7)子集，求集合4.

18.(2023上?天津?高一校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)/(x)=ax2+(b—2)x+3(a*0),

(1)若不等式f(x)>0的解集為(―1,3),求2a+b的值;

⑵若/⑴=4,->一1,求〉+獸的最小值.

，'，\a\b+1

(3)若b=-a-3,求不等式/(%)<-4%+2的解集.

19.(2023上?上海閔行?高一?？茧A段練習(xí))已知二次函數(shù)/(%)=a%2+bx+c.

(1)若等式a(%—1)2+—1)+c=2/—3%—1恒成立，其中a,b,c為常數(shù)，求a—b+c的值;

(2)證明：ac<0是方程f(%)=0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根的充要條件;

(3)若對任意％eR,不等式/(%)>2ax+b恒成立，求—r；的最大值?

4(az+cz)

20.(2023下?湖南?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/■(久)=e-x+alnx.

(1)若f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若/■(x)</恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.

21.(2023下?北京朝陽?高一統(tǒng)考期末)設(shè)m,neN*,已知由自然數(shù)組成的集合5={的,42,…,冊}(%<a2<

?-■<an),集合S1,S2,Sm是S的互不相同的非空子集，定義nxm數(shù)表：

/X11X12

/1

X21X22

X-

\??O

??設(shè)d(%)=X/i+xi2H-----FXjm(i=12…，幾)，令d(S)是

\X%

n1n2

dQ),或。2)，…，d(an)中的取大值.

/I01\

(1)若TH=3,S={1,2,3},且x=(011),求S「S2yS3及d(S)；

\100/

(2)若5={1,2,I九},集合Si，S2,S7n中的元素個(gè)數(shù)均相同，若d(S)=3,求九的最小值；

(3)若根=7,S={1,2,…刀，集合S2,S7中的元素個(gè)數(shù)均為3,且&八與。0(142V/W7),求證:

d(S)的最小值為3.

22.(2023上?上海金山?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間MUD,若存在非零實(shí)數(shù)f

使得任意xeM都有x+te。，且/(x+t)>/(%),則稱y=/(%)為M上的t—增長函數(shù).

(1)已知f(x)=久，判斷函數(shù)y=/(x)是否為區(qū)間上的|-增長函數(shù)，并說明理由；

(2)已知九＞0,設(shè)g(%)=%2,且函數(shù)y=g(%)是區(qū)間[-4,-2]上的九一增長函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(3)如果函數(shù)y=/i(%)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)％之0時(shí)，/i(x)=\x-a2\-a2,且函數(shù)y=/;(%)為R上的

4一增長函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

23.(2023上?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=號(hào)等是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)=

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

⑵判斷并證明f(x)在(-2,2)上的單調(diào)性；

(3)若存在實(shí)數(shù)久6[-1,2],使得不等式4[f(x)]2—/(x)+l有解，求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

24.(2023上?廣東揭陽?高一統(tǒng)考期末)已知f(x)=三^是定義在R上的奇函數(shù)，其中a、beR,且f(2)=1.

(1)求a、b的值；

(2)判斷/(%)在[2,+8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；

(3)設(shè)g(%)=mx2-2%+2-m,若對任意的％1G[2,4],總存在&e[0,1]，使得f(%i)=g(%2)成立，求加的

取值范圍.

25.(2023上?云南曲靖?高一?？计谥?已知/(%)=(血2一2M一7)%皿-2是塞函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞

(1)求租的值;

(2)求函數(shù)g(久)=f(x)—(2a-l)x+1在區(qū)間［2,4］上的最小值八(a).

26.(2023下?四川瀘州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f0)=2,+巾?2一的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(1)判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=logj#+4T+2-a/(x)］(。>0且。片1)在［0,log23］上的最小值為1,求a的值.

27.(2023上?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=x|2a—x|+2x,aeR.

(1)若a=0,判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性，并加以證明；

(2)若函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若存在實(shí)數(shù)aG［-2,2］,使得關(guān)于x的方程/Q)-t/(2a)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范

圍(寫出結(jié)論即可，無需論證).

28.(2023下?山西運(yùn)城?高二統(tǒng)考期末)已知/'(久)=e*T+e-x+/—2x+a,

(1)證明：/(>)關(guān)于x=l對稱；

(2)若/。)的最小值為3

(i)求a；

(ii)不等式/笠(e*+e-x)+1)>/(ex—e-8)恒成立，求m的取值范圍

29.(2023上?重慶永川?高一?？计谀?已知函數(shù)/(%)對于任意實(shí)數(shù)須yeR恒有/(%+y)=/(%)+/(y),

且當(dāng)％>o時(shí)，/(%)>o,又f(i)=1.

(1)判斷/(%)的奇偶性并證明；

(2)求f(%)在區(qū)間[-4,4]的最小值;

(3)解關(guān)于％的不等式：/(ax2)-2/(%)>/(ax)-2.

30.(2023上?安徽銅陵?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=|%-2a+1|,5(x)=|x-a|+1,xER.

(1)若a=1,求函數(shù)9(%)=/(%)+g(%)的最小值；

(2)若g(%)>/(%)對于任意久€[a,+8)恒成立,求a的取值范圍;

(3)若xE[1,6],求函數(shù)h(%)=max{e"。e。㈤}的最小值.

31.(2023上?北京?高一?？计谀?已知函數(shù)/(%)=2%.

⑴若函數(shù)F(%)=/(x)+a/(-x)(aeR)在久ER上具有奇偶性，求a的值；

(2)當(dāng)a>0且％e[0,8]時(shí)，不等式/(%+1)>/[(%+a)2]恒成立，求a的取值范圍;

(3)試求函數(shù)G(%)=/(x+1)+a/(2x)(aeR)在％e(-8,0]的最大值”(a).

32.(2023上?遼寧大連?高一期末)已知函數(shù)/(%)=log3(a/-1+小一3),^(x)=xa+x~a

⑴直接寫出%>0時(shí)，g(%)的最小值.

(2)a=2時(shí)，F(xiàn)(x)=/(%)-log43在久￡(1,|)是否存在零點(diǎn)？給出結(jié)論并證明.

(3)若g(2)=￡〃9(久))存在兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

33.(2022上?福建泉州?高一泉州七中?？计谥?已知定義在R的函數(shù)/(久)滿足：①對Vx,yeR,/(%+y)=

f(x)+/(y)-1；②當(dāng)?shù)?gt;。時(shí),f(x)<1；③f(l)=-2.

(1)求f(0),判斷并證明/(%)的單調(diào)性；

(2)若使得/(%)4血？一2am一5,對Vae［-1,1］成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)解關(guān)于％的不等式f(a/)</((。+2)x)+6.

34.(2023上?上海?高一?？茧A段練習(xí))對于定義域在R上的函數(shù)y=f(久)，定義g(x)="乃J(°).設(shè)區(qū)間

/=(-00,0)U(0,4-00),對于區(qū)間/上的任意給定的兩個(gè)自變量的值打、刀2,當(dāng)均<%2時(shí)，總有g(shù)(久1)w93)，

則稱g(x)是f(x)的“T函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)y=—2。久GR是否存在“T函數(shù)”，請說明理由；

(2)若非常值函數(shù)y=s(x),xeR是奇函數(shù)，求證：y=sQ)存在“T函數(shù)”的充要條件是存在常數(shù)匕使得s(x)=

kx；

(3)若函數(shù)y=m-2x-2022久與函數(shù)y=-m-2T+x的定義域都為R,且均存在“7函數(shù)”，求實(shí)數(shù)小的值.

35.(2023上?遼寧大連?高一期末)若函數(shù)/'(>)在定義域R上滿足/O)+/(y)=f(x+y),且x>0時(shí)/(x)>0,

定義域?yàn)椋?2,2］的g(x)為偶函數(shù).

(1)求證：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.

(2)若在區(qū)間上，/(x)+g(x)=-x2+x+l；g(x)在［0,2］上的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱.

(i)求函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)在區(qū)間［-2,2］上的解析式.

⑴若關(guān)于尤的不等式制瑞

<1,0<a<4對任意定義域內(nèi)的-2<%!<%2<t恒成立，求實(shí)數(shù)t存

在時(shí)，t的最大值關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系.

36.(2023上?吉林長春?高一?？计谀?已知函數(shù)f⑺=log9(9,+1)+2tx(teR)為偶函數(shù).

⑴求f的值；

⑵求y(x)的最小值;

⑶若/(42*+4-2專>-4-x))對vxGR恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

2x

37.(2023下?浙江舟山?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=x+2+a(x>0)滿足f(k^a)=f(2-log2/?),

x2

函數(shù)gO)=log2(2-4)-logb(x-1),其中a,bGR.

⑴求/O)的值域(用a表示)；

(2)求a+6的取值范圍；

(3)若存在實(shí)數(shù)b,使得g(f(%))-31ogba33有解，求a的取值范圍.

38.(2023下?云南保山?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/'(%)=loga(l-0+3,(a>0且aK1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

P(—2,4),函數(shù)g(x)=6—品為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)求函數(shù)尸(久)=g(x)+3X-2的零點(diǎn)；

(3)若關(guān)于x的不等式m+log3(善)</0)在區(qū)間(-1,0)上恒成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.

x

39.(2023下?浙江?高一臺(tái)州中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù)f(%)=log4(4+1)-znx是偶函數(shù).

(1)求小的值；

(2)若g(x)=4了⑺，a>0,bER,不等式b?『(久)一|a?。(￡)一口+a20對任意％e1]恒成立，求，的

取值范圍.

40.(2023上?浙江?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(久)=111(1+a),aeR.

(1)若方程/■(久)=ln[(a-3)x+2a-4],恰有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)a>0,若對任意匕當(dāng)％i，冷e[b,b+1]時(shí)，滿足1foi)-/(%2)1W1n4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

41.(2023上?甘肅定西?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/'(x)=2sin(3久+租)(3>0,切<])的最小正周期為兀,

其圖象關(guān)于點(diǎn)位,0)對稱.

。,令以為二/1+習(xí)，判斷函數(shù)。(久)的奇偶性；

(2)是否存在實(shí)數(shù)小滿足對任意Xie[-1,1],任意犯eR，使4巧+4Tl+m(2xi-2-卬)+5>f(冷)成立.若

存在，求小的取值范圍；若不存在，說明理由.

42.(2023下?遼寧大連?高一大連八中校考階段練習(xí))函數(shù)/(久)=cos(3久+⑴)(3>0,\<p\<以的部分圖像

如圖所示.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若V%e[/(%)]2-m/(x)-1<0恒成立，求m的取值范圍；

(3)求實(shí)數(shù)Q和正整數(shù)九，使得函數(shù)F(%)=/(%)-。在[0,rm]上恰有2023個(gè)零點(diǎn).

43.(2023下?江西上饒?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=V2sinxcosx—V2cos2x+J.

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若g(%)=/(%)+/(%+；)-/(%)?/(%+?存在%1,%2七氐對任意％￡R，有g(shù)(%D<g(%)<g3)恒

成立，求1%-冷1的最小值;

(3)若函數(shù)尸。)=-f2(X+泉+a[/(%+泉+2]-3在(0町)(neN+)內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)，求a與八的值.

44.(2023下?四川成都?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=V3sinxcosx+1(sin4x—cos。)—l(x6R),函數(shù)

y=/(%)的圖象向左平移F個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=g(%)的圖象，h(x)=—cosx|cosx—3m|+

6

m(jnGR).

⑴若f(a)=0，求a；

(2)若對任意久2E卜瑞，存在E[o,||使得g(%i)=h(%2)成立，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

45.(2023下?上海楊浦?高一復(fù)旦附中?？计谀?已知直角梯形ABC。，乙=AADE=\AB=1,

扇形圓心角NB4E=%,%￡(0彳)，如圖，將△ZDC,△ABC以及扇形的面積分別記為p(%),q(%),s(%)

(1)寫出p(%),式%),s(%)的表達(dá)式，并指出其大小關(guān)系(不需證明)；

(2)用tan；表示梯形ZBCD的面積t(x)；并證明：t(%)>2-s(x)；

(3)設(shè)f(%)=翳，OVa<a+0V：,試用代數(shù)計(jì)算比較f(a)與f(a+9)的大小.

46.(2023下?江西撫州?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(%)=sin(3%+0)-1(3>0,0VV冗)的圖象兩相

鄰對稱軸之間的距離是泉若將/(%)的圖象上每個(gè)點(diǎn)先向左平移卷個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，

所得函數(shù)9(%)為偶函數(shù).

⑴求/(%)的解析式；

(2)若對任意久E[。,當(dāng),[/(x)]2-(24-m)/(x)+2+m<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若函數(shù)h(%)=2/(%)+3的圖象在區(qū)間[a,b](a,beR且a<b)上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足條件的

區(qū)間［a,b］上,求b-a的最小值.

47.(2023上?吉林?高一統(tǒng)考期末)如圖，角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)4(打,力),

將射線04繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)W后與單位圓相交于點(diǎn)B(%2,%)，設(shè)f(a)=%+%.

(1)求fQ的值；

(2)若函數(shù)g(x)=f(2x-求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)在⑵的條件下，函數(shù)無(久)=gO)+("l)f(久話)的最小值為一2百，求實(shí)數(shù)2的值.

48.(2023下?上海閔行?高一閔行中學(xué)?？计谀?定義在R上的函數(shù)/(久)=4sin(a)x+cp)(A>0,a>>0,0<

(P己知其在久6(0,7it)內(nèi)只取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)x=TT時(shí)函數(shù)取得最大值為3；當(dāng)?shù)?

6it,函數(shù)取得最小值為-3.

(1)求出此函數(shù)的解析式；

(2)是否存在實(shí)數(shù)zu,滿足不等式/sin(3，一??i2+27n+3+9)>/sin(3A/—7n2+4+9),若存在求出m的取

值范圍，若不存在，請說明理由；

⑶若將函數(shù)/0)的圖像保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模莸玫胶瘮?shù)g(%),再將函數(shù)g(%)的圖像向左平移

9o(0o>0)個(gè)單位得到函數(shù)h(%),已知函數(shù)y=IO。。)+的最大值為10,求滿足條件的的最小值.

49.(2023上?陜西榆林?高一統(tǒng)考期末)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，所以

至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中被使用.如圖，假定在水流穩(wěn)定的情況下，一個(gè)直徑為10米的筒車開啟后按逆時(shí)針方向

勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要1分鐘，筒車的軸心。距離水面的高度為|米.以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間,

設(shè)筒車開始旋轉(zhuǎn)r秒后盛水筒尸到水面的距離為場米(規(guī)定：若盛水筒尸在水面下，則%為負(fù)數(shù)).

(1)寫出〃(單位：米)關(guān)于火單位：秒)的函數(shù)解析式h(t)=Xsin(a)t+<p)+B(其中A>0,to>0,|^)|<^)；

(2)若盛水筒P在I?時(shí)刻距離水面的高度相等，求S+t2的最小值.

50.(2023上?云南昆明?高一統(tǒng)考期末)樂音中包含著正弦函數(shù)，平時(shí)我們聽到的樂音是許多個(gè)音的結(jié)合，

稱為復(fù)合音，復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段震動(dòng)，產(chǎn)生基音的同時(shí)，其余各部分，如二分之一部分也

在震動(dòng).某樂音的函數(shù)是/'(x)=sinx+|sin2x,該函數(shù)我們可以看作是函數(shù)y=sinx與y=]sin2久相加，利

用這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以探究f(x)的函數(shù)性質(zhì).

⑴求出/(%)的最小正周期并寫出/Q)的所有對稱中心;

(2)求使f(久)>0成立的x的取值集合；

(3)判斷xe[-2TT,2TT],函數(shù)g(x)=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.

4

高一上學(xué)期期末考試解答題壓軸題50題專練

【人教A版(2019)]

1.(2023上?廣東汕頭?高一?？茧A段練習(xí))已知4={x|2a-1<x<a+1},B={%I-1<%<3].

(1)若a=-|,求4UC(CRB)；

(2)在①“x€4”是“久€B”的充分不必要條件；②4UB=B；③4CB=0；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在

下面問題中，并進(jìn)行解答.

問題：若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍構(gòu)成的集合P.

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)條件的解答計(jì)分.

【解題思路】(1)利用集合補(bǔ)集和交集的概念求解即可；

(2)根據(jù)集合的包含關(guān)系分情況討論即可.

【解答過程】(1)當(dāng)a=時(shí)，A=^x\-2<x<^,又8={x|-1<xW3},

所以4UB-{x|-2<x<3},CRB={x\x<-1或x>3],

ACl(CRB)={x|-2<x<-1].

(2)選①“xe4”是“xeB”的充分不必要條件，則

若4=0,此時(shí)2a-12a+1,解得a22；

若440,此時(shí)a<2,只需產(chǎn)二宗丁(且等號(hào)不同時(shí)成立)

解得0<a<2,

所以滿足條件的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合P={a|a>0}.

選②4UB=B,則4UB；

若4=0,此時(shí)2a-12a+1,解得aN2；

若此時(shí)a<2,只需產(chǎn)二解得0Wa<2；

綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合P=[a\a>0}.

選③力nB=0,

若4=0,此時(shí)2a-12a+l,解得a22；

若440,此時(shí)a<2,只需2a-123或a+1W-1,

顯然2a—1>3即a>2無解，解a+1<—1得a<—2；

綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合P={a\aW-2或a22}.

2.(2023上?上海徐匯?高一上海中學(xué)校考期中)已知非空實(shí)數(shù)集S,7滿足：任意xeS,均有36S；任意

X

yer,均有匕ier.

y+1

(1)直接寫出S中所有元素之積的所有可能值；

(2)若T由四個(gè)元素組成，且所有元素之和為3,求T；

(3)若SCT非空，且由5個(gè)元素組成，求SUT的元素個(gè)數(shù)的最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)集合S中的元素構(gòu)成可得集合S中的元素是以｛居手，士｝的形式，三個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn),

從而可得結(jié)論；

(2)根據(jù)集合T中的元素構(gòu)成可得集合T中的元素是以｛%缶,-；,黑｝的形式，四個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn)，從而可

得結(jié)論；

(3)由(1)(2)可得集合S,T的元素個(gè)數(shù)分別是以3和4為最小正周期循環(huán)，從而根據(jù)SCT得元素個(gè)數(shù)，

可確定SUT的元素個(gè)數(shù)的最小值.

【解答過程】(1)已知非空實(shí)數(shù)集S滿足:任意尤eS,均有匕6S,且久=匕在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,所以％H匕,

XXX

x-i11__1

所以，又'122^—=XES

L--T-=~1—-xES---

x1-x

則集合S中的元素是以｛x，U，士｝的形式，三個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn)，組和組不相交，且O,1WS,

又x?匚?白=-1，則S中所有元素之積的所有可能值為-1或1；

X1-x

(2)已知非空實(shí)數(shù)集T滿足：任意yeT,均有占CT,且缶#y

y-i---i1+yi

所以二t=—工67,且導(dǎo)=也67，又打=yer

轟+i>V1-言+】

則集合T中的元素是以-言｝的形式，四個(gè)數(shù)為一組出現(xiàn)，組和組不相交，且-1,0,1WT,

若T由四個(gè)元素組成，貝"=,，舒，-；，言｝，且所有元素之和為3

所以y++(—=3,整理得(y2—4y—l)(y2+y—1)=0

解得y=2±四或y=二#

當(dāng)y=2+逐或y=2-4或y=三些或y=二"時(shí),T=^2+V5,2-低二汽"”｝

綜上，T=｛2+V5,2-V5,

(3)由(1)(2)集合S,T的元素個(gè)數(shù)分別是以3和4為最小正周期循環(huán),

且當(dāng)x=y時(shí)，同一周期內(nèi)其余元素不相等，

因而3和4互素，所以S和T中的各組最多只能有一個(gè)公共元素，

因?yàn)镾nr有五個(gè)元素，若要使SUT的元素個(gè)數(shù)最小，要使相同的元素盡量在同一個(gè)周期內(nèi)，

若{“。，然，士自；}=S，此時(shí)從s中選出5個(gè)元素屬于T,此時(shí)7包含20個(gè)元素，SUT中包含6+

20-5=21,

若T=}。,華，-二產(chǎn),力,也三,-工，了叫，此時(shí)從7中選出5個(gè)元素屬于S,此時(shí)S包含15個(gè)元素，SUT

Iy0+iy0i-y0yi+iyii-yJ

中包含8+15—5=18,

所以SUT的元素個(gè)數(shù)最小值為18.

3.(2023下?北京密云?高一統(tǒng)考期末)已知集合S={1,2,…,n}(n>3_&nGN*),A=(a1,a2,"-,am),

且4￡S.若對任意由eA,aje71(1<i<j<m),當(dāng)見+%<時(shí)，存在超G4(1<k<m),使得見+=

ak,則稱4是S的zn元完美子集.

(1)判斷下列集合是否是S={123,4,5}的3元完美子集，并說明理由；

①4={1,2,3}；

②4={2,4,5).

(2)若4=Si，a2,(23}是S={1,2,…,7}的3元完美子集，求a1+a2+<23的最小值.

【解題思路】(1)理解3元完美子集的定義，并判斷兩個(gè)集合是否滿足完美子集的定義；

(2)分別設(shè)的=1,%=2,以及的23時(shí)，判斷是否存在3元完美子集，并比較最小值，

即可求解.

【解答過程】(1)①因?yàn)?+2=4<5,且4C2,

所以久不是S的3元完美子集；

②因?yàn)?+2=4<5,且464，

而5+5>4+5>4+4>2+5>2+4>5,

出是S的3元完美子集.

(2)不妨設(shè)的<a2<a3.

若a1=1,貝U<2i+a[=2e41+2=3eA,1+3=4e4且4<7,

則集合4的元素個(gè)數(shù)大于3個(gè)，這與3元完美子集矛盾；

若的=2,則%+%_=4642+4=6€4而2+6>7,符合題意，

此時(shí)a1—2,a2—4,a3—6,即4--{2,4,6),

此時(shí)的+g+。3=12.

若的23,則由+。1之6,于是。224,ar+a2>7,若存在3元完美子集，

則的+=。3或+。2=。3，即。3之6,所以的+。2+。3之13.

綜上，出+。2+。3的最小值是12.

4.(2023上?北京平谷?高一統(tǒng)考期末)設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集，稱集合8=且aHu}

為集合A的生成集.

(1)當(dāng)A={1,3,6}時(shí)，寫出集合A的生成集&

⑵若A是由5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；

(3)判斷是否存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A,使其生成集8={2,356,10,16},并說明理由.

【解題思路】(1)利用集合的生成集定義直接求解；

(2)設(shè)/={alfa2,a3,a4,a5},且0<%Vg<@3<。4<。5，利用生成集的定義即可求解；

(3)假設(shè)存在集合/={a,b,c,d},可得d—a>c-a>b—a,d—a>d—b>d—c,c—a>c—b,d—

a=16,然后結(jié)合條件說明即得.

【解答過程】(1)因?yàn)?={136},所以|1一3|=2,|1—6|=5,|3—6|=3,

所以8={2,3,5}；

(2)設(shè)4--Q5)，不妨設(shè)0<<。2<。3<。4<，5，

因?yàn)椤?V一<04—V一%，

所以B中元素個(gè)數(shù)大于等于4個(gè)，

又/={1,234,5},則B={123,4},此時(shí)B中元素個(gè)數(shù)等于4個(gè)，

所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為4；

(3)不存在，理由如下：

假設(shè)存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合/={afb,cfd),使其生成集B={2,356,10,16},

不妨設(shè)0<QVb<cVd,則集合A的生成集8由b—a,c—a,d—a,c—b,d—b,d—c組成，

又>6?-a>c—a>b—ct,d-a>d-b>d—c,c—a>c—b,

所以d—ct-16,

若b—a=2,又d—a=16,則d—b=140故b—aH2,

若d—c=2,又d—a=16,貝！Jc—a=1408,故d—cW2,

所以c—b=2,又d—LC—16,則d—b+c—CL=18,而d—b,c—CLG{3,5,6,10},

所以d—b+c—CL=18不成_\L,

所以假設(shè)不成立，

故不存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A,使其生成集8=(2,3,5,6,10,16).

5.(2023上?北京東城?高一統(tǒng)考期末)對于非空數(shù)集A,若其最大元素為最小元素為加，則稱集合A

的幅值為。="一小，若集合A中只有一個(gè)元素，則。=0.

⑴若4={2,3,4,5},求洋

⑵若4={1,2,3,…,9},4={at，bi，Ci)C4,4C4=0(i,J=1,2,3,iC)),A1(JA2(JA3=A,求九4-TA2+

北3的最大值，并寫出取最大值時(shí)的一組42,^3；

(3)若集合N*的非空真子集4,42，&3,…，An兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同，且氏+。2+。3+“,+%=55，求〃

的最大值.

【解題思路】(1)根據(jù)新定義即可求出；

(2)由4=bt，Ci]CA,AInA,=0(ij=1,2,3,i手j),&U&U&=4且要使得7^+TA2+7^取到最

大，則只需7^,北2,23中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集

合中這樣差值才會(huì)最大，總體才會(huì)有最大值.

(3)要”的值最大，則集合的幅值最小，且4,&，4，???，/是集合N*的兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子

集，故對集合42,43,…，An中元素分析列出方程解出即可.

【解答過程】(1)由集合4={2,3,4,5}知，M=5,m=2,

所以，1=M-m=5-2=3.

(2)因?yàn)?={1,2,3,…,9},4={at，bi，cjU4,4nAj=0(i,y=1,2,3,i手j),Ar\JA2^JA3=A,

由此可知集合4,42,&中各有3個(gè)元素，且完全不相同，

根據(jù)定義要讓北工+TA2+取到最大值，

則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，

4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中

這樣差值才會(huì)最大，總體才會(huì)有最大值，所以。1+7^+?^的最大值為7+8+9-1-2-3=18,

所以有一組41={1,9,4},A?={2,8,5},人3={3,7,6}滿足題意，

(3)要〃的值最大，則集合的幅值要盡量最小，故幅值最小從0開始，接下來為1,2,…，

因?yàn)?,42,43,…，At是集合N*的兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，

不妨設(shè)&是集合N*中只有一個(gè)元素的非空真子集，此時(shí)。1=0,例如&={1},

則必是集合N*中有兩個(gè)元素的非空真子集，且j=1，例如4=口，2}，

同理4是集合N*中有三個(gè)元素的非空真子集，且03=2,例如&=口，2,3},

4n是集合N*中有ri個(gè)元素的非空真子集，且心”=?1一1,例如4.={1,2,3,…,心,

所以+…+=0+1+2+…+(九-1)==55,

解得n=ll或兀=一10(舍去)，

所以n的最大值為11.

6.(2023上?上海浦東新?高一?？计谀?已知集合4n={01，X2,…,％n)Me{-1,1}(E=1,2,…,n)},尤、ye

An,x=(x1,x2,-,xn),y=(yi，y2，-"，yn)'其中%、%e=1,2,…，n).定義％Oy=/為+K2y2+

+xnVn＜若無Oy=0，則稱x與y正交.

(1)若X=(1,1,1,1)，寫出心中與X正交的所有元素；

(2)令8={%Oy|x,y64J，若meB,證明：m+n為偶數(shù);

(3)若414兀，且A中任意兩個(gè)元素均正交，分別求出n=8,14時(shí)，A中最多可以有多少個(gè)元素.

【解題思路】(1)由定義可寫出人中與x正交的所有元素.

(2)令。=工?’，k=￡上1d，當(dāng)勾=%時(shí)，看％=1,當(dāng)陽力％時(shí)，=那么x(Dy=

Xiyi=k-(n-k)=2k-n,可得證.

(3)先考慮n=4時(shí)，共有四種互相正交的情況，設(shè)這4種情況的排列為Zi，Z2，Z3*4，

則按久=(Z1,Z2,z3,Z4,Zr,Z2,Z-i，z4),x'=(-Z1，-Z2，-Z3，-Z4，Z1，Z2，Z3，Z4)的方式進(jìn)行搭配也相互正交，故當(dāng)

n=8時(shí)可形成8種情況.

當(dāng)？2=14時(shí)，不妨設(shè)為=(1,1,…1)(有14個(gè)1),y2=(-1,-1,-,-1,1,1,-1)?7^-1,7個(gè)1),

則為,丫2正交，再令a=(a],a2,…，a”)，匕=(瓦也，…，瓦4)，c=(q,C2,…，J。，且它們之間互相正交，討

論a,b,c相應(yīng)位置數(shù)字都相同的個(gè)數(shù)，可得出a。6,aQc,利用它們相互正交得矛盾，從而得出A中最多

可以有的元素個(gè)數(shù).

【解答過程】(1)4中所有與x正交的元素為

(-1,-1,1,1),(1,1,-1,-1),(-1,1,-1,1),(-1,1,1,-1),(1,-1,-1,1),

(2)證明：對于meB,存在x=(打,刀2,…，Xn)，/e{-1,1},y=?？跒?，…，%)，％e{-=1,2,…，？i),

使得xQy-m.

令。=

當(dāng)々豐%時(shí)，x￡y(=-1,當(dāng)3=%時(shí)，二％=1.

那么m=xQy=Eki/%=k—(n—k)=2k—n.

所以?n+幾=2/c為偶數(shù).

(3)n=8時(shí)，不妨設(shè)%i=(LLLLLLLD/2=(-1,-1,-1,-1,1,1,1,1).

再考慮幾=4時(shí)，共有四種互相正交的情況，

1111

即一；1二；；，設(shè)這4種情況的排列為Z1,Z2，Z3，Z4，

—1—111

1-1-11

則按%1/2的方式進(jìn)行搭配，

即％=(^1/^2,Z^,Z^,Z1,Z2,Z2,Z4),

f

X=(-zlf-z2f-z3f-z4fzlfz2fz3fz4),可形成8種情況.

所以九=8時(shí)，A中最多可以有8個(gè)元素.

n=14時(shí)，不妨設(shè)yi=(1,1,…二)

14個(gè)

丫2=I[L-1,…,—U，l,…J

\7個(gè)7個(gè)

則丫1與、2正交?

假設(shè)a=Q,。2,…，。14)，b=(瓦也，…也4)，C=(C1，Q，…,C14)且它們互相正交.

設(shè)〃，。，C相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有人個(gè)，除去這左列外.

。，。相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有機(jī)個(gè)，

b,C相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有幾個(gè)，

則aQb=m+k—(14—m—fc)=2m+2fc—14=0.

所以m+/c=7,同理?i+k=7.

可得幾=m.

由于aOc=-m—m+/c+(14—k—2m)=0,

可得2m=7,m=IN*矛盾.

所以除月斤2外任意三個(gè)元素都不互相正交.

綜上，九=14時(shí)，A中最多可以有2個(gè)元素.

7.(2023上?北京昌平?高一統(tǒng)考期末)設(shè)有限集合E=7,23…,N},對于集合/QE,A={xlfx2fx3t-fxm],

給出兩個(gè)性質(zhì)：

①對于集合A中任意一個(gè)元素如當(dāng)加H1時(shí)，在集合A中存在元素和Xj(i</),使得&=陽+芍，貝(J稱

A為E的封閉子集；

②對于集合A中任意兩個(gè)元素久i，Xj(i豐j),都有久(+芍《4則稱A為E的開放子集.

(1)若N=20,集合4={1,2,4,6,8,10},B={x\x=3k+l,k<6,kEN*},判斷集合4,B為E的封閉子集還

是開放子集；(直接寫出結(jié)論)

⑵若N=100,leX,100GX,且集合A為E的封閉子集，求小的最小值；

(3)若N6N*,且N為奇數(shù)，集合A為E的開放子集，求小的最大值.

【解題思路】對于(1),利用封閉子集，開放子集定義可得答案；

對于(2),A={1,X2,X3,...,Xm_1,100